Функция Грина

Интуитивная анимация, показывающая, как функции Грина, решающие дифференциальное уравнение с точечным источником, могут быть наложены друг на друга для решения его с произвольным источником.

Фу́нкция Гри́на — функция, используемая для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями (неоднородной краевой задачи). Названа в честь английского математика Джорджа Грина, который первым развил соответствующую теорию в 1830-е годы.

Функции Грина полезны в электростатике — для решения уравнения Пуассона; в теории конденсированных сред — они позволяют решить уравнение диффузии (и совпадающее с ним уравнение теплопроводности); в квантовой механике — функция Грина гамильтониана является одной из ключевых функций и связана с плотностью состояний. Функции Грина, используемые в этих областях, очень похожи, поскольку уравнения диффузии и уравнение Шрёдингера в некотором смысле подобны. Все области математической и теоретической физики, где крайне полезны функции Грина, пожалуй, трудно даже перечислить. Они помогают находить стационарные и нестационарные решения, в том числе при разнообразных граничных условиях.

В физике элементарных частиц и статистической физике функции Грина используются как пропагаторы в диаграммах Фейнмана (и выражение «функция Грина» часто применяется вообще к корреляционной функции в квантовой теории поля). Функция Грина широко применяется в приложениях теории рассеяния к физике твёрдого тела (рентгенография, расчёты электронных спектров металлических материалов).

Определение и использование

Функция Грина $G(x,s)$ линейного дифференциального оператора $L=L(x)$, действующего на обобщённых функциях на подмножестве евклидового пространства $\mathbb {R} ^{n}$ в точке $s$, — это любое решение уравнения

$L~G(x,s)=\delta (x-s)$,

где $\ \delta$ — это дельта-функция Дирака. Это свойство функции Грина может использоваться для решения дифференциального уравнения вида

$L~u(x)=f(x)$,

Функция Грина — это обратный оператор к $L$, поэтому её нередко символически обозначают как $L^{-1}$.

Если ядро оператора $L$ нетривиально, то функция Грина не единственна. Однако на практике использование принципа симметрии, граничных условий или других дополнительных условий позволяет определить конкретную функцию Грина. Вообще говоря, функция Грина — не обычная, а обобщённая функция, то есть она может выпадать из класса обычных функций, например, иметь особенности вида дельта-функции или её производных.

Функция Грина — это также полезный инструмент для решения волнового уравнения, уравнения диффузии и квантовомеханических уравнений, где функция Грина оператора Гамильтона играет важнейшую роль и связана с плотностью состояний. В физике функция Грина обычно определяется с противоположным знаком:

$L~G(x,s)=-\delta (x-s)$,

что не меняет существенно её свойства.

Если оператор трансляционно инвариантен, то есть если $L$ имеет постоянные коэффициенты по отношению к $x$, то функция Грина может быть выбрана в виде конволюционного оператора

$G(x,s)=G(x-s)$.

В таком случае она совпадает с импульсной переходной функцией из теории линейных стационарных систем.

Замечание

Иногда, когда неоднородное уравнение содержит в правой части постоянный коэффициент, то есть имеет вид $Lf=\kappa h$, функция Грина $g(x,s)$ также определяется с учётом этого коэффициента, то есть в этом случае она по определению является решением уравнения

$Lf_{1}(x)=\kappa \,\delta (x-s)$.

В этом случае решение исходного неоднородного уравнения $Lf=\kappa h$ с произвольной функцией $h$ в правой части записывается как

$f(x)=\int {\kappa \,h(s)\,g(x,s)\,ds}$.

Функция Грина оператора Штурма — Лиувилля (одномерный случай)

Постановка задачи

Пусть $L$ — оператор Штурма — Лиувилля, линейный дифференциальный оператор вида:

$L={d \over dx}\left[p(x){d \over dx}\right]-q(x)$,

и пусть $D$ — оператор краевых условий:

$Du={\begin{pmatrix}\alpha _{1}u^{\prime }(0) \beta _{1}u(0)\\\alpha _{2}u^{\prime }(l) \beta _{2}u(l).\end{pmatrix}}$

Теорема Грина

Пусть $f(x)$ — непрерывная функция на промежутке $[0,\;l]$. Предположим также, что задача

${\begin{matrix}Lu=f,\\Du=0\end{matrix}}$

регулярна, то есть существует только тривиальное решение однородной задачи.

