Jump to content

Divergjenca

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
A vector field with diverging vectors, a vector field with converging vectors, and a vector field with parallel vectors that neither diverge nor converge
Divergjenca e fushave të ndryshme vektoriale. Divergjenca e vektorëve nga pika është e barabartë me shumën e derivatit të pjesshëm - në lidhje me - të komponentit dhe derivatit të pjesshëm - në lidhje me - - të komponentit në atë kohë pika:

Në llogaritjen vektoriale, divergjenca është një operator vektorial që vepron mbi një fushë vektoriale, duke prodhuar një fushë skalare që jep madhësinë e burimit të fushës vektoriale në secilën pikë. Më teknikisht, divergjenca përfaqëson dëndësinë e vëllimit të fluksit të jashtëm të një fushe vektoriale nga një vëllim pambarimisht i vogël rreth një pike të caktuar.

Si shembull, merrni parasysh ajrin ndërsa nxehet ose ftohet. Shpejtësia e ajrit në çdo pikë përcakton një fushë vektoriale. Ndërsa ajri nxehet në një rajon, ai zgjerohet në të gjitha drejtimet, dhe kështu fusha e shpejtësisë tregon jashtë nga ai rajon. Kështu, divergjenca e fushës së shpejtësisë në atë rajon do të kishte një vlerë pozitive. Ndërsa ajri ftohet dhe kështu tkurret, divergjenca e shpejtësisë ka një vlerë negative.

E ç'është divergjenca?

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]
Divergjenca në një pikë është limiti i raportit të fluksit përmes sipërfaqes (shigjeta të kuqe) tek vëllimi për çdo varg të rajoneve të mbyllura që mbyllin i cili i afrohet vëllimit zero:

Divergjenca e një fushe vektoriale në një pikë përcaktohet si kufiri i raportit të integralit të sipërfaqes së jashtë sipërfaqes së mbyllur të një vëllimi që mbyll me vëllimin e , ndërsa tkurret në zero


ku është vëllimi i , është kufiri i , and është normalja njësi e asaj sipërfaqe. IMund të tregohet se limiti i mësipërm konvergjon gjithmonë drejt së njëjtës vlerë për çdo sekuencë vëllimesh që përmbajnë dhe i afrohen zeros. Rezultati, , është një funksion skalar i .

Përkufizimi në koordinata

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Koordinatat karteziane

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Në koordinatat karteziane tredimensionale, divergjenca e një fushe vektoriale vazhdimisht të diferencueshme përkufizohet si funksioni me vlera skalare :

Koordinatat cilindrike

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Për një vektor të shprehur në koordinata cilindrike njësi si

ku është vektori njësi në drejtimin a, divergjenca është

Përdorimi i koordinatave vendore është jetik për vlefshmërinë e shprehjes. Nëse marrim parasysh si vektorin e vendndodhjes dhe funksionet , dhe , të cilët i caktojnë një vektori koordinatën cilindrike globale përkatëse, në përgjithësi. , , dhe . Në veçanti, nëse marrim parasysh funksionin e identitetit , gjejmë se:

.

Koordinatat sferike

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

koordinatat sferike, me këndin me boshtin dhe rrotullimin rreth boshtit , dhe përsëri të shkruar në koordinatat e njësive vendore, divergjenca është:

Vetitë e mëposhtme mund të nxirren të gjitha nga rregullat e zakonshme të diferencimit të llogaritjes . Më e rëndësishmja, divergjenca është një operator linear, dmth.

për të gjitha fushat vektoriale dhe dhe të gjithë numrat realë dhe .

Ekziston një rregull produkti i llojit të mëposhtëm: nëse është një funksion me vlera skalare dhe është një fushë vektoriale, atëherë

ose në shënime më sugjestive

Një rregull tjetër produkti për produktin kryq të dy fushave vektoriale dhe në tre dimensione përfshin kaçurrelin dhe lexon si më poshtë:

ose

Laplasiani i një fushe skalare është divergjenca e gradientit të fushës:

Divergjenca e kaçurrelit të çdo fushe vektoriale (në tre dimensione) është e barabartë me zero: