Helmholtzev razstavitveni izrek

Helmholtzev razstavitveni izrek ali Helmholtzev dekompozícijski izrèk [hélmhólčev ~] (znan tudi kot osnovni izrek vektorskega računa) je v fiziki in matematiki na področju vektorskega računa izrek, ki pravi, da se lahko poljubno dovolj gladko, hitro upadajajoče vektorsko polje v trirazsežnem prostoru enolično razstavi na vsoto potencialnega (brez rotorja) in solenoidalnega vektorskega polja (brez divergence). To je znano kot Helmholtzeva razstavitev (dekompozicja) ali Helmholtzeva reprezentacija. Imenuje se po Hermannu von Helmholtzu.

Definicija

Za vektorsko polje $\mathbf {\vec {F}} \in C^{1}(V,\mathbb {R} ^{n})\!\,$, definirano v domeni $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}\!\,$ je Helmoltzeva razstavitev takšen par vektorskih polj $\mathbf {\vec {G}} \in C^{1}(V,\mathbb {R} ^{n})\!\,$ in $\mathbf {\vec {R}} \in C^{1}(V,\mathbb {R} ^{n})\!\,$, da velja:

${\begin{aligned}\mathbf {\vec {F}} (\mathbf {\vec {r}} )&=\mathbf {\vec {G}} (\mathbf {\vec {r}} ) \mathbf {\vec {R}} (\mathbf {\vec {r}} ),\\\mathbf {\vec {G}} (\mathbf {\vec {r}} )&=-\mathbf {\vec {\nabla }} \varphi (\mathbf {\vec {r}} ),\\\nabla \cdot \mathbf {\vec {R}} (\mathbf {\vec {r}} )&=0\!\,.\end{aligned}}$

Tu je $\varphi \in C^{2}(V,\mathbb {R} )\!\,$ skalarni potencial, $\mathbf {\vec {\nabla }} \varphi \!\,$ njegov gradient in $\nabla \cdot \mathbf {\vec {R}} \!\,$ divergenca vektorskega polja $\mathbf {\vec {R}} \!\,$. Potencialno vektorsko polje $\mathbf {\vec {G}} \!\,$ se imenuje gradientno polje, $\mathbf {\vec {R}} \!\,$ pa se imenuje solenoidalno polje ali rotacijsko polje. Ta razstavitev za vsa vektorska polja ne obstaja in ni enolična.

Zgodovina

Helmoltzev razstavitveni izrek v treh razsežnostih je prvi opisal George Gabriel Stokes leta 1849 za teorijo uklona. Helmholtz je leta 1858 objavil članek o nekaterih hidrodinamičnih osnovnih enačbah kot del svojega raziskovanja izrekov, ki opisujejo gibanje tekočine v bližini vrtinčnic. Njuna izpeljava je zahtevala, da vektorska polja dovolj hitro upadajo v neskončnosti. Kasneje so lahko ta pogoj omilili in Helmholtzevo razstavitev razširili na višje razsežnosti. Za Riemannove mnogoterosti so izpeljali Helmholtz-Hodgeevo razstavitev s pomočjo diferencialne geometrije in tenzorskega računa.

Razstavitveni izrek je postal pomembno orodje pri mnogih problemih v teoretični fiziki, uporabili pa so ga tudi na področjih, kot so: animacija, računalniški vid in robotika.

Trirazsežni prostor

Mnogi fizikalni učbeniki omejujejo Helmholtzevo razstavitev na trirazsežni prostor in omejujejo njegovo uporabo na vektorska polja, dovolj hitro upadajoča v neskončnosti, ali na udarno funkcijo, ki so definirani na omejeni domeni. Nato je mogoče vektorski potencial $\mathbf {\vec {A}} \!\,$ definirati tako, da je rotacijsko polje podano z $\mathbf {\vec {R}} =\nabla \times \mathbf {\vec {A}} \!\,$ z uporabo rotorja vektorskega polja.

Naj je $\mathbf {\vec {F}} \!\,$ vektorsko polje na omejeni domeni $V\subseteq \mathbb {R} ^{3}\!\,$, dvakrat zvezno odvedljivo znotraj $V$, in naj je $S\!\,$ ploskev, ki zapira domeno $V\!\,$. Potem se lahko za $\mathbf {\vec {F}} \!\,$ izvede razstavitev na komponento brez rotorja in komponento brez divergence, kot sledi:

$\mathbf {\vec {F}} =-\mathbf {\vec {\nabla }} \varphi \nabla \times \mathbf {\vec {A}} \!\,,$

kjer je:

${\begin{aligned}\varphi (\mathbf {\vec {r}} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {\vec {F}} (\mathbf {\vec {r}} ')}{|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} '|}}\,\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {\vec {F}} (\mathbf {\vec {r}} ')}{|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} '|}}\,\mathrm {d} S'\\[8pt]\mathbf {\vec {A}} (\mathbf {\vec {r}} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {\vec {F}} (\mathbf {\vec {r}} ')}{|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} '|}}\,\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {\vec {F}} (\mathbf {\vec {r}} ')}{|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} '|}}\,\mathrm {d} S'\!\,,\end{aligned}}$

$\nabla '\!\,$ pa je operator nabla glede na $\mathbf {\vec {r}} '\!\,$ in ne na $\mathbf {\vec {r}} \!\,$.

Če je $V=\mathbb {R} ^{3}\!\,$ in zato neomejena, $\mathbf {\vec {F}} \!\,$ pa upada vsaj tako hitro kot $1/r\!\,$, ko gre $r\to \infty \!\,$, potem velja:

${\begin{aligned}\varphi (\mathbf {\vec {r}} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {\vec {F}} (\mathbf {\vec {r}} ')}{|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} '|}}\,\mathrm {d} V'\\[8pt]\mathbf {\vec {A}} (\mathbf {\vec {r}} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla '\times \mathbf {\vec {F}} (\mathbf {\vec {r}} ')}{|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} '|}}\,\mathrm {d} V'\!\,.\end{aligned}}$

To velja še posebej, če je $\mathbf {\vec {F}} \!\,$ dvakrat zvezno odvedljivo v $\mathbb {R} ^{3}\!\,$ in z omejeno podporo.

