Infinitezimalni račun

Infinitezimalni račun je grana matematike koja se bavi funkcijama, izvodima, integralima, limesima i beskonačnim nizovima. Proučava razumevanje i opisivanje promena merljivih varijabli. Središnji koncept kojim se opisuje promena varijable je funkcija. Dve glavne grane su diferencijalni račun i integralni račun. Infinitezimalni račun je osnova matematičke analize.^[1]

Koristi se u nauci, ekonomiji, inženjerstvu itd. Služi za rešavanje mnogih matematičkih problema, koji se ne mogu rešiti algebrom ili geometrijom.

Infinitezimalni račun se na latinskom jeziku kaže „calculus infinitesimalis" i iz toga je proizašao naziv „kalkulus", koji se koristi u jednom delu sveta. Reč „infinitesimalis" znači "beskrajno mala veličina".

Istorija

Isak Njutn

Gotfrid Vilhelm Lajbnic

U antičkom razdoblju bilo je ideja sličnih infinitezimalnom računu. Egipćani su računali zapreminu zarubljene piramide. Grci Eudoks i Arhimed koristili su metodu iscrpljivanja kojom se površina nekog oblika izračunava tako što se u njega ubacuje niz mnogouglova čije površine konvergiraju prema površini celog oblika. Tu metodu koristio je i Kinez Liu Hui u 3. veku, da bi izračunao površinu kruga. U 5. veku Ču Čungdži koristio je metodu koja će kasnije biti nazvana Kavalijerijev princip za zapreminu lopte.

Godine 499. indijski matematičar Ariabhata I. je računao infinitezimalanim računom i zapisao astronomski problem u obliku diferencijalne jednačine. Na osnovu te jednačine je u 12. veku Bhaskara razvio neku vrstu izvoda. Oko 1000. godine Ibn al-Haitam je osmislio formulu za sve vrste četvrtih stepena i time pripremio put za integralni račun. U 12. veku persijski matematičar Šaraf al-Din al-Tusi otkrio je pravilo za odvajanje kubnog polinoma. U 17. veku japanski matematičar Šinsuke Seki Kova došao je do osnovnih spoznaja infinitezimalnog računa.

Infinitezimalni račun otkrili su nezavisno jedan od drugog u otprilike isto vreme Isak Njutn i Gotfrid Vilhelm Lajbnic. Oni su otkrili zakone diferencijalnog i integralnog računa, izvoda (derivacije) i aproksimacija polinomnih nizova. Njihov rad nastavili su matematičari Ogisten Luj Koši, Bernhard Riman, Karl Vajerštras, Henri Lion Lebesk i dr.

Glavna poglavlja

Izvod

Izvod (derivacija) funkcije $f$ je granična vrednost koeficijenta porasta funkcije i prirasta argumenta kada prirast argumenta teži nuli.

Integral

Za datu funkciju f(x) realne promenljive x i interval [a,b] na pravcu realnih brojeva, integral

\int _{a}^{b}f(x)dx

predstavlja površinu područja u ravni xy ograničenog grafom od f, x-osom i vertikalnim crtama x=a i x=b.

Limes

Poglavlje limesa funkcije razvilo se iz problema kako izračunati vrednost funkcije u slučajevima kada funkcija nije dobro definisana, npr. deljenje nulom. Limes funkcije f u tački a je broj kome se pridružuje funkcijska vrednost f(x), kada vrednost x teži a.

$\lim _{x\to a}f(x)$

npr.

$\lim _{x\to 0}{\frac {sin(x)}{x}}\ =1$

Svojstva limesa

{\begin{matrix}\lim \limits _{x\to p}&(f(x) g(x))&=&\lim \limits _{x\to p}f(x) \lim \limits _{x\to p}g(x)\\\lim \limits _{x\to p}&(f(x)-g(x))&=&\lim \limits _{x\to p}f(x)-\lim \limits _{x\to p}g(x)\\\lim \limits _{x\to p}&(f(x)\cdot g(x))&=&\lim \limits _{x\to p}f(x)\cdot \lim \limits _{x\to p}g(x)\\\lim \limits _{x\to p}&(f(x)/g(x))&=&{\lim \limits _{x\to p}f(x)/\lim \limits _{x\to p}g(x)}\end{matrix}}

Reference

↑ Donald R. Latorre, John W. Kenelly, Iris B. Reed, Sherry Biggers (2007). Calculus Concepts: An Applied Approach to the Mathematics of Change. Cengage Learning. ISBN 0-618-78981-2.

