Kvadrika

Kvadrika alebo kvadratická plocha je plocha 2. stupňa v trojrozmernom priestore. Teda ide o plochy, ktoré v pravouhlej súradnicovej sústave $\{0,x,y,z\}$ môžeme zapísať v tvare $ax^{2} by^{2} cz^{2} dxy ezy fxz gx hy iz j=0$

Definícia

V priestore majme danú rovinu $k$ , v nej kužeľosečku $K$ a bod $V$ mimo nej. Množina bodov všetkých priamok $V,X$ , kde $X\in K$ , sa nazýva kvadratická kužeľová plocha. Voľme súradnicový systém tak, aby $V=[0,0,0]$ a $K:z=c$ , kde $c\neq 0$ . Potom rovnice kvadratických kužeľových plôch budú:

${\frac {(x-{\frac {m}{n}}z)^{2}}{a^{2}}} {\frac {(y-{\frac {n}{n}}z)^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0$ ... eliptická kužeľová plocha,

${\frac {(x-{\frac {m}{n}}z)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-{\frac {n}{n}}z)^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0$ ... hyperbolická kužeľová plocha,

$c(y-{\frac {n}{c}}z)^{2}-2p(x-{\frac {m}{c}}z)z=0$ ... parabolická kužeľová plocha.

V priestore majme danú rovinu $k$ , v nej kužeľosečku $K$ a priamku $p$ rôznobežnú s rovinou $k$ mimo nej. Množina bodov všetkých priamok, ktoré sú rovnobežné s $p$ a pretínajú $K$ sa nazýva kvadratická valcová plocha. Voľme súradnicový systém tak, aby $p\equiv {P;{\vec {v}}=(v_{1},v_{2},v_{3})}$ . Potom rovnice kvadratických valcových plôch budú:

${\frac {(x-{\frac {v_{1}}{v_{3}}}z)^{2}}{a^{2}}} {\frac {(y-{\frac {v_{2}}{v_{3}}}z)^{2}}{b^{2}}}=1$ ... eliptická valcová plocha,

${\frac {(x-{\frac {v_{1}}{v_{3}}}z)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-{\frac {v_{2}}{v_{3}}}z)^{2}}{b^{2}}}=1$ ... hyperbolická valcová plocha,

$(y-{\frac {v_{2}}{v_{3}}}z)^{2}-2p(x-{\frac {v_{1}}{v_{3}}}z)=0$ ... parabolická valcová plocha.

Elipsoid

Bližšie informácie v hlavnom článku: Elipsoid

Elipsoid je stredová kvadrika s tromi rovinami súmernosti, ktoré pretínajú plochu v elipsách. Kanonické rovnice elipsoidu sú ${\frac {x^{2}}{a^{2}}} {\frac {y^{2}}{b^{2}}} {\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$ Ak $a=b$ , tak daný elipsoid je rotačný. V prípade $a=b=c$ je daný elipsoid guľovou plochou.

Hyperboloid

Kanonické rovnice hyperboloidu sú

${\frac {x^{2}}{a^{2}}} {\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$ ... jednodielny hyperboloid,

$-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}} {\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$ ... dvojdielny hyperboloid.

Jednodielny resp. dvojdielny hyperboloid sú stredové kvadriky s tromi rovinami súmernosti, pričom roviny $x=0$ a $y=0$ pretínajú plochu v hyperbolách a rovina $z=0$ v elipse resp. nemá s plochou žiaden spoločný bod. Hyperboloidy, pre ktoré platí $a=b$ , sú rotačné hyperboloidy.

Paraboloid

Paraboloid je nestredová kvadrika s dvomi rovinami súmernosti, ktoré pretínajú plochu v parabolách. Kanonické rovnice paraboloidu sú

${\frac {x^{2}}{p}} {\frac {y^{2}}{q}}=2z$ ... eliptický paraboloid,

${\frac {x^{2}}{p}}-{\frac {y^{2}}{q}}=2z$ ... hyperbolický paraboloid,

kde $p,q$ sú kladné čísla. Dotyková rovina kvadrickej plochy $a(x-s_{1})^{2} b(y-s_{2})^{2} c(z-s_{3})^{2} d=0$ v dotykovom bode $M=[m_{1},m_{2},m_{3}]$ má rovnicu $a(m_{1}-s_{1})(x-s_{1}) b(m_{2}-s_{2})(y-s_{2}) c(m_{3}-s_{3})(z-s_{3}) d=0$ .

Dotyková rovina kvadrickej plochy $a(x-s_{1})^{2} b(y-s_{2})^{2}-c(z-s_{3})^{2}=0$ v dotykovom bode $M=[m_{1},m_{2},m_{3}]$ má rovnicu $a(m_{1}-s_{1})(x-s_{1}) b(m_{2}-s_{2})(y-s_{2}) c(z m_{3}-{2_{s}}_{3})=0$

Pozri aj

Literatúra

M. Billich - M. Trenkler: Zbierka úloh z geometrie. Ružomberok, Verbum. 2013, s. 65

Externé odkazy