Izpeljava

Dokaz

Naj je dana vektorska funkcija $\mathbf {\vec {F}} (\mathbf {\vec {r}} )\!\,$ za katero je znan rotor $\nabla \times \mathbf {\vec {F}} \!\,$ in divergenca $\nabla \cdot \mathbf {\vec {F}} \!\,$ v domeni in meji polja. Če se zapiše funkcija s pomočjo funkcije delta v obliki:

$\delta ^{3}(\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} ')=-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}{\frac {1}{|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} '|}}\!\,,$

kjer je $\nabla ^{2}:=\nabla \cdot \nabla \!\,$ Laplaceov operator, velja:

${\begin{aligned}\mathbf {\vec {F}} (\mathbf {\vec {r}} )&=\int _{V}\mathbf {\vec {F}} \left(\mathbf {\vec {r}} '\right)\delta ^{3}(\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} ')\,\mathrm {d} V'\\&=\int _{V}\mathbf {\vec {F}} (\mathbf {\vec {r}} ')\left(-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}{\frac {1}{\left|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} '\right|}}\right)\,\mathrm {d} V'\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}\int _{V}{\frac {\mathbf {\vec {F}} (\mathbf {\vec {r}} ')}{\left|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} '\right|}}\,\mathrm {d} V'\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[\nabla \left(\nabla \cdot \int _{V}{\frac {\mathbf {\vec {F}} (\mathbf {\vec {r}} ')}{\left|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} '\right|}}\,\mathrm {d} V'\right)-\nabla \times \left(\nabla \times \int _{V}{\frac {\mathbf {\vec {F}} (\mathbf {\vec {r}} ')}{\left|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} '\right|}}\,\mathrm {d} V'\right)\right]\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[\nabla \left(\int _{V}\mathbf {\vec {F}} (\mathbf {\vec {r}} ')\cdot \nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} '\right|}}\,\mathrm {d} V'\right) \nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {\vec {F}} (\mathbf {\vec {r}} ')\times \nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} '\right|}}\,\mathrm {d} V'\right)\right]\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[-\nabla \left(\int _{V}\mathbf {\vec {F}} (\mathbf {\vec {r}} ')\cdot \nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} '\right|}}\,\mathrm {d} V'\right)-\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {\vec {F}} (\mathbf {\vec {r}} ')\times \nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} '\right|}}\,\mathrm {d} V'\right)\right]\!\,,\end{aligned}}$

kjer se je uporabila definicija vektorskega Laplaceovega operatorja:

$\nabla ^{2}\mathbf {\vec {a}} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {\vec {a}} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {\vec {a}} )\!\,,$

odvajanje/integracija glede na $\mathbf {\vec {r}} '\!\,$ z $\nabla '/\mathrm {d} V'\!\,$ in v zadnji vrstici linearnost argumentov funkcije:

$\nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} '\right|}}=-\nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} '\right|}}\!\,.$

Nato s pomočjo vektorskih identitet:

${\begin{aligned}\mathbf {\vec {a}} \cdot \nabla \psi &=-\psi (\nabla \cdot \mathbf {\vec {a}} ) \nabla \cdot (\psi \mathbf {\vec {a}} )\\\mathbf {\vec {a}} \times \nabla \psi &=\psi (\nabla \times \mathbf {\vec {a}} )-\nabla \times (\psi \mathbf {\vec {a}} )\!\,\end{aligned}}$

sledi:

${\begin{aligned}\mathbf {\vec {F}} (\mathbf {\vec {r}} )=-{\frac {1}{4\pi }}{\bigg [}&-\nabla \left(-\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {\vec {F}} \left(\mathbf {\vec {r}} '\right)}{\left|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} '\right|}}\,\mathrm {d} V' \int _{V}\nabla '\cdot {\frac {\mathbf {\vec {F}} \left(\mathbf {\vec {r}} '\right)}{\left|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} '\right|}}\,\mathrm {d} V'\right)\\&-\nabla \times \left(\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {\vec {F}} \left(\mathbf {\vec {r}} '\right)}{\left|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} '\right|}}\,\mathrm {d} V'-\int _{V}\nabla '\times {\frac {\mathbf {\vec {F}} \left(\mathbf {\vec {r}} '\right)}{\left|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} '\right|}}\,\mathrm {d} V'\right){\bigg ]}\!\,.\end{aligned}}$

S pomočjo izreka o divergenci se lahko enačba prepiše kot:

${\begin{aligned}\mathbf {\vec {F}} (\mathbf {\vec {r}} )&=-{\frac {1}{4\pi }}{\bigg [}-\nabla \left(-\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {\vec {F}} \left(\mathbf {\vec {r}} '\right)}{\left|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} '\right|}}\,\mathrm {d} V' \oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {\vec {F}} \left(\mathbf {\vec {r}} '\right)}{\left|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} '\right|}}\,\mathrm {d} S'\right)\\&\qquad \qquad -\nabla \times \left(\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {\vec {F}} \left(\mathbf {\vec {r}} '\right)}{\left|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} '\right|}}\,\mathrm {d} V'-\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {\vec {F}} \left(\mathbf {\vec {r}} '\right)}{\left|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} '\right|}}\,\mathrm {d} S'\right){\bigg ]}\\&=-\nabla \left[{\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {\vec {F}} \left(\mathbf {\vec {r}} '\right)}{\left|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} '\right|}}\,\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {\vec {F}} \left(\mathbf {\vec {r}} '\right)}{\left|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} '\right|}}\,\mathrm {d} S'\right]\\&\quad \nabla \times \left[{\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {\vec {F}} \left(\mathbf {\vec {r}} '\right)}{\left|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} '\right|}}\,\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {\vec {F}} \left(\mathbf {\vec {r}} '\right)}{\left|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} '\right|}}\,\mathrm {d} S'\right]\!\,\end{aligned}}$

z normalo $\mathbf {\hat {n}} '\!\,$ navzven iz ploskve.

