Heronova formula

Trougao sa stranicama a, b, i c.

U geometriji, Heronova formula služi za izračunavanje površine (P) trougla čije stranice imaju dužinu a, b, i c i glasi

$P={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}$

gde je s poluobim trougla:

$s={\frac {a b c}{2}}.$

Heronova formula se može zapisati i na jedan od sledećih načina:

$P={\ {\sqrt {(a b c)(a b-c)(b c-a)(c a-b)\,}}\ \over 4}$

$P={\ {\sqrt {2(a^{2}b^{2} a^{2}c^{2} b^{2}c^{2})-(a^{4} b^{4} c^{4})\,}}\ \over 4}$

$P={\ {\sqrt {(a^{2} b^{2} c^{2})^{2}-2(a^{4} b^{4} c^{4})\,}}\ \over 4}.$

Istorija

Formula se pripisuje Heronu iz Aleksandrije, a dokaz se može naći u njegovoj knjizi „Metrika“ (Metrica), koja je napisana 60. godine n. e. Postoje indicije da je za formulu znao i Arhimed, a, s obzirom da je „Metrika“ kolekcija matematičkih znanja kojima je raspolagao antički svet, moguće je da ju je Heron samo zabeležio, a ne i otkrio.

Formula ekvivalentna Heronovoj, a zapisana u obliku:

$P={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}c^{2}-\left({\frac {a^{2} c^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}}}$

bila je poznata u drevnoj Kini, a otkrivena je nezavisno od Grka. Može se naći u čuvenom delu „Devet knjiga o matematičkoj veštini“ (Shushu Jiuzhang), koje je objavio Qin Jiushao 1247. godine.

Dokaz

Sledi moderan dokaz formule koji koristi algebru i trigonometriju, i potpuno je drugačiji od originalnog Heronovog dokaza. Neka su a, b i c stranice trougla, a $\alpha \,$, $\beta \,$ i $\gamma \,$ odgovarajući uglovi koji se nalaze nasuprot stranica trougla. Prema kosinusnoj teoremi je:

$\cos \gamma ={\frac {a^{2} b^{2}-c^{2}}{2ab}}$.

Odatle se dobija algebarska jednakost:

$\sin \gamma ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2} b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}$.

Visina trougla koja ogovara osnovici a ima dužinu $b\sin \gamma$, pa je

$P\,$	$={\frac {1}{2}}({\mbox{osnovica}})({\mbox{visina}})$
	$={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma$
	$={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2} b^{2}-c^{2})^{2}}}$
	$={\frac {1}{4}}{\sqrt {(2ab-(a^{2} b^{2}-c^{2}))(2ab (a^{2} b^{2}-c^{2}))}}$
	$={\frac {1}{4}}{\sqrt {(c^{2}-(a-b)^{2})((a b)^{2}-c^{2})}}$
	$={\frac {1}{4}}{\sqrt {(c-(a-b))(c (a-b))((a b)-c)((a b) c)}}$
	$={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}.$

U prethodnim koracima je dva puta primenjena formula za faktorizaciju polinoma pomoću razlike kvadrata.

Dokaz uz korišćenje Pitagorine teoreme

Trougao sa visinom h koja na stranici c pravi odsečke dužina d i (c−d).

Heronov originalni dokaz koristi tetivni četvorougao, uz oslanjanje na trigonometriju slično prethodnom dokazu, ili na centar upisanog kruga i jedan opisani krug trougla. Sledi dokaz Heronove formule svođenjem direktno na Pitagorinu teoremu uz korišćenje elementarnih transformacija.

Zapisana u obliku $4P^{2}=4s(s-a)(s-b)(s-c)\,$, Heronova formula se svodi sa leve strane jednakosti na $(ch)^{2}\,$, ili, s obzirom da je, prema Pitagorinoj teoremi, $h^{2}=b^{2}-d^{2}\,$, na

$(cb)^{2}-(cd)^{2}\,$,

a desna strana postaje

$(s(s-a) (s-b)(s-c))^{2}\,$   −   $((s(s-a)-(s-b)(s-c))^{2}\,$

korišćenjem jednakosti $(p q)^{2}-(p-q)^{2}=4pq\,$. Odatle je dovoljno da se pokaže da važi

$cb=s(s-a) (s-b)(s-c)\,$, i

$cd=s(s-a)-(s-b)(s-c)\,$.

Prva jednakost se lako dobija ukoliko se korišćenjem činjenice da je $s=(a b c)/2\,$ pojednostavi izraz. Ako se isti postupak ponovi za drugu jednakost, ona će se svesti na $s(s-a)-(s-b)(s-c)\,$ samo u slučaju da je $(b^{2} c^{2}-a^{2})/2\,$. Ali, ako se $b^{2}\,$ zameni sa $d^{2} h^{2}\,$ i $a^{2}\,$ sa $(c-d)^{2} h^{2}\,$, pri čemu obe jednakosti slede iz Pitagorine teoreme, izraz se svodi na $cd\,$ što je i trebalo dobiti.

Numerička stabilnost

Heronova formula u navedenom obliku je numerički nestabilna za trouglove sa jako malim uglom. Stabilna alternativa zahteva uređenje dužina stranica trougla tako da važi: a ≥ b ≥ c i izračunavanje po formuli

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a (b c))(c-(a-b))(c (a-b))(a (b-c))}}.$

Zagrade u navedenoj formuli su potrebne da bi sprečile numeričku nestabilnost u izračunavanju.

Generalizacije

Heronova formula je specijalan slučaj formule Bramagupte za površinu tetivnog četvorougla, a obe formule su specijalan slučaj Bretšnajderove formule za površinu četvorougla. U oba slučaja, Heronova formula se dobija ukoliko se za jednu od stranica četvorougla pretpostavi da je dužine nula.

Heronova formula je takođe poseban slučaj formule za površinu trapeza koja koristi samo njegove stranice, i može se dobiti iz nje, ukoliko se uzme da je manja osnovica trapeza jednaka nuli.

Izražavanje Heronove formule pomoću determinante čiji su članovi kvadrati dužina stranica trougla,

$P={\frac {1}{4}}{\sqrt {\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}}$

pokazuje njenu sličnost sa Tartaljinom formulom za zapreminu tetraedra.

Povezano

• Sintetička geometrija
• Heronov trougao

Literatura

• Hit, Tomas L. (1921). Istorija grčke matematike II. Oxford University Press. str. 321-323. 

Spoljašnje veze

• Heronova formula na sajtu wolfram.com
• Dokaz Pitagorine teoreme pomoću Heronove formule
• Interaktivna animacija sa kalkulacijom površine trougla pomoću Heronove formule
• Heronova formula i generalizacija Bramagupte Arhivirano 2008-05-09 na Wayback Machine-u