Usporiadané pole

Usporiadané pole je v matematike pole, na ktorom je definované totálne usporiadanie s istými vlastnosťami. Tento koncept zaviedol Emil Artin v roku 1927.

Definícia

Pole (F, , *) s totálnym usporiadaním ≤ na F je nazývame usporiadaným poľom, ak toto usporiadanie spĺňa nasledovné vlastnosti (0 označuje neutrálny prvok aditívnej operácie poľa):

• Ak a ≤ b, potom a c ≤ b c
• Ak 0 ≤ a a 0 ≤ b, potom 0 ≤ a b

Prvky a poľa, pre ktoré platí 0 ≤ a, nazývame nezápornými.

Z tejto definície vyplýva, že pre každé a, b, c, d v F platí:

• Buď −a ≤ 0 ≤ a alebo a ≤ 0 ≤ −a,
• Ak a ≤ b a c ≤ d, potom a c ≤ b d (môžeme "sčítavať nerovnosti"),
• Ak a ≤ b a 0 ≤ c, potom ac ≤ bc (môžeme "násobiť nerovnosti kladnými prvkami").

Vlastnosti usporiadaných polí

• 1 je nezáporná. (Dôkaz: buď 1 je nezáporná alebo −1 je nezáporná. Ak −1 je nezáporná, tak (−1)(−1) je nezáporná, čo je spor.)
• Usporiadané pole má charakteristiku 0. Konečné polia tak nemôžu byť usporiadané.
• Druhé mocniny sú nezáporné. 0 ≤ a² pre všetky a v F.

Každé podpole usporiadaného poľa je takisto usporiadané pole (s indukovaným usporiadaním). Najmenšie podpole je izomorfné s poľom racionálnych čísel. Ak každý prvok usporiadané poľa leží medzi dvomi inými jeho prvkami, hovoríme, že pole je archimedovské; napríklad pole reálnych čísel je archimedovské, ale každé hyperreálne pole je nearchimedovské.

Príklady usporiadaných polí

Príkladmi usporiadaných polí sú polia:

• racionálnych čísel,
• reálnych algebrických čísel,
• vypočítateľných čísel,
• reálnych čísel,
• superreálnych čísel,
• hyperreálnych čísel,
• pole reálnych racionálnych funkcií ${\frac {p(x)}{q(x)}}\,$, kde p(x) a q(x), $q(x)\neq 0\,$ sú polynómy s reálnymi koeficientami sa dá usporiadať do poľa, kde p(x) = x je väčší ako každý konštantný polynóm definiovaním: ${\frac {p(x)}{q(x)}}>0\,$ keď ${\frac {p_{0}}{q_{0}}}>0\,$, pre $p(x)=p_{0}x^{n} \cdots {\mbox{ and }}q(x)=q_{0}x^{m} \cdots \,$. Takto usporiadané pole nie je archimedovské.
• Pole formálnych mocninových radov s reálnymi koeficientami
• reálne uzavreté polia.