Binárna sčítačka

Binárna sčítačka^[1] (iné názvy: dvojková sčítačka,^[2] (binárny) sumátor^[3]^[4], sčítačka) je kombinačný logický obvod, realizujúci sčítanie čísel, reprezentovaných v dvojkovej číselnej sústave. Tvorí dôležitú súčasť aritmeticko-logickej jednotky (ALU) centrálneho procesora (CPU) počítača.^[5]

V prípade použitia dvojkového doplnkového kódovania záporných čísel sa dá sčítačka veľmi jednoducho rozšíriť na sčítačku-odčítačku.^[5]

Jednobitové sčítačky

Polovičná sčítačka

Polovičná sčítačka^[6] (iné názvy: neúplná sčítačka^[7]^:53, polosumátor^[4]; angl. half adder) realizuje sčítanie dvoch jednociferných binárnych čísel. Vstupom sú dva jednobitové sčítance (A, B). Výstupom je jednobitový súčet (S) a jednobitový príznak prenosu do vyššieho rádu (C, z angl. carry flag).^[5]

Polovičná sčítačka odovzdáva ďalej príznak prenosu do ďalšieho rádu, sama však nedokáže spracovať prenos z predchádzajúceho rádu. Nestačí preto na realizáciu viacbitového sčítania.^[5]

Booleovský zápis:

S=A\oplus B

C=A\cdot B

Pravdivostná tabuľka polovičnej sčítačky:

vstup		výstup
A	B	C	S
0	0	0	0
0	1	0	1
1	0	0	1
1	1	1	0

Úplná sčítačka

Úplná sčítačka^[6] (iné názvy: plná sčítačka, úplný sumátor, plný sumátor; angl. full adder) realizuje sčítanie dvoch jednociferných binárnych čísel s pripočítaním prenosu z predchádzajúceho rádu. Vstupom sú tri jednobitové sčítance: A, B, C_i (C_i z angl. carry-in). Výstupom je jednobitový súčet (S) a jednobitový príznak prenosu do vyššieho rádu (C_o, z angl. carry-out).

Úplnú sčítačku je možné zložiť z dvoch polovičných sčítačiek a hradla OR (pozri obr.). Hradlo OR je navyše možné bez vplyvu na funkčnosť nahradiť hradlom XOR, nakoľko kombinácia vstupov (1, 1), pri ktorej by sa ich výstup líšil nemôže v prípade sčítania nastať (buď nastane prenos iba v prvej polovičnej sčítačke, alebo iba v druhej). Na vytvorenie úplnej sčítačky tak stačia 2 typy hradiel, čo je praktické pri ich realizácii.^[5]

Úplné sčítačky je možné zreťaziť vedľa seba (výstup C_o jednej sčítačky prepojiť so vstupom C_i ďalšej) a realizovať tak sčítanie viacbitových čísel (pozri nižšie).^[5]

Booleovský zápis:

S=(A\oplus B)\oplus C_{i}

C_{o}=(A\cdot B) (C_{i}\cdot (A\oplus B))=(A\cdot B) (B\cdot C_{i}) (C_{i}\cdot A)

Pravdivostná tabuľka úplnej sčítačky:

vstup			výstup
A	B	C_i	C_o	S
0	0	0	0	0
0	0	1	0	1
0	1	0	0	1
0	1	1	1	0
1	0	0	0	1
1	0	1	1	0
1	1	0	1	0
1	1	1	1	1

Paralelné sčítačky

Paralelná sčítačka je kombinačný obvod, realizujúci sčítanie viacbitových binárnych čísel.^[5]

Sčítačka s propagáciou prenosu

N-bitová sčítačka s propagáciou prenosu alebo sčítačka so sériovým prenosom^[6] (angl. ripple carry adder, skr. RCA) vznikne jednoduchým zreťazením N úplných 1-bitových sčítačiek, prepojením výstupu C_o úplnej sčítačky n-tého bitu so vstupom C_i sčítačky (n 1). bitu (pozri obr.). Vstupom výslednej N-bitovej sčítačky sú potom dve N-bitové čísla ( prípadný prenos z predchádzajúceho rádu), výstupom je ich súčet, široký N 1 bitov (N bitov prenos). Názov je odvodený z princípu – príznak prenosu sa odovzdáva (propaguje) z jedného bitu do druhého.

