Kepler-Bouwkampova konstanta

Zaporedno izmenično včrtavanje pravilnih mnogokotnikov in njim včrtanih krožnic v enotsko krožnico $K_{1}\,$. $K_{1}\,$ naj bi po Keplerju odgovarjala Saturnovemu tiru.

Stvarni dvorazsežni model Osončja v smislu Keplerjeve konstrukcije. Tiri Zemlje, Venere in Merkurja ($K_{4},K_{5},K_{6}\,$) že v celoti ležijo znotraj mejne krožnice $K_{\infty }\,$.

Keplerjev trirazsežni model Osončja s platonskimi telesi iz dela Kozmografska nedoumljivost (Mysterium cosmographicum, 1596)

Kepler-Bouwkampova konstánta [képler-bovkámpova ~] (ali konstánta včŕtanih mnogokótnikov, označba $\rho \,$ ali $K'\,$) je v ravninski geometriji konstanta kot limita zaporednega postopka, kjer se v enotsko krožnico $K_{1}\,$ izmenično včrtujejo pravilni mnogokotniki in njim včrtane krožnice. Najprej enakostranični trikotnik, nato njemu včrtana krožnica $K_{2}\,$, njej včrtani kvadrat, njemu včrtana krožnica $K_{3}\,$, njej včrtani petkotnik, včrtana krožnica $K_{4}\,$, šestkotnik, včrtana krožnica $K_{5}\,$, sedemkotnik in tako naprej. Polmer krožnice $K_{\infty }\,$ v limiti je dana konstanta. Konstanta se imenuje po Johannesu Keplerju in Christoffelu Bouwkampu.

Astronomska predstava Keplerjeve konstrukcije

Kepler je v svojem astronomskem delu Kozmografska nedoumljivost (Mysterium cosmographicum) leta 1596 opisal trirazsežni model Osončja s platonskimi telesi. Med poučevanjem v Gradcu je pokazal na periodično konjunkcijo Saturna in Jupitra v zodiaku. Spoznal je, da pravilni mnogokotniki omejujejo eno včrtano in eno očrtano krožnico z določenim razmerjem, kar naj bi po njem bila geometrična osnova Vesolja. Tiroma Saturna in Jupitra bi odgovarjali krožnici $K_{1}\,$ in $K_{2}\,$. Ker je enakostranični trikotnik prvi pravilni mnogokotnik, je Kepler menil, da Marsovemu tiru odgovarja krožnica $K_{3}\,$, Zemljinemu tiru krožnica $K_{4}\,$ itd.

Ko mu ni uspelo najti izključne razporeditve dvorazsežnih mnogokotnikov, ki bi se prilegali astronomskim opazovanjem, tudi z dodanimi dodatnimi planeti, je poskušal s trirazsežnimi poliedri. Našel je, da bi se lahko vsak od petih platonskih teles izključno včrtal in očrtal s sferami. Če bi se ta telesa zaporedoma vstavila v odgovarjajočo sfero, bi nastalo šest plasti, ki bi odgovarjale tirom šestih tedaj znanih planetov: Merkurja, Venere, Zemlje, Marsa, Jupitra in Saturna. S pravilno umestitvijo teles: oktaedra, ikozaedra, dodekaedra, tetraedra in kocke je našel, da se lahko sfere postavijo na razdalje, ki v okviru točnosti razpoložljivih astronomskih opazovanj odgovarjajo relativnim velikostim planetnih tirov, če se privzame, da planeti krožijo okrog Sonca. Našel je tudi formulo, ki je povezovala velikost vsake planetne sfere s trajanjem njegove orbitalne periode od notranjih do zunanjih planetov navzven. Razmerje povečanja orbitalne periode je dvakrat večje od razlike polmera sfere. Kasneje je formulo opustil, ker naj ne bi bila dovolj točna.

Računanje in številska vrednost

Desetiški zapis Kepler-Bouwkampove konstante je (OEIS A085365):

$K'=\prod _{n=3}^{\infty }\cos {\frac {\pi }{n}}=0,114942044853\dots \!\,.$

Neskončni produkt počasi konvergira:

$n\,$	$K'\,$
101	0,1   84272511632188099388749095924
102	0,1   20727122609369389253757543423
103	0,11   5510378360496765103907809055
104	0,1149   98777639611066695581665348
105	0,11494   7717127450468982122596415
106	0,114942   612070668021046433217379
107	0,114942   101574932947836339581363
108	0,1149420   50525458871066743276989
109	0,11494204   5420512457694133366767