Literatura

Larson, Ron, Bruce H. Edwards (2010). "Calculus", 9th ed., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-547-16702-2
McQuarrie, Donald A. (2003). Mathematical Methods for Scientists and Engineers, University Science Books. ISBN 978-1-891389-24-5
Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals. 6th ed., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8.
Thomas, George B., Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Giordano (2008), "Calculus", 11th ed., Addison-Wesley. ISBN 0-321-48987-X
Courant, Richard ISBN 978-3-540-65058-4 Introduction to calculus and analysis 1.
Edmund Landau. ISBN 0-8218-2830-4 Differential and Integral Calculus, American Mathematical Society.
Robert A. Adams. (1999). ISBN 978-0-201-39607-2 Calculus: A complete course.
Albers, Donald J.; Richard D. Anderson and Don O. Loftsgaarden, ed. (1986) Undergraduate Programs in the Mathematics and Computer Sciences: The 1985-1986 Survey, Mathematical Association of America No. 7.
John Lane Bell: A Primer of Infinitesimal Analysis, Cambridge University Press, 1998. ISBN 978-0-521-62401-5. Uses synthetic differential geometry and nilpotent infinitesimals.
Florian Cajori, "The History of Notations of the Calculus." Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 25, No. 1 (Sep., 1923), pp. 1–46.
Leonid P. Lebedev and Michael J. Cloud: "Approximating Perfection: a Mathematician's Journey into the World of Mechanics, Ch. 1: The Tools of Calculus", Princeton Univ. Press, 2004.
Cliff Pickover. (2003). ISBN 978-0-471-26987-8 Calculus and Pizza: A Math Cookbook for the Hungry Mind.
Michael Spivak. (September 1994). ISBN 978-0-914098-89-8 Calculus. Publish or Perish publishing.
Tom M. Apostol. (1967). ISBN 978-0-471-00005-1 Calculus, Volume 1, One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra. Wiley.
Tom M. Apostol. (1969). ISBN 978-0-471-00007-5 Calculus, Volume 2, Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications. Wiley.
Silvanus P. Thompson and Martin Gardner. (1998). ISBN 978-0-312-18548-0 Calculus Made Easy.
Mathematical Association of America. (1988). Calculus for a New Century; A Pump, Not a Filter, The Association, Stony Brook, NY. ED 300 252.
Thomas/Finney. (1996). ISBN 978-0-201-53174-9 Calculus and Analytic geometry 9th, Addison Wesley.
Weisstein, Eric W. "Second Fundamental Theorem of Calculus." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.

Onlajn knjige

Crowell, B. (2003). "Calculus" Light and Matter, Fullerton., Pristupljeno 6. 5. 2007. from http://www.lightandmatter.com/calc/calc.pdf
Garrett, P. (2006). "Notes on first year calculus" University of Minnesota., Pristupljeno 6. 5. 2007. from http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/first_year/notes.pdf
Faraz, H. (2006). "Understanding Calculus", Pristupljeno 6. 5. 2007. from Understanding Calculus, URL http://www.understandingcalculus.com/ (HTML only)
Keisler, H. J. (2000). "Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals", Pristupljeno 29. 8. 2010. from http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html
Mauch, S. (2004). "Sean's Applied Math Book" California Institute of Technology., Pristupljeno 6. 5. 2007. from http://www.cacr.caltech.edu/~sean/applied_math.pdf Arhivirano 2007-06-14 na Wayback Machine-u
Sloughter, Dan (2000). "Difference Equations to Differential Equations: An introduction to calculus"., Pristupljeno 17. 3. 2009. from http://synechism.org/drupal/de2de/
Stroyan, K.D. (2004). "A brief introduction to infinitesimal calculus" University of Iowa., Pristupljeno 6. 5. 2007. from http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm Arhivirano 2005-09-11 na Wayback Machine-u (HTML only)
Strang, G. (1991). "Calculus" Massachusetts Institute of Technology., Pristupljeno 6. 5. 2007. from http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm
Smith, William V. (2001). "The Calculus", Pristupljeno 4. 7. 2008. [1] Arhivirano 2017-10-30 na Wayback Machine-u (HTML only).

[1] Donald R. Latorre, John W. Kenelly, Iris B. Reed, Sherry Biggers (2007). Calculus Concepts: An Applied Approach to the Mathematics of Change. Cengage Learning. ISBN 0-618-78981-2.

[1]