Če se definira:

$\varphi (\mathbf {\vec {r}} )\equiv {\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {\vec {F}} \left(\mathbf {\vec {r}} '\right)}{\left|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} '\right|}}\,\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {\vec {F}} \left(\mathbf {\vec {r}} '\right)}{\left|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} '\right|}}\,\mathrm {d} S'\!\,,$

$\mathbf {\vec {A}} (\mathbf {\vec {r}} )\equiv {\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {\vec {F}} \left(\mathbf {\vec {r}} '\right)}{\left|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} '\right|}}\,\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {\vec {F}} \left(\mathbf {\vec {r}} '\right)}{\left|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} '\right|}}\,\mathrm {d} S'\!\,,$

končno izhaja:

$\mathbf {\vec {F}} =-\mathbf {\vec {\nabla }} \varphi \nabla \times \mathbf {\vec {A}} \!\,.$

Polja z določeno divergenco in rotorjem

Izraz »Helmholtzev izrek« velja tudi za naslednje: naj je $\mathbf {\vec {C}} \!\,$ solenoidalno vektorsko polje in $d\!\,$ skalarno polje na $\mathbb {R} ^{3}\!\,$, ki je dovolj gladko in, ki v neskončnosti upada hitreje kot $1/r^{2}\!\,$. Potem obstaja takšno vektorsko polje $\mathbf {\vec {F}} \!\,$, da velja:

$\nabla \cdot \mathbf {\vec {F}} =d\quad {\text{ in }}\quad \nabla \times \mathbf {\vec {F}} =\mathbf {\vec {C}} \!\,,$

in, če dodatno vektorsko polje $\mathbf {\vec {F}} \!\,$ izgine, ko gre $r\to \infty \!\,$, potem je $\mathbf {\vec {F}} \!\,$ enolično.

Z drugimi besedami, vektorsko polje je mogoče skonstruirati tako z določeno divergenco kot z določenim rotorjem, in če tudi izgine v neskončnosti, je enolično določeno s svojo divergenco in rotorjem. Ta izrek je zelo pomemben v elektrostatiki, saj so Maxwellove enačbe za električna in magnetna polja v statičnem primeru natanko tega tipa. Dokaz je s konstrukcijo, ki posplošuje zgoraj navedeno. Naj velja:

$\mathbf {\vec {F}} =-\mathbf {\vec {\nabla }} ({\mathcal {G}}(d)) \nabla \times ({\mathcal {G}}(\mathbf {\vec {C}} ))\!\,,$

kjer je ${\mathcal {G}}\!\,$ operator Newtonovega potenciala. (Pri delovanju na vektorsko polje, kot na primer $\nabla \times \mathbf {\vec {F}} \!\,$, je definirano, da deluje na vsako komponento.)

Šibka formulacija

Helmholtzevo razstavitev je mogoče posplošiti z zmanjšanjem predpostavk o regularnosti (potrebe po obstoju močnih odvodov). Naj je $\Omega \!\,$ omejena, enostavno povezana Lipschitzeva domena. Vsako kvadratnointegrabilno vektorsko polje $\mathbf {\vec {u}} \in (L^{2}(\Omega ))^{3}\!\,$ ima ortogonalno razstavitev:

$\mathbf {\vec {u}} =\mathbf {\vec {\nabla }} \varphi \nabla \times \mathbf {\vec {A}} \!\,,$

kjer $\varphi \!\,$ leži v prostoru Soboljeva $H_{1}(\Omega )\!\,$ kvadratnointegrabilnih funkcij na $\Omega \!\,$, katerih parcialni odvodi, definirani v smislu porazdelitev, so kvadratnointegrabilni, $\mathbf {\vec {A}} \in H(\nabla \times \mathbf {\vec {A}} ,\Omega )\!\,$ pa je prostor Soboljeva vektorskih prostorov, ki vsebuje kvadratnointegrabilna vektorska polja s kvadratnointegrabilnim rotorjem.

Za nekoliko gladkejše vektorsko polje $\mathbf {\vec {u}} \in H(\nabla \times \mathbf {\vec {u}} ,\Omega )\!\,$ velja podobna razstavitev:

$\mathbf {\vec {u}} =\mathbf {\vec {\nabla }} \varphi \mathbf {\vec {v}} \!\,,$

kjer je $\varphi \in H^{1}(\Omega )\!\,$ in $\mathbf {\vec {v}} \in (H^{1}(\Omega ))^{d}\!\,$.

Izpeljava iz Fourierove transformacije

Upoštevati je treba, da se je v tu v navedenem izreku vsilili pogoj, da če $\mathbf {\vec {F}} \!\,$ ni definirano na omejeni domeni, bo upadalo hitreje kot $1/r\!\,$. Tako Fourierova transformacija $\mathbf {\vec {F}} \!\,$, označena kot $\mathbf {\vec {G}} \!\,$, zajamčeno obstaja. Uporablja se dogovor:

$\mathbf {\vec {F}} (\mathbf {\vec {r}} )=\iiint \mathbf {\vec {G}} (\mathbf {\vec {k}} )e^{i\mathbf {\vec {k}} \cdot \mathbf {\vec {r}} }\,\mathrm {d} V_{k}\!\,.$

Fourierova transformacija skalarnega polja je skalarno polje, Fourierova transformacija vektorskega polja pa je vektorsko polje iste razsežnosti.

Naj obstajajo naslednja skalarna in vektorska polja:

${\begin{aligned}G_{\varphi }(\mathbf {\vec {k}} )&=i{\frac {\mathbf {\vec {k}} \cdot \mathbf {\vec {G}} (\mathbf {\vec {k}} )}{\|\mathbf {\vec {k}} \|^{2}}},\\\mathbf {\vec {G}} _{\mathbf {\vec {A}} }(\mathbf {\vec {k}} )&=i{\frac {\mathbf {\vec {k}} \times \mathbf {\vec {G}} (\mathbf {\vec {k}} )}{\|\mathbf {\vec {k}} \|^{2}}},\\[8pt]\varphi (\mathbf {\vec {r}} )&=\iiint G_{\varphi }(\mathbf {\vec {k}} )e^{i\mathbf {\vec {k}} \cdot \mathbf {\vec {r}} }\,\mathrm {d} V_{k},\\\mathbf {\vec {A}} (\mathbf {\vec {r}} )&=\iiint \mathbf {\vec {G}} _{\mathbf {\vec {A}} }(\mathbf {\vec {k}} )e^{i\mathbf {\vec {k}} \cdot \mathbf {\vec {r}} }\,\mathrm {d} V_{k}\!\,.\end{aligned}}$

