Determinanta

U algebri, determinanta je funkcija koja zavisi od n, koja dodeljuje skalarnu vrednost, det(A), svakoj n×n kvadratnoj matrici A. Važno svojstvo determinante je da je matrica A nad poljem (na primer, realna ili kompleksna matrica) invertibilna ako i samo ako je njena determinanta različita od nule. Otuda potiče i naziv „determinanta“, jer ova vrednost određuje (determiniše) da li je matrica invertibilna ili ne.

Determinante su važne i u matematičkoj analizi, gde su neophodne za uvođenje smena kod funkcija više promenljivih, kao i u multilinearnoj algebri.

Za fiksiran pozitivni ceo broj n, postoji jedinstvena funkcija determinante za n×n matrice nad bilo kojim komutativnim prstenom R. Specijalno, ova funkcija postoji kada je R polje realnih ili kompleksnih brojeva.

Notacija

Determinanta matrice A se takođe nekada označava i kao $|A|$. Ova notacija može da bude dvosmislena, jer se takođe koristi i za određene norme matrice i za apsolutnu vrednost. Međutim, norma matrice se često označava sa dve vertikalne crte (tj. $\|\cdot \|$). Stoga se ovakva notacija (pomoću vertikalnih crta) vrlo često koristi. Na primer, za matricu

$A={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}\,$

determinanta $\det(A)$ se može označiti kao $|A|$ ili eksplicitnije kao

$|A|={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}.\,$

To jest, uglaste zagrade se zamenjuju vertikalnim crtama.

Determinante matrica formata 2-sa-2

Površina paralelograma je determinanta matrice koja se dobija od vektora koji predstavljaju stranice paralelograma.

Matrica formata 2×2

$A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\,$

ima determinantu

$\det(A)=ad-bc.\,$

Interpretacija kada matrica ima članove koji su realni brojevi je da daje orijentisanu površinu paralelograma sa temenima (0,0), (a,b), (a c, b d), i (c,d). (Za ovaj paralelogram kažemo da je razapet nad vektorima (a, b) i (c,d).) Orijentisana površina je ista kao i uobičajena površina, osim što je negativna kada se temena poređaju u pravcu kazaljke na satu.

Formule za veće matrice su date dole.

Determinante matrica formata 3-sa-3

Matrica formata 3×3

$A={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}.$

Korišćenjem Laplasovog razvoja po kofaktorima na prvoj vrsti matrice, dobijamo:

$\det(A)=a{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}} c{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}=aei-afh-bdi cdh bfg-ceg,$

što je jednako

$\det(A)=aei bfg cdh-gec-hfa-idb.$

Formula za determinantu formata 3 × 3 se može lako zapamtiti primenom sledećeg „Sarusovog pravila“. Determinanta matrice formata 3 × 3 jednaka je zbiru proizvoda elemenata tri dijagonalne linije koje vode od severozapada do jugoistoka, minus zbir proizvoda elemenata tri dijagonalne linije koje vode od jugozapada do severoistoka, kada se prve dve kolone matrice prepišu pored matrice kao što je pokazano ispod:

${\begin{matrix}\color {red}a&\color {red}b&\color {red}c&a&b\\d&\color {red}e&\color {red}f&\color {red}d&e\\g&h&\color {red}i&\color {red}g&\color {red}h\end{matrix}}\quad -\quad {\begin{matrix}a&b&\color {blue}c&\color {blue}a&\color {blue}b\\d&\color {blue}e&\color {blue}f&\color {blue}d&e\\\color {blue}g&\color {blue}h&\color {blue}i&g&h\end{matrix}}$

Sarusovo pravilo je mnemonik, odnosno samo vizuelna pomoć za pamćenje formule, i ne važi za matrice većeg formata.

Primene

Determinante se koriste za opisivanje invertibilnih matrica (to su matrice čije determinante su različite od nule), i da se eksplicitno opiše rešenje sistema sistema linearnih jednačina pomoću Kramerovog pravila. Takođe se mogu koristiti i za pronalaženje sopstvene vrednosti matrice $A$ pomoću karakterističnog polinoma

$p(x)=\det(xI-A)\,$

gde je I jedinična matrica iste dimenzije kao i A.