Тогда существует единственное решение $u(x)$, удовлетворяющее системе

${\begin{matrix}Lu=f,\\Du=0,\end{matrix}}$,

которое задаётся выражением

$u(x)=\int \limits _{0}^{l}f(s)g(x,\;s)\,ds$,

где $g(x,\;s)$ — функция Грина, которая удовлетворяет следующим требованиям (они же — свойства функции Грина):

1. $g(x,\;s)$ непрерывна по $x$ и $s$.
2. Для $x\neq s$, $Lg(x,\;s)=0$.
3. Для $s\neq 0,\;l$, $Dg(x,\;s)=0$.
4. Скачок производной: $g^{\prime }(s_{ 0},\;s)-g^{\prime }(s_{-0},\;s)=1/p(s)$.
5. Симметрична: $g(x,\;s)=g(s,\;x)$.

Нахождение функции Грина

В виде ряда через собственные функции оператора

Если множество собственных векторов (собственных функций) $\Psi _{n}$ дифференциального оператора $L\$

(то есть набор таких функций $\Psi _{n}(x)$, что для каждой найдётся число $\lambda _{n}\neq 0$, что $L\Psi _{n}=\lambda _{n}\Psi _{n}$)

полно, то можно построить функцию Грина с помощью собственных векторов $\Psi _{n}$ и собственных значений $\lambda _{n}$.

Под полнотой системы функций $\Psi _{n}(x)$ подразумевается выполнение соотношения

$\delta (x-x^{\prime })=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}(x){\overline {\Psi }}_{n}(x^{\prime })$.

Можно показать, что

$G(x,\;x^{\prime })=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Psi _{n}(x){\overline {\Psi }}_{n}(x^{\prime })}{\lambda _{n}}}$.

Действительно, подействовав оператором $L$ на эту сумму, мы получим дельта-функцию (в силу соотношения полноты).

(Чертой сверху, ${\overline {\Psi }}$, обозначено комплексное сопряжение; если $\Psi _{n}$ — вещественные функции, его можно не делать).

Для параболических уравнений

Основной источник:

Уравнение теплопроводности, уравнение Шрёдингера и уравнения диффузии можно представить в виде уравнения в частных производных:

$H\psi (x,\beta )=-{\frac {\partial \psi (x,\beta )}{\partial \beta }}$

(1)

где $H$ — эрмитов оператор, $x={\mathcal {f}}x_{1},x_{2},...,x_{n}{\mathcal {g}}$ - пространственные координаты

• для уравнения теплопроводности $\Delta T={\frac {c}{k}}{\frac {\partial T}{\partial t}}$

$T$ — температура, $\beta ={\frac {k}{c}}t$.

• для уравнения Шрёдингера $H\psi =-{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}$

$\psi$ — волновая функция, $\beta ={\frac {\hbar i}{2m}}t$.

• для уравнения диффузии $\nabla ^{2}\psi ={\frac {1}{\lambda }}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}$

$\psi$ — концентрация вещества, $\beta =\lambda t$.

Собственные функции $\varphi _{m}$ оператора $H$ образуют полную ортонормированную систему и удовлетворяют уравнению

$H\varphi _{m}=\lambda _{m}\varphi _{m}$.

Предположим, что решение уравнения (1) можно представить в виде:

$\psi (x,\beta )=\sum _{m=0}^{\infty }A_{m}(\beta )\varphi _{m}(x)$

(2)

Подставляя в уравнение (1) предполагаемую форму решения, получаем:

$H\psi =\sum _{m=0}^{\infty }A_{m}(\beta )H\varphi _{m}(x)=-\sum _{m=0}^{\infty }\varphi _{m}(x){\frac {\partial }{\partial \beta }}A_{m}(\beta )$.

Таким образом:

$\sum _{m=0}^{\infty }[\lambda _{m}A_{m}(\beta ) {\frac {\partial }{\partial \beta }}A_{m}(\beta )]\varphi _{m}(x)=0$.

Это уравнение должно выполняться для всех m. Получаем уравнение:

$-\lambda _{m}A_{m}(\beta )={\frac {\partial A_{m}(\beta )}{\partial \beta }}$,

откуда

$A_{m}(\beta )=A_{m}(0)e^{-\lambda _{m}\beta }$.

Следовательно, решение исходного уравнения (1) можно представить в виде:

$\psi (x,\beta )=\sum _{m=0}^{\infty }A_{m}(0)e^{-\lambda _{m}\beta }\varphi _{m}(x)$.

Считая ряд (2) равномерно сходящимся, можно найти, что:

$A_{m}(\beta )=\int \varphi _{m}^{*}(x)\psi (x,\beta )d\tau$,

где $d\tau =dx_{1}dx_{2}...dx_{n}$ — элемент объёма.