Zanje tako velja:

${\begin{aligned}\mathbf {\vec {G}} (\mathbf {\vec {k}} )&=-i\mathbf {\vec {k}} G_{\varphi }(\mathbf {\vec {k}} ) i\mathbf {\vec {k}} \times \mathbf {\vec {G}} _{\mathbf {\vec {A}} }(\mathbf {\vec {k}} ),\\[6pt]\mathbf {\vec {F}} (\mathbf {\vec {r}} )&=-\iiint i\mathbf {\vec {k}} G_{\varphi }(\mathbf {\vec {k}} )e^{i\mathbf {\vec {k}} \cdot \mathbf {\vec {r}} }\,\mathrm {d} V_{k} \iiint i\mathbf {\vec {k}} \times \mathbf {\vec {G}} _{\mathbf {\vec {A}} }(\mathbf {\vec {k}} )e^{i\mathbf {\vec {k}} \cdot \mathbf {\vec {r}} }\,\mathrm {d} V_{k}\\&=-\mathbf {\vec {\nabla }} \varphi (\mathbf {\vec {r}} ) \nabla \times \mathbf {\vec {A}} (\mathbf {\vec {r}} )\!\,.\end{aligned}}$

Vzdolžna in prečna polja

Terminologija, ki se pogosto uporablja v fiziki, se nanaša na komponento vektorskega polja brez rotorja kot vzdolžno komponento ($\mathrm {l} \!\,$) in komponento brez divergence kot prečno komponento ($\mathrm {t} \!\,$). Ta terminologija izhaja iz naslednje konstrukcije: naj se izračuna trirazsežno Fourierovo transformacijo ${\hat {\mathbf {F} }}\!\,$ vektorskega polja $\mathbf {\vec {F}} \!\,$. Nato se to polje v vsaki točki $\mathbf {\vec {k}} \!\,$ razdeli na dve komponenti, od katerih ena kaže vzdolžno, to je vzporedno s $\mathbf {\vec {k}} \!\,$, druga pa kaže v prečni smeri, to je pravokotno na $\mathbf {\vec {k}} \!\,$. Tako do sedaj velja:

${\hat {\mathbf {F} }}(\mathbf {\vec {k}} )={\hat {\mathbf {F} }}_{\mathrm {t} }(\mathbf {\vec {k}} ) {\hat {\mathbf {F} }}_{\mathrm {l} }(\mathbf {\vec {k}} )\!\,,$

$\mathbf {\vec {k}} \cdot {\hat {\mathbf {F} }}_{\mathrm {t} }(\mathbf {\vec {k}} )=0\!\,,$

$\mathbf {\vec {k}} \times {\hat {\mathbf {F} }}_{\mathrm {l} }(\mathbf {\vec {k}} )=\mathbf {\vec {0}} \!\,.$

nato se uporabi inverzno Fourierovo transformacijo za vsako od teh komponent. Z uporabo značilnosti Fourierovih transformacij se izpelje:

$\mathbf {\vec {F}} (\mathbf {\vec {r}} )=\mathbf {\vec {F}} _{\mathrm {t} }(\mathbf {\vec {r}} ) \mathbf {\vec {F}} _{\mathrm {l} }(\mathbf {\vec {r}} )\!\,,$

$\nabla \cdot \mathbf {\vec {F}} _{\mathrm {t} }(\mathbf {\vec {r}} )=0\!\,,$

$\nabla \times \mathbf {\vec {F}} _{\mathrm {l} }(\mathbf {\vec {r}} )=\mathbf {\vec {0}} \!\,.$

Ker je $\nabla \times (\mathbf {\vec {\nabla }} \varphi )=0\!\,$ in $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {\vec {A}} )=0\!\,$,

se lahko dobi:

$\mathbf {\vec {F}} _{\mathrm {t} }=\nabla \times \mathbf {\vec {A}} ={\frac {1}{4\pi }}\nabla \times \int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {\vec {F}} }{\left|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} '\right|}}\,\mathrm {d} V'\!\,,$

$\mathbf {\vec {F}} _{\mathrm {l} }=-\mathbf {\vec {\nabla }} \varphi =-{\frac {1}{4\pi }}\mathbf {\vec {\nabla }} \int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {\vec {F}} }{\left|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} '\right|}}\,\mathrm {d} V'\!\,,$

tako, da je to res Helmholtzeva razstavitev.

Posplošitve na višje razsežnosti

Matrični pristop

Posplošitve na $d\!\,$ razsežnosti ni mogoče narediti z vektorskim potencialom, ker sta rotacijski operator in vektorski produkt (kot vektorja) definirana samo v treh razsežnostih.

Naj je $\mathbf {\vec {F}} \!\,$ vektorsko polje na omejeni domeni $V\subseteq \mathbb {R} ^{d}\!\,$, ki upada hitreje kot $|\mathbf {\vec {r}} |^{-\delta }\!\,$ za $|\mathbf {\vec {r}} |\to \infty \!\,$ in $\delta >2\!\,$.

Skalarni potencial je definiran podobno trirazsežnemu primeru kot:

$\varphi (\mathbf {\vec {r}} )=-\int _{\mathbb {R} ^{d}}\nabla \cdot (\mathbf {\vec {F}} (\mathbf {\vec {r}} '))\,K(\mathbf {\vec {r}} ,\mathbf {\vec {r}} ')\,\mathrm {d} V'=-\int _{\mathbb {R} ^{d}}\sum _{i}{\frac {\partial F_{i}}{\partial r_{i}}}(\mathbf {\vec {r}} ')\,K(\mathbf {\vec {r}} ,\mathbf {\vec {r}} ')\,\mathrm {d} V'\!\,,$

kjer je integralsko jedro $K(\mathbf {\vec {r}} ,\mathbf {\vec {r}} ')\!\,$ spet fundamentalna rešitev Laplaceove enačbe, vendar v $d\!\,$-razsežnemu prostoru:

$K(\mathbf {\vec {r}} ,\mathbf {\vec {r}} ')={\begin{cases}{\frac {1}{2\pi }}\log {|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} '|}&d=2,\\{\frac {1}{d(2-d)V_{d}}}|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} '|^{2-d}&{\text{drugače}}\!\,,\end{cases}}$

z $V_{d}=\pi ^{\frac {d}{2}}/\Gamma {\big (}{\tfrac {d}{2}} 1{\big )}\!\,$, prostornino $d\!\,$-razsežnih enotskih krogel in $\Gamma (\mathbf {\vec {r}} )\!\,$, funkcijo gama.