Ponekad se matrica posmatra kao dodela broja svakom nizu od $n$ vektora u $\mathbb {R} ^{n}$, korišćenjem kvadratne matrice čije su kolone dati vektori. Imajući ovo u vidu, znak determinante baze se može koristiti da se definiše pojam orijentacije u Euklidskom prostoru.

Determinante se koriste da se izračunaju zapremine u vektorskoj analizi: apsolutna vrednost determinante realnih vektora je jednaka zapremini paralelepipeda koji grade ti vektori. Kao posledica, ako je linearno preslikavanje $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ predstavljeno matricom $A$, i $S$ je bilo koji merljivi podskup od $\mathbb {R} ^{n}$, onda je zapremina $f(S)$ jednaka $\left|\det(A)\right|\times \operatorname {zapremina} (S)$. Opštije, ako je linearno preslikavanje $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ predstavljeno $m$-sa-$n$ matricom $A$, i $S$ je bilo koji merljivi podskup od $\mathbb {R} ^{n}$, onda je $n$-dimenziona zapremina od $f(S)$ jednaka ${\sqrt {\det(A^{\top }A)}}\times \operatorname {zapremina} (S)$.

U matematičkoj analizi, kod računanja integrala po podskupovima Euklidskog prostora R'ⁿ u dimenzijama n ≥ 2, prilikom uvođenja smene se u integrandu pojavljuje i dodatni faktor, „jakobijan“, koji predstavlja determinantu Jakobijeve matrice za datu smenu:

$\det {\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial y_{n}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial y_{n}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}.$

Jakobijan se slično pojavljuje u definiciji integracije na diferencijabilnim mnogostrukostima, gde ulogu smene imaju preslikavanja promene koordinata između pojedinih mapa u atlasu.

Opšta definicija i računanje

Definicija determinante potiče od sledeće teoreme:

Neka M_n(K) označava skup svih $n\times n$ matrica nad poljem K. Postoji tačno jedna funkcija

$F:M_{n}(K)\longrightarrow K$

sa sledeća dva svojstva:

• $F$ alternira multilinearno u odnosu na kolone;
• $F(I)=1$.

Determinanta se može definisati kao jedinstvena funkcija sa navedenim svojstvima.

U dokazivanju gornje teoreme, takođe se dobija Lajbnicova formula:

$\det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}A_{i,\sigma (i)}.$

Suma se računa nad svim permutacijama $\sigma$ brojeva {1,2,...,n} a $\operatorname {sgn}(\sigma )$ označava znak permutacije $\sigma$: 1 ako je $\sigma$ parna permutacija, a −1 ako je neparna. Ova formula sadrži $n!$ (faktorijel) sabiraka, i stoga je nepraktična za numeričko izračunavanje determinanata kada je $n$ veliko.

Za male matrice se dobijaju sledeće formule:

• ako je $A$ matrica formata 1-sa-1, onda $\det(A)=A_{1,1}.\,$
• ako je $A$ matrica formata 2-sa-2, onda $\det(A)=A_{1,1}A_{2,2}-A_{2,1}A_{1,2}.\,$
• za matrice $A$ formata 3-sa-3, formula je komlikovanija:

${\begin{matrix}\det(A)&=&A_{1,1}A_{2,2}A_{3,3} A_{1,3}A_{2,1}A_{3,2} A_{1,2}A_{2,3}A_{3,1}\\&&-A_{1,3}A_{2,2}A_{3,1}-A_{1,1}A_{2,3}A_{3,2}-A_{1,2}A_{2,1}A_{3,3}.\end{matrix}}\,$

Takođe je moguće razložiti determinantu duž neke vrste ili kolone, korišćenjem Laplasovog razvoja, koji je efikasan za relativno male matrice. Kako bismo razložili matricu duž vrste $i$, pišemo

$\det(A)=\sum _{j=1}^{n}A_{i,j}C_{i,j}=\sum _{j=1}^{n}A_{i,j}(-1)^{i j}M_{i,j}$

gde $C_{i,j}$ predstavlja matricu kofaktora, to jest, $C_{i,j}$ je jednako $(-1)^{i j}$ puta minor $M_{i,j}$, koji je determinanta matrice koja se dobije kada se iz matrice $A$ ukloni $i$-ta vrsta i $j$-ta kolona. U opštem slučaju, ponovljena primena Laplasovog razvoja po vrstama ili kolonama za numeričko izračunavanje determinante formata n × n pri velikom n nije praktična, jer zahteva više od n! operacija.