Sčítačka s propagáciou prenosu je jednoduchá na návrh a realizáciu a teoreticky je rozšíriteľná na ľubovoľný počet bitov. Má však zásadnú nevýhodu: s rastúcou šírkou (a teda počtom zreťazených úplných sčítačiek) priamo úmerne narastá celkové oneskorenie (doba ustálenia) výsledného obvodu. Signál prenosu prechádza v každej úplnej sčítačke dvoma hradlami, takže korektný súčet sa na výstupe napr. 32-bitovej sčítačky s propagáciou prenosu objaví s oneskorením až 64 čiastkových hradlových oneskorení, čo by mohlo výrazne obmedzovať priepustnosť (maximálny možný počet sčítaní za jednotku času) sekvenčného zariadenia, využívajúceho takýto typ sčítačky. Toto obmedzenie viedlo k snahe navrhnúť N-bitové sčítačky s menším oneskorením.

Sčítačka s predikciou prenosu

Sčítačka s predikciou prenosu (iné názvy: sčítačka s predvídaním prenosu^[7]^:123, sčítačka so zrýchleným prenosom^[6]; angl. carry lookahead adder, skr. CLA) je N-bitová binárna sčítačka, schopná vypočítať súčet v kratšom čase (v jednotkách hradlového oneskorenia) než sčítačka s propagáciou prenosu (RCA). Pri RCA musí každá čiastková 1-bitová sčítačka „čakať“ na korektný príznak prenosu od sčítačky predchádzajúceho bitu. Pri CLA sú (zjednodušene povedané) všetky prenosy medzi rádmi vypočítané súčasne – kombinačným obvodom, nazývaným jednotka predikcie prenosu (angl. lookahead carry unit, skr. LCU).

Výhody:

výpočet súčtu s oneskorením, teoreticky nezávislým od šírky vstupu – O(1), zatiaľ čo sčítačka s propagáciou prenosu má oneskorenie priamo úmerné šírke vstupu – O(n)

Nevýhody:

vyššie nároky na celkový počet hradiel – O(n²) a celkový počet tranzistorov (O(n³) kvôli potrebe hradiel s počtom vstupov úmerným šírke sčítačky) v porovnaní so sčítačkou s propagáciou prenosu (O(n) hradiel)
od určitého počtu bitov prestáva byť prakticky realizovateľná (kvôli počtu hradiel a výrobným obmedzeniam na počet vstupov jedného hradla). Široké sčítačky je preto potrebné realizovať viacúrovňovo – kombinovaním princípu predikcie prenosu (na nižšej úrovni) s propagáciou prenosu (na vyššej úrovni), prípadne použitím princípu predikcie prenosu na dvoch (alebo viacerých) úrovniach.

BCD sčítačky

Pre sčítavanie čísel reprezentovaných v BCD kódovaní, kde je každá desiatková cifra reprezentovaná samostatnou štvoricou bitov, je možné použiť obvod zložený z dvoch 4-bitových úplných binárnych sčítačiek a pomocnej logiky.

Prvá sčítačka binárne sčíta 4-bitové BCD sčítance, pričom pokiaľ je ich súčet ≤ 9, je už jej výstupom platná BCD reprezentácia výsledku. Ak je hodnota súčtu > 9, je k nemu potrebné (v modulo 16 aritmetike) pripočítať hodnotu 6 (a indikovať prenos do vyššieho rádu, C_o), aby výsledok znova binárne reprezentoval príslušnú desiatkovú cifru súčtu. Toto pričítanie zabezpečuje druhá 4-bitová sčítačka, ktorá má ako jedného sčítanca výstup prvej sčítačky a ako druhého buď hodnotu 0 (0000₂) alebo hodnotu 6 (0110₂), pričom prepínanie týchto dvoch hodnôt zabezpečuje pomocná hradlová logika, dekódujúca výstupy prvej sčítačky.^[5]^{:150 – 152}