Za $d=3\!\,$ je $V_{d}\!\,$ ravno enaka ${\frac {4\pi }{3}}\!\,$, kar vodi do istega predfaktorja kot zgoraj. Rotacijski potencial je antisimetrična matrika z elementi:

$A_{ij}(\mathbf {\vec {r}} )=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\left({\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{j}}}(\mathbf {\vec {r}} ')-{\frac {\partial F_{j}}{\partial x_{i}}}(\mathbf {\vec {r}} ')\right)K(\mathbf {\vec {r}} ,\mathbf {\vec {r}} ')\,\mathrm {d} V'\!\,.$

Nad diagonalo je $\textstyle {\binom {d}{2}}\!\,$ elementov, ki se nato spet pojavijo zrcaljeno prek diagonale, vendar z negativnim predznakom. V trirazsežnem primeru matrični elementi odgovarjajo komponentam vektorskega potenciala $\mathbf {\vec {A}} =[A_{1},A_{2},A_{3}]=[A_{23},A_{31},A_{12}]\!\,$. Vendar se takšni matrični potencial lahko zapiše kot vektor le v trirazsežnem primeru, ker $\textstyle {\binom {d}{2}}=d\!\,$ velja le za $d=3\!\,$.

Kot v trirazsežnem primeru je gradientno polje definirano kot:

$\mathbf {\vec {G}} (\mathbf {\vec {r}} )=-\mathbf {\vec {\nabla }} \varphi (\mathbf {\vec {r}} )\!\,.$

Rotacijsko polje je na drugi strani definirano v splošnem primeru, ker je vrstična divergenca matrike enaka:

$\mathbf {\vec {R}} (\mathbf {\vec {r}} )=\left[\sum \nolimits _{k}\partial _{r_{k}}A_{ik}(\mathbf {\vec {r}} );{1\leq i\leq d}\right]\!\,.$

V trirazsežnem prostoru je to enakovredno vektorskemu potencialu.

Tenzorski pristop

V $d\!\,$-razsežnemu vektorskemu prostoru z $d\neq 3\!\,$, se lahko ${\textstyle -{\frac {1}{4\pi \left|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} '\right|}}\!\,}$ zamenja z odgovarjajočo Greenovo funkcijo za Laplaceov operator, definirano kot:

$\nabla ^{2}G(\mathbf {\vec {r}} ,\mathbf {\vec {r}} ')={\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}G(\mathbf {\vec {r}} ,\mathbf {\vec {r}} ')=\delta ^{d}(\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} ')\!\,,$

kjer se za indeks $\mu \!\,$ rabi Einsteinov dogovor o seštevanju. Za dvorazsežni primer na primer velja:

$G(\mathbf {\vec {r}} ,\mathbf {\vec {r}} ')={\frac {1}{2\pi }}\ln \left|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} '\right|\!\,.$

Po enakih korakih kot zgoraj se lahko zapiše:

$F_{\mu }(\mathbf {\vec {r}} )=\int _{V}F_{\mu }(\mathbf {\vec {r}} '){\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}G(\mathbf {\vec {r}} ,\mathbf {\vec {r}} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {\vec {r}} '=\delta _{\mu \nu }\delta _{\rho \sigma }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {\vec {r}} '){\frac {\partial }{\partial r_{\rho }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }}}G(\mathbf {\vec {r}} ,\mathbf {\vec {r}} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {\vec {r}} '\!\,,$

kjer je $\delta _{\mu \nu }\!\,$ Kroneckerjeva delta (uporabljen pa je spet dogovor o seštevanju). Namesto definicije vektorskega Laplaceovega operatorja, uporabljenega zgoraj, se sedaj uporabi identiteta za Levi-Civitajev simbol $\varepsilon \!\,$:

$\varepsilon _{\alpha \mu \rho }\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }=(d-2)!(\delta _{\mu \nu }\delta _{\rho \sigma }-\delta _{\mu \sigma }\delta _{\nu \rho })\!\,,$

ki velja v razsežnostih $d\geq 2\!\,$, kjer je $\alpha \!\,$ $(d-2)\!\,$-komponentni multiindeks. To da:

$F_{\mu }(\mathbf {\vec {r}} )=\delta _{\mu \sigma }\delta _{\nu \rho }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {\vec {r}} '){\frac {\partial }{\partial r_{\rho }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }}}G(\mathbf {\vec {r}} ,\mathbf {\vec {r}} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {\vec {r}} ' {\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \mu \rho }\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {\vec {r}} '){\frac {\partial }{\partial r_{\rho }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }}}G(\mathbf {\vec {r}} ,\mathbf {\vec {r}} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {\vec {r}} '\!\,.$

Tako se lahko zapiše:

$F_{\mu }(\mathbf {\vec {r}} )=-{\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}\varphi (\mathbf {\vec {r}} ) \varepsilon _{\mu \rho \alpha }{\frac {\partial }{\partial r_{\rho }}}A_{\alpha }(\mathbf {\vec {r}} )\!\,,$

kjer je:

${\begin{aligned}\varphi (\mathbf {\vec {r}} )&=-\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {\vec {r}} '){\frac {\partial }{\partial r_{\nu }}}G(\mathbf {\vec {r}} ,\mathbf {\vec {r}} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {\vec {r}} ',\\A_{\alpha }&={\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {\vec {r}} '){\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }}}G(\mathbf {\vec {r}} ,\mathbf {\vec {r}} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {\vec {r}} '\!\,\end{aligned}}$

Pri tem velja, da vektorski potencial nadomesti tenzor reda $(d-2)\!\,$ v $d\!\,$ razsežnostih.