Zaporedno izmenično očrtavanje pravilnih mnogokotnikov in njim očrtanih krožnic v enotsko krožnico

Bouwkamp je verjetno prvi pravilno določil vrednost konstante. Pred njim so navajali približno vrednost z enotskim ulomkom:

$K'\approx \lambda (-1)={\frac {1}{12}}=0,08{\overline {3}}\!\,,$

Računal je z dvema metodama. V prvi metodi je za 16 decimalk uporabil 14 členov s preureditvijo prudukta v vsoto s pomočjo Bernoulijevih števil. Najprej je produkt preuredil v dvojni produkt:

$K'={\frac {2}{\pi }}\prod _{m=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{m^{2}\left(n {\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\right)\!\,.$

Nato pa je dobil naravni logaritem produkta:

$\ln {\frac {\pi K'}{2}}=\left(-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)\left[\lambda (2n)-1\right]2^{2n}}{n}}\right)\!\,$

in:

$\ln 6K'=\left(-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left[\zeta (2n)-1-2^{-2n}\right]\left[\lambda (2n)-1\right]2^{2n}}{n}}\right)\!\,,$

kjer je $\zeta (s)\,$ Riemannova funkcija ζ, $\lambda (s)\,$ pa Dirichletova funkcija λ, definirana kot:

$\lambda (s)=\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)\!\,.$

Konvergenco Bouwkampove vrste po prvi metodi kaže razpredelnica:

$n\,$	$K'\,$
1	0,11   5216224381971646007467428025
2	0,11494   8344200607740635333096018
3	0,114942   247704745654109840718266
4	0,1149420   52379647430866907479494
5	0,11494204   5153774993701760288784
6	0,1149420448   65822215492713897563
7	0,114942044853   833214368961439892
8	0,114942044853   319677821575321682
9	0,11494204485329   7241970977106694
10	0,1149420448532962   47399814448964
11	0,11494204485329620   2814023956253
12	0,1149420448532962007   97343766944
13	0,11494204485329620070   5456201191
14	0,114942044853296200701   243711120

Dobre približke daje tudi Padéjeva aproksimacija.

Sorodne konstante

Če produkt teče po vseh lihih praštevilih, ima konstanta vrednost (OEIS A131671):

$K'_{\mathbb {P} }\prod _{n\in \mathbb {P} \setminus \{2\}}^{\infty }\cos {\frac {\pi }{n}}=0,312832929508\ldots \!\,.$

Kepler-Bouwkampova konstanta je inverz konstante očrtanih mnogokotnikov (OEIS A051762):

$K={\frac {1}{K'}}=\prod _{n=3}^{\infty }\sec {\frac {\pi }{n}}=8,700036625208\dots \!\,.$

Glej tudi

• Johannes Kepler
• konstanta očrtanih mnogokotnikov

Viri

• Bouwkamp, Christoffel Jacob (1965). »An infinite product«. Indagationes Mathematicae. Zv. 27. str. 40–46. doi:10.1016/S1385-7258(65)50004-4. Objavljeno tudi v Proceedings of the Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen 68 (1): 40-46, 1965. ISSN 0023-3358.
• Chamberland, Marc; Straub, Armin (Oktober 2013). »On gamma quotiens and infinite products«. Advances in Applied Mathematics. Zv. 51, št. 5. str. 546–562. arXiv:1309.3455. doi:10.1016/j.aam.2013.07.003.
• Došlić, Tomislav (2014). »Kepler-Bouwkamp Radius of Combinatorial Sequences« (PDF). Journal of Integer Sequences. Zv. 17, št. 14.11.3. str. 1–7.
• Finch, Steven R. (2003). Mathematical Constants. Cambridge University Press. MR 2003519.
• Kepler, Johannes (1596). Mysterium cosmographicum.
• Kitson, Adrian R. (2006). »The prime analog of the Kepler–Bouwkamp constant«. arXiv:math/0608186. {{navedi arxiv}}: Prezrt |class= (pomoč)
• Kitson, Adrian R. (2008). »The prime analogue of the Kepler-Bouwkamp constant«. The Mathematical Gazette. Zv. 92. str. 293.
• Mathar, Richard J. (13. januar 2013). »Tightly circumscribed regular polygons«. arXiv:1301.6293 [math.MG].
• Sherbon, Michael A. (2014). »Fundamental Nature of the Fine-Structure Constant«. International Journal of Physical Research. Zv. 2, št. 1. str. 1–9. doi:10.2139/ssrn.2380218.

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Polygon Inscribing«. MathWorld.