Prirodan broj
Prirodni brojevi su svi celi brojevi veći od nule.
Skup prirodnih brojeva se obeležava velikim latiničnim slovom N={1,2,3,..}.
Skup prirodnih brojeva spx0ada u prebrojive skupove. Često se skupu prirodnih brojeva pridodaje i 0 i taj skup se označava sa N0.
Neka su dati konačni skupovi A i B i neka je kA=a i kB=b i neka je A∩B= =ø. Broj k(AUB)= predstavlja zbir (sumu) brojeva a i b, koji su sumandi (adendi, pribrojnici). Računska operacija koju pri tom obavljamo je sabiranje (adicija). Za sabiranje prirodnih brojeva važi
- Zakon zatvorenosti a b je prirodan broj
- zakon komutacije a b=b a
- zakon asocijacije (a b) c=a (b c)
- zakon trihotonomije a=b ili a c=b a=b d Za a c=b =>a < b,za a = b d => a > b
- zakon kancelacije skračivanja
ako je a c=b c onda je a=b
Teorema 1
a=b <= > a c= b c.
Pod a1 a2 a3, podrazunjevamo (a1 a2) a3. Pod a1 a2 a3 a4 podrazunjevamo (a1 a2 a3 ) a4 . uopštano je a1 a2 a3 .... an= (a1 a2 ... am) (.. a(m 1 ... an).
Teorema 2 a < b=> a c< b c
dokaz
a < b < => a d=b< => a d c= b c< => (a c) d = b c< => a c<b c.
Teorema 3
(a < b & b<c) => a<c
Neka je kA=a i kB=b , broj k(AxB) zovemo proizvod ( produkt, umnožnik) brojeva a i b koji su faktori (činioci) . Proizvod označavamo sa ab.
Za množenje prirodnih brojeva važi
- Zakon zatvorenosti ab je prirodan broj
- zakon komutacije ab= ba
- zakon asocijacije (ab)c=a(bc)
- zakon kancelacije skračivanja ako je ac=bc onda je a=b
- zakon distribucije množenja u odnosu na sabiranje
(a b)c=ac bc.
Broj b b b .... b gdje pribrojnik b dolazi a puta zove se proizvod brojeva a i b . .. Teorema 4
a = b => ac=bc a < b => ac < bc
Arhimedova teorema
Za svaka dva prirodna broja a i b postoji prirodni broj n takav da je an > b.
Od broja a oduzeti broj b znači naći broj d takav da je a = b d.
Broj a je razlika ili diferencija brojeva a i b, broj a minuend ili umanjenik, a b suptrahend ili umanjitelj.
Očigledno u skupu N ne vrijedi zakon zatvorenosti tj a-b nije iz N za svaki par a i b.
Primjer 2-3 nije iz N
Podijeliti broj a brojem b znači naći broj q takav da je a = bq. N. Broj a je kvocijent ili količnik brojeva a i b, broj a je dividend ili djeljenik, a b je divizor ili djelitelj.
U skup N ne vrijedi zakon zatvorenosti za dijeljenje tj za svaki par a i b nije a / b iz N.
Primjer
5 / 3 nije iz N
Posmatrajmo operacije sabiranja i množenja u skupu N. Očito je to preslikavanje skupa NxN u skup N definisano sa
(a,b)→ a b i analogno
a(a,b)→ab.
Neka je S neprazan skup. Binarna algebarska operacija (kompozicija) na skupu S je svako preslikavanje f:SxS→ S. Za algebarske operacije vrijedi
- Zakon komutacije ako je a*b=b*a
- Zakon asocijacje ako je a*(b*c)= a*b)*c
Ovi zakoni ne moraju važiti uvijek.
(a,b)= 2a 2b
a*b= 2a 2b= 2b 2a= b*a
(a*b)*c = (2a 2b)*c= 2(2a 2b) 2c= 4a 4b 2c
a*(b*c)= 2a 2(2b 2c) = 2a 4b 4c
tj ne važi asocijativnost.
Neka su date dvije operacije * i ○ kažemo da je operacija lijevo distributivna u odnosu na ○ ako vrijedi a*(b○c)=(a*b) ○(a*c).
Ako su A, B,C neprazni skupovi tada svako preslikavanje skupa AxB u C zovemo binarnom algebarskom operacijom sa AxB u C. Specijalno je A=B=C.
Sam skup i skup na koji se preslikava algebarska operacija nije isto. Razlika je velika. U drugom slučaju sa elementima skupa možemo računati.
Skup zajedno sa algebarskom operacijom nazivamo grupoid. Uređen par (S,*) koji čini neprazni skup S i algebarska operacija * definisana na skupu S zove se grupoid(monoid). Ako je (S* ) grupoid i e iz S onda je
- e lijevi neutralni element u odnosu na operaciju* akoje e*a=a
- e desnii neutralni element u odnosu na operaciju* akoje a*e=a
- e dvostruki neutralni element u odnosu na operaciju* akoje e*a=a*e=a.
Neutralni element za operaciju množenja u skupu N je e=1, a za sabiranje u skupu N0 je e=0.
Grupoid može biti asocijativan i komutativan. Asocijativan grupoid nazivamo polugrupa.Polugrupa može imati inverzni element.
- x je desni inverzni element u odnosu na operaciju * akoje a * x = e
- x je lijevi inverzni element u odnosu na operaciju * akoje x * a = e
- x je dvostruki inverzni element u odnosu na operaciju * akoje a * x =x * a = e
Grupa je polugrupa koja ima neutralni i inverzni ewlement.
Polugrupa (S, *) s dvostrukim inverznim elementom ima najviše jedan inverzni element
Dokaz
x1= x1 * e = x1 (a * x0) = (x1 * a )* = x0