Za nadaljnjo posplošitev na mnogoterosti glej razpravo o Hodgeevi razstavitvi spodaj.

Diferencialne forme

Hodgeeva razstavitev je tesno povezana s Helmholtzevo razstavitvijo, in je posplošitev z vektorskih polj na $\mathbb {R} ^{3}\!\,$ do diferencialnih form na Riemannovo mnogoterost $M\!\,$. Večina formulacij Hodgeeve razstavitve zahteva, da je $M\!\,$ kompaktna. Ker to ne velja za $\mathbb {R} ^{3}\!\,$, Hodgeev razstavitveni izrek ni strogo posplošitev Helmholtzevega izreka. Vendar pa je omejitev kompaktnosti v običajni formulaciji Hodgeeve razstavitve mogoče nadomestiti z ustreznimi predpostavkami o upadanju v neskončnost vključenih diferencialnih form, kar daje ustrezno posplošitev Helmholtzevega izreka.

Razširitve na polja, ki v neskončnosti ne upadejo

Večina učbenikov obravnava le vektorska polja, ki upadajo hitreje kot $|\mathbf {\vec {r}} |^{-\delta }\!\,$ z $\delta >1\!\,$ v neskončnosti. Vendar pa je Ludwig Otto Blumenthal leta 1905 pokazal, da je prilagojeno integralsko jedro mogoče uporabiti za integracijo polj, ki upadajo hitreje kot $|\mathbf {\vec {r}} |^{-\delta }\!\,$ z $\delta >0\!\,$, kar je bistveno manj strogo. Da se to doseže, je treba jedro $K(\mathbf {\vec {r}} ,\mathbf {\vec {r}} ')\!\,$ v konvolucijskih integralih zamenjati s $K'(\mathbf {\vec {r}} ,\mathbf {\vec {r}} ')=K(\mathbf {\vec {r}} ,\mathbf {\vec {r}} ')-K(0,\mathbf {\vec {r}} ')\!\,$.

S še bolj zapletenimi integralskimi jedri je mogoče najti rešitve tudi za divergentne funkcije, ki jim ni treba rasti hitreje od polinoma.

Za vsa analitična vektorska polja, ki jim ni treba imeti vrednost nič tudi v neskončnosti, je mogoče uporabiti metode, ki temeljijo na integraciji po delih in Cauchyjevi formuli za ponovljeno integracijo za izračun sklenjenih rešitev rotacijskih in skalarnih potencialov, kot v primeru multivariatnih polinomov, sinusnih, kosinusnih in eksponentnih funkcij.

Enoličnost rešitve

Na splošno Helmholtzeva razstavitev ni enolično definirana. Harmonična funkcija $H(\mathbf {\vec {r}} )\!\,$ je funkcija za katero velja $\Delta H(\mathbf {\vec {r}} )=0\!\,$. Če se $H(\mathbf {\vec {r}} )\!\,$ doda k skalarnemu potencialu $\varphi (\mathbf {\vec {r}} )\!\,$, je mogoče dobiti drugačno Helmholtzevo razstavitev:

${\begin{aligned}\mathbf {\vec {G}} '(\mathbf {\vec {r}} )&=\nabla (\varphi (\mathbf {\vec {r}} ) H(\mathbf {\vec {r}} ))=\mathbf {\vec {G}} (\mathbf {\vec {r}} ) \nabla H(\mathbf {\vec {r}} ),\\\mathbf {\vec {R}} '(\mathbf {\vec {r}} )&=\mathbf {\vec {R}} (\mathbf {\vec {r}} )-\nabla H(\mathbf {\vec {r}} )\!\,.\end{aligned}}$

Za vektorska polja $\mathbf {\vec {F}} \!\,$, ki upadajo v neskončnosti, je verjetna izbira, da skalarni in rotacijski potencial prav tako upadata v neskončnosti. Ker velja $H(\mathbf {\vec {r}} )=0\!\,$, je edina harmonična funkcija s to značilnostjo in ta izhaja iz Liouvillovega izreka, kar zagotavlja enoličnost gradientnih in rotacijskih polj.

Ta enoličnost ne velja za potenciale: v trirazsežnemu primeru imata skalarni in vektorski potencial skupaj štiri komponente, medtem ko ima vektorsko polje le tri. Vektorsko polje je invariantno glede na umeritvene transformacije in izbira ustreznih potencialov, znana kot umeritveno nastavljanje, je predmet umeritvene teorije. Pomembna primera iz fizike sta pogoj Lorenzeve umeritve in Coulombova umeritev. Druga možnost je uporaba poloidnotoroidne kompozicije.

Uporabe

Elektrodinamika

Helmholtzev izrek je še posebej zanimiv za elektrodinamiko, saj se lahko z njim Maxwellove enačbe zapišejo v potencialno sliko in se jih lažje reši. Helmholtzeva razstavitev se lahko uporabi za dokaz, da je glede na gostoto električnega toka in gostoto naboja mogoče določiti električno polje in gostoto magnetnega polja. Gostoti sta enolični, če se v neskončnosti izničita, in enako se predpostavi za potenciale.

Dinamika tekočin

V dinamiki tekočin ima Helmholtzeva projekcija pomembno vlogo, zlasti za teorijo rešljivosti Navier-Stokesovih enačb. Če se Helmholtzevo projekcijo uporabi za linearizirane Navier-Stokesove enačbe nestisljive tekočine, se dobi Stokesovo enačbo. To je odvisno le od hitrosti delcev v toku, ne pa več od statičnega tlaka, kar omogoča, da se enačba zmanjša na eno neznanko. Vendar sta obe enačbi, Stokesova in linearizirane enačbe, enakovredni. Linearni operator $P\Delta \!\,$ se imenuje Stokesov operator.

Teorija dinamičnih sistemov

V teoriji dinamičnih sistemov se lahko Helmholtzeva razstavitev uporabi za določitev »kvazipotencialov« kakor tudi ra računanje funkcij Ljapunova v nekaterih primerih.