Napr.:

prvá sčítačka	∑₁ > 9	druhá sčítačka	desiatkový súčet
$0 0\equiv \ \ 0{\pmod {16}}$	nie	$\ \ 0 0\equiv 0{\pmod {16}}$	0 0 = 00
$1 0\equiv \ \ 1{\pmod {16}}$	nie	$\ \ 1 0\equiv 1{\pmod {16}}$	1 0 = 01
$\cdots$
$8 0\equiv \ \ 8{\pmod {16}}$	nie	$\ \ 8 0\equiv 8{\pmod {16}}$	8 0 = 08
$9 0\equiv \ \ 9{\pmod {16}}$	nie	$\ \ 9 0\equiv 9{\pmod {16}}$	9 0 = 09
$9 1\equiv 10{\pmod {16}}$	áno	$10 6\equiv 0{\pmod {16}}$	9 1 = 10
$9 2\equiv 11{\pmod {16}}$	áno	$11 6\equiv 1{\pmod {16}}$	9 2 = 11
$\cdots$
$9 8\equiv \ \ 1{\pmod {16}}$	áno	$\ \ 1 6\equiv 7{\pmod {16}}$	9 8 = 17
$9 9\equiv \ \ 2{\pmod {16}}$	áno	$\ \ 2 6\equiv 8{\pmod {16}}$	9 9 = 18

Tento obvod je vhodný pre najbežnejšie BCD kódovanie s bitovými váhami 8-4-2-1 (angl. natural binary coded decimal; skr. NBCD), pri ktorom reprezentácia hodnôt 0 – 9 priamo zodpovedá ich zápisom v dvojkovej sústave.

Integrované obvody

Medzi bežné TTL/CMOS integrované obvody realizujúce binárne sčítačky patria:^[8]^[9]^[10]

7480: 1-bitová úplná sčítačka
7482: 2-bitová úplná sčítačka
7483: 4-bitová úplná sčítačka so zrýchleným prenosom
74181: 4-bitová 16-funkčná aritmeticko-logická jednotka (ALU)
74183: 2× 1-bitová úplná sčítačka
74283: 4-bitová úplná sčítačka so zrýchleným prenosom
74381: 4-bitová ALU s výstupmi „generate“ a „propagate“
74382: 4-bitová ALU s výstupmi „ripple carry“ a „overflow“
74385: 4× 1-bitová sčítačka/odčítačka
74456: natural binary coded decimal (NBCD) sčítačka
4008: 4-bitová úplná sčítačka so zrýchleným prenosom
4032: 3× sériová sčítačka
4038: 3× sériová sčítačka (spúšťanie zostupnou hranou)
4560: NBCD sčítačka
40181: 4-bitová 16-funkčná ALU

Ekvivalenty uvedených obvodov^[8] aj ľubovoľné vlastné účelové obvody sčítačiek je dnes možné pohodlne používať aj vo forme komponentov pre programovateľné hradlové polia.^[7]^{:54 – 59, 69 – 74, 80 – 87, 108, 123 – 127, 317 – 319, 334}

