Числа Сабита

Числа Сабита — натуральные числа, задающиеся формулой $3\cdot 2^{n}-1$ для целых неотрицательных $n.$

Первые числа Сабита — это

$2\;,\;5\;,\;11\;,\;23\;,\;47\;,\;95\;,\;191\;,\;383\;,\;767\;,\;1535\;,\;3071\;,\;6143\;,\;12287\;,\;24575\;,\;49151\;,\;98303\;,\;196607\;,\;393215\;,\;786431\;,\;1572863\;,\;\ldots$

(последовательность A055010 в OEIS.)

Последовательность названа в честь иракского математика девятого века Сабит Ибн Курра, исследовавшим такие числа.

Свойства

• Двоичное представление числа Сабита $3\cdot 2^{n}-1$ имеет длину $n 2.$
• Некоторые числа Сабита являются простыми:

$2\;,\;5\;,\;11\;,\;23\;,\;47\;,\;191\;,\;383\;,\;6143\;,\;786431\;,\;51539607551\;,\;824633720831\;,\;\ldots$

(последовательность A007505 в OEIS.)

• Известны следующие значения $n,$ дающие простые числа:

$0\;,\;1\;,\;2\;,\;3\;,\;4\;,\;6\;,\;7\;,\;11\;,\;18\;,\;34\;,\;38\;,\;43\;,\;47\;,\;55\;,\;64\;,\;76\;,$

$94\;,\;103\;,\;143\;,\;206\;,\;216\;,\;306\;,\;324\;,\;391\;,\;458\;,\;470\;,\;827\;,\;1274\;,\;3276\;,\;4204\;,\;5134\;,$

$7559\;,\;12676\;,\;14898\;,\;18123\;,\;18819\;,\;25690\;,\;26459\;,\;41628\;,\;51387\;,\;71783\;,\;80330\;,\;85687\;,\;88171\;,\;97063\;,$

$123630\;,155930\;,\;164987\;,\;234760\;,\;414840\;,\;584995\;,\;702038\;,\;727699\;,\;992700\;,\;1201046\;,\;1232255\;,\;2312734\;,\;3136255\;,\;\ldots$

(последовательность A002235 в OEIS.)

• Простые числа Сабита ищутся в ходе проекта распределённых вычислений «321 search», который позже был поглощенном проектом PrimeGrid.

• По состоянию на 2023 год наибольшее из известных простых чисел Сабита: 3 × 2^20928756 − 1, состоящее из 6 300 184 цифр. Число было найденное 5 июля 2023 года и на момент своего обнаружения занимало 20-ю позицию среди самых больших известных простых чисел.

Связь с дружественными числами

Если и $n,$ и $n-1$ являются числами Сабита, и если $9\cdot 2^{2n-1}-1$ — простое, то пара дружественных чисел может быть найдена как

$2^{n}(3\cdot 2^{n-1}-1)(3\cdot 2^{n}-1)$ и $2^{n}(9\cdot 2^{2n-1}-1).$

Числа Сабита второго рода

• Числа, записываемые формулой $3\cdot 2^{n} 1$ называются числами Сабита второго рода.

• Первые числа Сабита второго рода:

  $4,7,13,25,49,97,193,385,769,1537,3073,6145,12289,24577,49153,98305,196609,393217,786433,1572865,...$

• Первые простые числа Сабита второго рода (последовательность A039687 в OEIS):

  $7,13,97,193,769,12289,786433,3221225473,206158430209,6597069766657,221360928884514619393,...$

• Первые значения $n$, при которых $3\cdot 2^{n} 1$ простые:

  $1,2,5,6,8,12,18,30,36,41,66,189,201,209,276,353,408,438,534,2208,2816,3168,3189,3912,...$ (последовательность A2253 в OEIS).

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Thâbit ibn Kurrah Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.