Za nekatere dinamične sisteme, kot je na primer Lorenzev sistem (Edward Norton Lorenz, 1963), se lahko dobi poenostavljen model za konvekcijo v ozračju, izraz za Helmholtzevo razstavitev v sklenjeni obliki:

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {\vec {r}} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {\vec {F}} (\mathbf {\vec {r}} )={\big [}a(r_{2}-r_{1}),r_{1}(b-r_{3})-r_{2},r_{1}r_{2}-cr_{3}{\big ]}\!\,.$

Helmholtzeva razstavitev $\mathbf {\vec {F}} (\mathbf {\vec {r}} )\!\,$ s kalarnim potencialom $\varphi (\mathbf {\vec {r}} )={\tfrac {a}{2}}r_{1}^{2} {\tfrac {1}{2}}r_{2}^{2} {\tfrac {c}{2}}r_{3}^{2}\!\,$ je dana kot:

$\mathbf {\vec {G}} (\mathbf {\vec {r}} )={\big [}-ar_{1},-r_{2},-cr_{3}{\big ]}\!\,,$

$\mathbf {\vec {R}} (\mathbf {\vec {r}} )={\big [} ar_{2},br_{1}-r_{1}r_{3},r_{1}r_{2}{\big ]}\!\,.$

Kvadratni skalarni potencial zagotavlja gibanje v smeri koordinatnega izhodišča, ki je odgovorno za stabilno negibno točko za določeno območje parametrov. Pri drugih parametrih rotacijsko polje zagotavlja, da se ustvari čudni atraktor, ki povzroči, da model pokaže učinek metulja.

Računalniška animacija in robotika

Helmholtzeva razstavitev se uporablja tudi na področju računalniškega inženirstva. To vključuje robotiko, rekonstrukcijo slik, pa tudi računalniško animacijo, kjer se razstavitev uporablja za realistično vizualizacijo tekočin ali vektorskih polj.

Glej tudi

• Clebscheva reprezentacija, sorodna razstavitev vektorskih polj
• Darwinov Laplaceov operator, uporaba Helmholtze razstavitve
• poloidnotoroidna razstavitev, nadaljnja razstavitev komponente brez divergence $\nabla \times \mathbf {\vec {A}} \!\,$
• skalar-vektor-tenzorska razstavitev
• Hodgeeva teorija, posplošitev Helmholtzeve razstavitve
• izrek o polarni faktorizaciji
• Helmholtz-Lerayjeva razstavitev, v definiciji Lerayjeve projekcije
• Laplace-Beltramijev operator, posplošitev Laplaceovega operatorja na diferencialne forme