U opštem slučaju, determinantu možemo izračunati korišćenjem Gausove eliminacije pomoću sledećih pravila:

• Ako je $A$ trougaona matrica, tj. $A_{i,j}=0\,$ kada god je $i>j$ ili alternativno kada god je $i<j$, onda $\det(A)=A_{1,1}A_{2,2}\cdots A_{n,n}\,$ (proizvod dijagonalnih članova matrice $A$).
• Ako se matrica $B$ dobija od matrice $A$ zamenom mesta dvema vrstama ili kolonama, onda $\det(B)=-\det(A).\,$
• Ako se matrica $B$ dobija od matrice $A$ množenjem jedne vrste ili kolone brojem $c$, onda $\det(B)=c\,\det(A).\,$
• ako se matrica $B$ dobija od matrice $A$ dodavanjem umnoška jedne vrste drugoj, ili jedne kolone drugoj, onda $\det(B)=\det(A).\,$

Eksplicitno, ako se pođe od neke matrice, mogu se koristiti poslednja tri pravila da se ona transformiše u trougaonu matricu, a zarim je pomoću prva tri pravila lako izračunati njenu determinantu.

Primer

Pretpostavimo da želimo da izračunamo determinantu matrice

$A={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\-1&1&3\\2&0&-1\end{bmatrix}}.$

Možemo direktno da iskoristimo Lajbnicovu formulu:

$\det(A)\,$	$=\,$	$(-2\cdot 1\cdot -1) (-3\cdot -1\cdot 0) (2\cdot 3\cdot 2)$
		$-(-3\cdot 1\cdot 2)-(-2\cdot 3\cdot 0)-(2\cdot -1\cdot -1)$
	$=\,$	$2 0 12-(-6)-0-2=18.\,$

Takođe, možemo da iskoristimo Laplasov razvoj duž vrste ili kolone. Najpodesnije je izabrati vrstu ili kolonu sa što više nula, pa biramo drugu kolonu:

$\det(A)\,$	$=\,$	$(-1)^{1 2}\cdot 2\cdot \det {\begin{bmatrix}-1&3\\2&-1\end{bmatrix}} (-1)^{2 2}\cdot 1\cdot \det {\begin{bmatrix}-2&-3\\2&-1\end{bmatrix}}$
	$=\,$	$(-2)\cdot ((-1)\cdot (-1)-2\cdot 3) 1\cdot ((-2)\cdot (-1)-2\cdot (-3))$
	$=\,$	$(-2)(-5) 8=18.\,$

Treći način (najpraktičniji za veće matrice) bi koristio Gausov algoritam. Kada se račun vrši ručno, obično se postupak može značajno skratiti dodavanjem umnožaka kolona ili vrsta drugim kolonama ili vrstama; ovo ne menja vrednost determinante, a daje nule koje uprošćavaju kasnija računanja. U ovom slučaju, dodavanje druge kolone prvoj je vrlo korisno:

${\begin{bmatrix}0&2&-3\\0&1&3\\2&0&-1\end{bmatrix}}$

i ova determinanta se može brzo razložiti po prvoj koloni:

$\det(A)\,$	$=\,$	$(-1)^{3 1}\cdot 2\cdot \det {\begin{bmatrix}2&-3\\1&3\end{bmatrix}}$
	$=\,$	$2\cdot (2\cdot 3-1\cdot (-3))=2\cdot 9=18.\,$

Svojstva

Determinanta je multiplikativno preslikavanje u smislu da

$\det(AB)=\det(A)\det(B)\,$ za sve n-sa-n matrice $A$ i $B$.

Lako je videti da je $\det(rI_{n})=r^{n}\,$ i stoga

$\det(rA)=\det(rI_{n}\cdot A)=r^{n}\det(A)\,$ za svaku n-sa-nmatricu $A$ i za svaki skalar $r$.