Referencie

↑ KOLLÁR, Dušan. Kombinačné číslicové a logické obvody [online]. Bratislava: Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky UK, [cit. 2021-04-15]. Dostupné online.
↑ GNEDENKO, B. V.; KOROĽUK, V. S.; JUŠČENKO, J. L.. Základy programovania na samočinných číslicových počítačoch. Bratislava : Slovenské vydavateľstvo technickej literatúry, 1964. 363 s.
↑ sumátor. In: Slovník cudzích slov (akademický) [online]. Bratislava: Jazykovedný ústav Ľ. Štúra SAV., 2005, [cit. 2021-04-15]. Dostupné online.
↑ ^a ^b KVASNIČKA, Vladimír. Úvod do logiky pre informatikov. Bratislava : Fakulta informatiky a informačných technológií STU, 2012. Dostupné online. S. 184 – 186.
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ANTOŠOVÁ, Marcela; DAVÍDEK, Vratislav. Číslicová technika. 4. aktualiz. vyd. České Budějovice : Kopp, 2009. 305 s. ISBN 978-80-7232-394-4. S. 139 – 148.
↑ ^a ^b ^c ^d ÁDÁM, Norbert. Architektúry počítačových systémov [online]. Košice: Technická univerzita, [cit. 2021-04-15]. S. 53. Dostupné online.
↑ ^a ^b ^c MALÝ, Martin. Data, čipy, procesory : Vlastní integrované obvody na koleni. Praha : CZ.NIC, 2020. 392 s. Dostupné online. ISBN 978-80-88168-56-0. Archivované 2021-03-12 z originálu.
↑ ^a ^b ŠUSTA, Richard. Obvody řady 74 zahrnuté v Quartus II knihovně '/others/maxplus2/' [online]. susta.cz, [cit. 2021-04-15]. Dostupné online.
↑ Frank's IC 7400 [online]. Frank's Hospital Workshop, [cit. 2021-04-15]. Dostupné online.
↑ Frank's IC 4000 [online]. Frank's Hospital Workshop, [cit. 2021-04-15]. Dostupné online.

Pozri aj

Iné projekty

Commons ponúka multimediálne súbory na tému Binárna sčítačka

Externé odkazy

Polovičná sčítačka, úplná sčítačka – interaktívne simulácie hradlových obvodov k publikácii Hradla, volty, jednočipy Martina Malého
Hardvérové algoritmy pre aritmetické moduly (po anglicky)
Reverzné inžinierstvo obvodu zrýchleného prenosu sčítačky v ALU procesora Intel 8008 (po anglicky)

[kollar-digit-1] KOLLÁR, Dušan. Kombinačné číslicové a logické obvody [online]. Bratislava: Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky UK, [cit. 2021-04-15]. Dostupné online.

[2] GNEDENKO, B. V.; KOROĽUK, V. S.; JUŠČENKO, J. L.. Základy programovania na samočinných číslicových počítačoch. Bratislava : Slovenské vydavateľstvo technickej literatúry, 1964. 363 s.

[3] sumátor. In: Slovník cudzích slov (akademický) [online]. Bratislava: Jazykovedný ústav Ľ. Štúra SAV., 2005, [cit. 2021-04-15]. Dostupné online.

[kvasnicka-2012-4] KVASNIČKA, Vladimír. Úvod do logiky pre informatikov. Bratislava : Fakulta informatiky a informačných technológií STU, 2012. Dostupné online. S. 184 – 186.

[antosova-2009-5] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ANTOŠOVÁ, Marcela; DAVÍDEK, Vratislav. Číslicová technika. 4. aktualiz. vyd. České Budějovice : Kopp, 2009. 305 s. ISBN 978-80-7232-394-4. S. 139 – 148.

[adam-6] ÁDÁM, Norbert. Architektúry počítačových systémov [online]. Košice: Technická univerzita, [cit. 2021-04-15]. S. 53. Dostupné online.

[maly-2020-7] MALÝ, Martin. Data, čipy, procesory : Vlastní integrované obvody na koleni. Praha : CZ.NIC, 2020. 392 s. Dostupné online. ISBN 978-80-88168-56-0. Archivované 2021-03-12 z originálu.

[susta-74-8] ŠUSTA, Richard. Obvody řady 74 zahrnuté v Quartus II knihovně '/others/maxplus2/' [online]. susta.cz, [cit. 2021-04-15]. Dostupné online.

[9] Frank's IC 7400 [online]. Frank's Hospital Workshop, [cit. 2021-04-15]. Dostupné online.

[10] Frank's IC 4000 [online]. Frank's Hospital Workshop, [cit. 2021-04-15]. Dostupné online.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]