Viri

• Amrouche, Cherif; Bernardi, Christine; Dauge, Monique; Girault, Vivette (4. december 1998), »Vector potentials in three dimensional non-smooth domains«, Mathematical Methods in the Applied Sciences, 21 (9): 823–864, Bibcode:1998MMAS...21..823A, doi:10.1002/(sici)1099-1476(199806)21:9<823::aid-mma976>3.0.co;2-b, ISSN 0170-4214
• Arfken, George Brown; Weber, Hans Jurgen (1995), Mathematical Methods for Physicists (4. izd.), San Diego: Academic Press, str. 92–93
  • Arfken, George Brown; Weber, Hans Jurgen (2005), Mathematical Methods for Physicists – International Edition (6. izd.), San Diego: Academic Press, str. 95–101, COBISS 4944468, ISBN 0-12-059876-0
• Aris, Rutherford (1962), Vectors, tensors, and the basic equations of fluid mechanics, Prentice-Hall, str. 70–72, OCLC 299650765
  • Aris, Rutherford (1989), Vectors, tensors, and the basic equations of fluid mechanics (Dover izd.), New York: Dover Publications, COBISS 2353249, ISBN 0-486-66110-5, OCLC 20318500
• Axler, Sheldon; Bourdon, Paul; Ramey, Wade (1992), »§2 : Bounded Harmonic Functions«, Harmonic Function Theory, (= Graduate Texts in Mathematics), zv. 137, New York, NY: Springer, str. 31–44, doi:10.1007/0-387-21527-1_2, ISBN 978-1-4899-1186-5
• Bhatia, Harsh; Norgard, Gregory; Pascucci, Valerio; Bremer, Peer-Timo (Avgust 2013), »The Helmholtz-Hodge Decomposition – A Survey«, IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics, 19 (8): 1386–1404, doi:10.1109/tvcg.2012.316, ISSN 1077-2626
• Bhatia, Harsh; Pascucci, Valerio; Bremer, Peer-Timo (november 2014), »The Natural Helmholtz-Hodge Decomposition for Open-Boundary Flow Analysis«, IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics, 20 (11): 1566–1578, doi:10.1109/TVCG.2014.2312012, ISSN 1077-2626{{citation}}: Vzdrževanje CS1: samodejni prevod datuma (povezava)
• Bladel, Jean (1958), On Helmholtz's Theorem in Finite Regions, Midwestern Universities Research Association
• Blumenthal, Ludwig Otto (Junij 1905), »Über die Zerlegung unendlicher Vektorfelder«, Mathematische Annalen, 61 (2): 235–250, doi:10.1007/BF01457564, ISSN 0025-5831
• Cantarella, Jason; DeTurck, Dennis; Gluck, Herman (2002), »Vector Calculus and the Topology of Domains in 3-Space«, The American Mathematical Monthly, 109 (5): 409–442, doi:10.2307/2695643, ISSN 0002-9890, JSTOR 2695643
• Cauchy, Augustin Louis (1823), »Trente-Cinquième Leçon«, Résumé des leçons données à l’École royale polytechnique sur le calcul infinitésimal, Pariz: Imprimerie Royale, str. 133–140
• Chorin, Alexandre J.; Marsden, Jerrold E. (1990), A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics, (= Texts in Applied Mathematics), zv. 4, New York: Springer US, doi:10.1007/978-1-4684-0364-0
• Dautray, R.; Lions, J.-L. (1990), Spectral Theory and Applications, (Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology), zv. 3, Springer-Verlag
• Edwards, Joseph (1922), A Treatise on the Integral Calculus. Volume 2, Chelsea Publishing Company
• Girault, Vivette; Raviart, P. A. (1986), Finite Element Methods for Navier–Stokes Equations: Theory and Algorithms, (Springer Series in Computational Mathematics), Springer-Verlag
• Glötzl, Erhard; Richters, Oliver (2020), Helmholtz Decomposition and Rotation Potentials in n-dimensional Cartesian Coordinates, arXiv:2012.13157
• Glötzl, Erhard; Richters, Oliver (15. september 2023), »Helmholtz decomposition and potential functions for n-dimensional analytic vector fields«, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 525 (2): 127138, arXiv:2102.09556v3, doi:10.1016/j.jmaa.2023.127138, ISSN 0022-247X. Delovni list programa Mathematica na DOI: 10.5281/zenodo.7512798.
• Gregory, R. Douglas (1. avgust 1996), »Helmholtz's Theorem when the domain is Infinite and when the field has singular points«, The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 49 (3): 439–450, doi:10.1093/qjmam/49.3.439, ISSN 0033-5614
• Griffiths, David Jeffrey (1999), Introduction to Electrodynamics, Prentice-Hall
• Gurtin, Morton Edward (Januar 1962), »On Helmholtz's theorem and the completeness of the Papkovich-Neuber stress functions for infinite domains«, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 9 (1): 225–233, doi:10.1007/BF00253346, ISSN 0003-9527
• Heaviside, Oliver (1893), Electromagnetic theory. Volume 1, »The Electrician« printing and publishing company, limited
• Helmholtz, Hermann von (Januar 1858), »Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen«, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 55: 25–55, doi:10.1515/crll.1858.55.25, ISSN 0075-4102 (sub.uni-goettingen.de, digizeitschriften.de). Na strani 38 so komponente hitrosti tekočine $(u,v,w)\!\,$ izražene s členi gradienta skalarnega potenciala $P\!\,$ in rotorja vektorskega potenciala $(L,M,N)\!\,$.
• Johnson, William Woolsey (1881), An Elementary Treatise on the Integral Calculus: Founded on the Method of Rates Or Fluxions, John Wiley & Sons.
  • glej tudi Metoda fluksij (Method of Fluxions).
• Koenigsberger, Leo (1906), Hermann von Helmholtz, Clarendon Press
• Kustepeli, Alp (2016), »On the Helmholtz Theorem and Its Generalization for Multi-Layers«, Electromagnetics, 36 (3): 135–148, doi:10.1080/02726343.2016.1149755, ISSN 0272-6343
• Littlejohn, Robert G. (2017), The Classical Electromagnetic Field Hamiltonian (PDF) (v angleščini), spletni zapiski predavanj, berkeley.edu
• Lorenz, Edward Norton (1. marec 1963), »Deterministic Nonperiodic Flow«, Journal of the Atmospheric Sciences, 20 (2): 130–141, doi:10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2, ISSN 0022-4928
• Murray, Daniel Alexander (1898), An Elementary Course in the Integral Calculus, American Book Company
• Peitgen, Heinz-Otto; Jürgens, Hartmut; Saupe, Dietmar (1992), »§12 : Strange Attractors: The Locus of Chaos«, Chaos and Fractals (1. izd.), New York: Springer, str. 655–768, doi:10.1007/978-1-4757-4740-9_13
• Petrascheck, Dietmar (12. november 2015), »The Helmholtz decomposition revisited«, European Journal of Physics, 37 (1): 015201, doi:10.1088/0143-0807/37/1/015201, ISSN 1361-6404
• Petrascheck, Dietmar; Folk, R. (2017), »Helmholtz decomposition theorem and Blumenthal's extension by regularization«, Condensed Matter Physics, 20 (1): 13002, arXiv:1704.02287, doi:10.5488/CMP.20.13002, ISSN 1607-324X
• Shaw, James Byrnie (1922), Vector Calculus: With Applications to Physics, D. Van Nostrand.
  • glej tudi Greenov izrek
• Sprössig, Wolfgang (8. september 2009), »On Helmholtz decompositions and their generalizations – An overview«, Mathematical Methods in the Applied Sciences, 33 (4): 374–383, doi:10.1002/mma.1212, ISSN 0170-4214
• Stewart, A. M. (2005), »Angular momentum of light«, Journal of Modern Optics, 52 (8): 1145–1154, arXiv:physics/0504078, doi:10.1080/09500340512331326832, ISSN 0950-0340
• Stewart, A. M. (2011), »Longitudinal and transverse components of a vector field«, Sri Lankan Journal of Physics, 12: 33–42, arXiv:0801.0335, doi:10.4038/sljp.v12i0.3504, ISSN 1391-5800
• Stokes, George Gabriel (1849), »On the Dynamical Theory of Diffraction«, Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 9: 1–62, doi:10.1017/cbo9780511702259.015
• Suda, Tomoharu (2019), »Construction of Lyapunov functions using Helmholtz–Hodge decomposition«, Discrete & Continuous Dynamical Systems – A, 39 (5): 2437–2454, doi:10.3934/dcds.2019103, ISSN 1078-0947
• Suda, Tomoharu (18. avgust 2020), »Application of Helmholtz–Hodge decomposition to the study of certain vector fields«, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 53 (37): 375703, doi:10.1088/1751-8121/aba657, ISSN 1751-8113
• Tran-Cong, Ton (Marec 1993), »On Helmholtz's Decomposition Theorem and Poissons's Equation with an Infinite Domain«, Quarterly of Applied Mathematics, 51 (1): 23–35, ISSN 0033-569X, JSTOR 43637902
• Warner, Frank W. (1983), »§6 : The Hodge Theorem«, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, (= Graduate Texts in Mathematics), zv. 94, New York: Springer, doi:10.1007/978-1-4757-1799-0_6
• Wilson, Edwin Bidwell (1901), »Vector Analysis, based on the Lectures of J. W. Gibbs«, Internet Archive
• Woolhouse, Wesley Stoker Berker (1852), Elements of the differential calculus, London: John Weale
• Zhou, Joseph Xu; Aliyu, M. D. S.; Aurell, Erik; Huang, Sui (7. december 2012), »Quasi-potential landscape in complex multi-stable systems«, Journal of the Royal Society Interface, 9 (77): 3539–3553, doi:10.1098/rsif.2012.0434, ISSN 1742-5689

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Helmholtz's Theorem«. MathWorld. Pridobljeno 18. oktobra 2023. (angleško)