Prirodan broj

Prirodni brojevi su svi celi brojevi veći od nule.

Skup prirodnih brojeva se obeležava velikim latiničnim slovom N={1,2,3,..}.

Skup prirodnih brojeva spx₀ada u prebrojive skupove. Često se skupu prirodnih brojeva pridodaje i 0 i taj skup se označava sa N₀.

Sabiranje prirodnih brojeva

Neka su dati konačni skupovi A i B i neka je kA=a i kB=b i neka je A∩B= =ø. Broj k(AUB)= predstavlja zbir (sumu) brojeva a i b, koji su sumandi (adendi, pribrojnici). Računska operacija koju pri tom obavljamo je sabiranje (adicija). Za sabiranje prirodnih brojeva važi

1. Zakon zatvorenosti a b je prirodan broj
2. zakon komutacije a b=b a
3. zakon asocijacije (a b) c=a (b c)
4. zakon trihotonomije a=b ili a c=b a=b d Za a c=b =>a < b,za a = b d => a > b
5. zakon kancelacije skračivanja

ako je a c=b c onda je a=b

Teorema 1

a=b <= > a c= b c.

Pod a₁ a₂ a₃, podrazunjevamo (a₁ a₂) a₃. Pod a₁ a₂ a₃ a₄ podrazunjevamo (a₁ a₂ a₃ ) a₄ . uopštano je a₁ a₂ a₃ .... a_n= (a₁ a₂ ... a_m) (.. a_{(m 1} ... a_n).

Teorema 2 a < b=> a c< b c

dokaz

a < b < => a d=b< => a d c= b c< => (a c) d = b c< => a c<b c.

Teorema 3

(a < b & b<c) => a<c

Množenje prirodnih brojeva

Neka je kA=a i kB=b , broj k(AxB) zovemo proizvod ( produkt, umnožnik) brojeva a i b koji su faktori (činioci) . Proizvod označavamo sa ab.

Za množenje prirodnih brojeva važi

1. Zakon zatvorenosti ab je prirodan broj
2. zakon komutacije ab= ba
3. zakon asocijacije (ab)c=a(bc)
4. zakon kancelacije skračivanja ako je ac=bc onda je a=b
5. zakon distribucije množenja u odnosu na sabiranje

(a b)c=ac bc.

Broj b b b .... b gdje pribrojnik b dolazi a puta zove se proizvod brojeva a i b . .. Teorema 4

a = b => ac=bc a < b => ac < bc

Arhimedova teorema

Za svaka dva prirodna broja a i b postoji prirodni broj n takav da je an > b.

Oduzimanje prirodnih brojeva

Od broja a oduzeti broj b znači naći broj d takav da je a = b d.

Broj a je razlika ili diferencija brojeva a i b, broj a minuend ili umanjenik, a b suptrahend ili umanjitelj.

Očigledno u skupu N ne vrijedi zakon zatvorenosti tj a-b nije iz N za svaki par a i b.

Primjer 2-3 nije iz N

Dijeljenje u skupu prirodnih brojeva

Podijeliti broj a brojem b znači naći broj q takav da je a = bq. N. Broj a je kvocijent ili količnik brojeva a i b, broj a je dividend ili djeljenik, a b je divizor ili djelitelj.

U skup N ne vrijedi zakon zatvorenosti za dijeljenje tj za svaki par a i b nije a / b iz N.

Primjer

5 / 3 nije iz N

Algebarske operacije

Posmatrajmo operacije sabiranja i množenja u skupu N. Očito je to preslikavanje skupa NxN u skup N definisano sa

(a,b)→ a b i analogno

a(a,b)→ab.

Neka je S neprazan skup. Binarna algebarska operacija (kompozicija) na skupu S je svako preslikavanje f:SxS→ S. Za algebarske operacije vrijedi

1. Zakon komutacije ako je a*b=b*a
2. Zakon asocijacje ako je a*(b*c)= a*b)*c

Ovi zakoni ne moraju važiti uvijek.

(a,b)= 2a 2b

a*b= 2a 2b= 2b 2a= b*a

(a*b)*c = (2a 2b)*c= 2(2a 2b) 2c= 4a 4b 2c

a*(b*c)= 2a 2(2b 2c) = 2a 4b 4c

tj ne važi asocijativnost.

Neka su date dvije operacije * i ○ kažemo da je operacija lijevo distributivna u odnosu na ○ ako vrijedi a*(b○c)=(a*b) ○(a*c).

Ako su A, B,C neprazni skupovi tada svako preslikavanje skupa AxB u C zovemo binarnom algebarskom operacijom sa AxB u C. Specijalno je A=B=C.

Sam skup i skup na koji se preslikava algebarska operacija nije isto. Razlika je velika. U drugom slučaju sa elementima skupa možemo računati.

Skup zajedno sa algebarskom operacijom nazivamo grupoid. Uređen par (S,*) koji čini neprazni skup S i algebarska operacija * definisana na skupu S zove se grupoid(monoid). Ako je (S* ) grupoid i e iz S onda je

1. e lijevi neutralni element u odnosu na operaciju* akoje e*a=a
2. e desnii neutralni element u odnosu na operaciju* akoje a*e=a
3. e dvostruki neutralni element u odnosu na operaciju* akoje e*a=a*e=a.

Neutralni element za operaciju množenja u skupu N je e=1, a za sabiranje u skupu N₀ je e=0.

Grupoid može biti asocijativan i komutativan. Asocijativan grupoid nazivamo polugrupa.Polugrupa može imati inverzni element.

1. x je desni inverzni element u odnosu na operaciju * akoje a * x = e
2. x je lijevi inverzni element u odnosu na operaciju * akoje x * a = e
3. x je dvostruki inverzni element u odnosu na operaciju * akoje a * x =x * a = e

Grupa je polugrupa koja ima neutralni i inverzni ewlement.

Polugrupa (S, *) s dvostrukim inverznim elementom ima najviše jedan inverzni element

Dokaz

x₁= x₁ * e = x₁ (a * x₀) = (x₁ * a )* = x₀