Matrica nad komutativnim prstenom R je invertibilna ako i samo ako je njena determinanta jedinica (odnosno invertibilan element) u R. Specijalno, ako je A matrica nad poljem kao što su realni ili kompleksni brojevi, onda je A invertibilna akko je det(A) različita od nule. U ovom slučaju imamo

$\det(A^{-1})=\det(A)^{-1}.\,$

Izraženo na drugi način: vektori v₁,...,v_n u Rⁿ formiraju bazu akko det(v₁,...,v_n) nije jednako nuli.

Matrica, i njena transponovana matrica imaju istu determinantu:

$\det(A^{\top })=\det(A).\,$

Determinante kompleksne matrice, i njoj konjugovano transponovane matrice su konjugovani kompleksni brojevi:

$\det(A^{*})=\det(A)^{*}.\,$

Determinanta matrice $A$ ispoljava sledeća svojstva u odnosu na elementarne transformacije matrice $A$:

1. Zamena mesta vrstama ili kolonama množi determinantu sa −1.
2. Množenje vrste ili kolone sa $m$ množi determinantu sa $m$.
3. Dodavanje umnoška vrste ili kolone drugoj vrsti ili koloni ne menja determinantu.

Ako su $A$ i $B$ slične matrice, to jest, postoji invertibilna matrica $X$, takva da $A$ = $X^{-1}BX$, onda po multiplikativnom svojstvu,

$\det(A)=\det(B).\,$

Zbog ovoga, determinanta matrice nekog linearnog operatora T : V → V na konačno dimenzionom vesktorskom prostoru V ne zavisi od izbora baze u V. Zajednička vrednost svih matrica datog linearnog operatora T naziva se determinantom linearnog operatora T i označava sa det T. Ovaj odnos je jednosmeran: postoje matrice čije determinante su iste, ali one nisu slične.

Izvod

Determinante realnih kvadratnih matrica su polinomijalne funkcije sa $\mathbb {R} ^{n\times n}$ na $\mathbb {R}$, i kao takve su uvek diferencijabilne. NJihov izvod se može izraziti pomoću Jakobijeve formule:

$d\,\det(A)=\operatorname {tr} (\operatorname {adj} (A)\,dA)$

gde adj(A) označava adjungovanu matricu od A. Specijalno, ako je A invertibilna, imamo

$d\,\det(A)=\det(A)\,\operatorname {tr} (A^{-1}\,dA)$

ili,

$\det(A X)-\det(A)\approx \det(A)\,\operatorname {tr} (A^{-1}X)$

ako su članovi matrice $X$ suviše mali. Specijalan slučaj kada je $A$ jednaka jediničnoj matrici, $I$ dobija se

$\det(I X)\approx 1 \operatorname {tr} (X).$

Kao izvod po svakom posebnom elementu matrice, ove formule glase

${\frac {\partial \det(A)}{\partial A_{ij}}}=\det(A)(A^{-1})_{ij}.$

Reference

• Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (2nd izd.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0 
• de Boor, Carl (1990), „An empty exercise”, ACM SIGNUM Newsletter 25 (2): 3–7, DOI:10.1145/122272.122273 .
• Lay, David C. (August 22, 2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd izd.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7 
• Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, arhivirano iz originala na datum 2009-10-31, pristupljeno 2014-06-15 
• Muir, Thomas (1960) [1933], A treatise on the theory of determinants, Revised and enlarged by William H. Metzler, New York, NY: Dover 
• Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2nd izd.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3 
• Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th izd.), Wiley International 
• Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th izd.), Pearson Prentice Hall 

Spoljašnje veze

• Determinante Arhivirano 2014-05-15 na Wayback Machine-u
• Hazewinkel, Michiel, ur. (2001), „Determinant”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Weisstein, Eric W., "Determinant", MathWorld.
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. „Matrices and determinants”. MacTutor History of Mathematics archive.  (en)
• WebApp to calculate determinants and descriptively solve systems of linear equations Arhivirano 2014-02-21 na Wayback Machine-u
• Determinant Interactive Program and Tutorial
• Online Matrix Calculator
• Linear algebra: determinants. Arhivirano 2008-12-04 na Wayback Machine-u Compute determinants of matrices up to order 6 using Laplace expansion you choose.