Stopnja grafa

Graf z označenimi stopnjami v točkah. Prikazan je tudi graf s stopnjo 0.

Stopnja (tudi valenca grafa) (oznaka $\deg(v)\,$) točke je v teoriji grafov število povezav, ki so vezane na točko. Pri tem se zanke štejejo dvakrat. Stopnjo točke se označuje z $\deg(\nu )\,$.

Lema o rokovanju

Lema o rokovanju pravi, da je za graf $G(V,E)\,$ dvojno število povezav enako vsoti vseh stopenj točk v grafu. To se zapiše kot:

$\sum _{v\in V}\deg(v)=2|E|\!\,,$

kjer je:

• $\deg(v)\,$ stopnja točke $v\,$
• $|E|\,$ število povezav v grafu.

Neusmerjeni grafi

V neusmerjenih grafih je stopnja $\deg \,$ v grafih brez večkratnih povezav enaka številu sosedov točk, v grafih, ki vsebujejo večkratne povezave, pa je v vsaki točki enaka vsoti števila večkratnih povezav, ki so povezane s točko (so incidentne s točko).

Usmerjeni grafi

Usmerjeni graf z vpisanimi stopnjami za točke: (vhodna stopnja, izhodna stopnja).

V usmerjenem grafu ima vsaka povezava začetek in konec. Zaradi tega se lahko za vsako točko določi vhodno stopnjo (oznaka $\deg ^{-}(x)\,$) in izhodno stopnjo (oznaka $\deg ^{ }(x)\,$). Če se obravnava graf z večkratnimi povezavami, je:

• vhodna stopnja $\deg ^{-}(x)\,$ v grafih brez večkratnih povezav enaka številu sosednjih vozlišč.
• v grafih z večkratnimi povezavami v vsaki točki vhodna stopnja enaka vsoti števila vseh vstopajočih povezav.
• izhodna stopnja v grafih brez večkratnih povezav enaka številu sosednjih točk.
• izhodna stopnja v grafih z večkratnimi povezavami v vsaki točki enaka vsoti števila vseh izstopajočih povezav.

Posebni primeri

Neusmerjeni graf z listi, ki pripadajo točkam 4, 5, 6, 7, 10, 11 in 12

• točka, ki ima stopnjo enako 0, se imenuje izolirana točka.
• točka, ki ima stopnjo 1, se imenuje list

Nekatere značilnosti

• če ima vsaka točka grafa enako stopnjo, je graf k-regularen. V tem primeru ima graf stopnjo k.
• usmerjeni graf je psevdogozd, če in samo če ima vsaka točka izhodno stopnjo največ 1. Funkcionalno je graf posebni primer psevdogozda, če ima vsaka točka izhodno stopnjo 1.
• neusmerjeni povezani graf ima Eulerjevo pot, če in samo, če ima 0 ali 2 točki s liho stopnjo. Kadar nima vozlišč z liho stopnjo je Eulerjeva pot Eulerjev krog.
• po Brooksovem izreku je v vsakem povezanem neusmerjenem grafu z največjo stopnjo $\delta \,$ kromatično število grafa največ enako $\delta \,$, razen, če je graf klika ali sodi cikel, v tem primeru pa je kromatično število enako $\delta 1\,$.
• po Vizingovem izreku ima vsak graf kromatično število enako $\delta 1\,$.
• k-izrojen je graf v katerem ima vsak podgraf točko s stopnjo največ $k\,$.

Zunanje povezave

• Osnove teorije grafov Arhivirano 2005-12-11 na Wayback Machine. (slovensko)
• Uvod v teorijo grafov (slovensko)
• Stopnja (teorija grafov) – video (angleško)