Из этой формулы следует:

$A_{m}(0)=\int \varphi _{m}^{*}(x)\psi (x,0)d\tau$

Итак, если задано начальное состояние, то

$\psi (x,\beta )=\sum _{m=0}^{\infty }\int \psi (x',0)\varphi _{m}^{*}(x')\varphi _{m}(x)e^{-\lambda _{m}\beta }d\tau '$

Это уравнение можно представить в более удобной форме:

$\psi (x,\beta )=\int \langle x|G(\beta )|x'\rangle \psi (x',0)d\tau '$,

где:

$\langle x|G(\beta )|x'\rangle =\sum _{m=0}^{\infty }\varphi _{m}^{*}(x')\varphi _{m}(x)e^{-\lambda _{m}\beta }$.

Это выражение называется функцией Грина для уравнения (1).

Функция Грина для лапласиана

Функция Грина для лапласиана может быть получена из теоремы Грина.

Для получения теоремы Грина начнём с закона Гаусса:

$\int \limits _{V}\nabla \cdot {\hat {A}}\ dV=\int \limits _{S}{\hat {A}}\cdot d{\hat {\sigma }}$.

Примем $A=\varphi \nabla \psi -\psi \nabla \varphi$ и подставим в закон Гаусса. Вычислим $\nabla \cdot {\hat {A}}$ и применим цепное правило для оператора $\nabla$:

$\nabla \cdot {\hat {A}}=\nabla \cdot (\varphi \nabla \psi -\psi \nabla \varphi )=$

$=(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi ) \varphi \nabla ^{2}\psi -(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )-\psi \nabla ^{2}\varphi =\varphi \nabla ^{2}\psi -\psi \nabla ^{2}\varphi$.

Подставляя результат в теорему Гаусса, мы получаем теорему Грина:

$\int \limits _{V}(\varphi \nabla ^{2}\psi -\psi \nabla ^{2}\varphi )\ dV=\int \limits _{S}(\varphi \nabla \psi -\psi \nabla \varphi )\cdot d{\hat {\sigma }}$.

Предполагая, что наш линейный дифференциальный оператор $L$ Лапласиан, $\nabla ^{2}$, и то, что у нас имеется для него функция Грина $G$. Определение функции Грина в этом случае запишется в виде:

$LG(x,\;x^{\prime })=\nabla ^{2}G(x,\;x^{\prime })=\delta (x-x^{\prime })$.

Положим $\psi =G$ в теореме Грина. Тогда получим:

$\int \limits _{V}(\varphi (x^{\prime })\delta (x-x^{\prime })-G(x,\;x^{\prime })\nabla ^{2}\varphi (x^{\prime }))\ d^{3}x^{\prime }=$

$=\int \limits _{S}(\varphi (x^{\prime })\nabla ^{\prime }G(x,\;x^{\prime })-G(x,\;x^{\prime })\nabla ^{\prime }\varphi (x^{\prime }))\cdot d{\hat {\sigma }}^{\prime }$.

Используя выражение, мы можем решить уравнение Лапласа ($\nabla ^{2}\varphi (x)=0$) и уравнение Пуассона ($\nabla ^{2}\varphi (x)=-4\pi \rho (x)$) с граничными условиями Неймана или Дирихле. Другими словами, мы можем найти решение $\varphi (x)$ всюду внутри заданной области, если (1) значение $\varphi (x)$ задано на границе этой области (граничные условия Дирихле), или (2) нормальная производная $\varphi (x)$ задана на границе этой области (граничные условия Неймана).

Пусть нас интересует решение $\varphi (x)$ внутри области. В этом случае интеграл $\int \limits _{V}\varphi (x^{\prime })\delta (x-x^{\prime })\ d^{3}x^{\prime }$ упрощается до $\varphi (x)$ в силу основного свойства дельта-функции, и мы имеем:

$\varphi (x)=\int \limits _{V}G(x,\;x^{\prime })\rho (x^{\prime })\ d^{3}x^{\prime } \int \limits _{S}(\varphi (x^{\prime })\nabla ^{\prime }G(x,\;x^{\prime })-G(x,\;x^{\prime })\nabla ^{\prime }\varphi (x^{\prime }))\cdot d{\hat {\sigma }}^{\prime }$.

Эта формула выражает известное свойство гармонических функций, состоящее в том, что если известно значение нормальной производной на границе области, то известны и все значения функции в любой внутренней точке этой области.

В электростатике $\varphi (x)$ понимается как электростатический потенциал, $\rho (x)$ как плотность электрического заряда, а нормальная производная $\nabla \varphi (x^{\prime })\cdot d{\hat {\sigma }}^{\prime }$ как нормальная составляющая электрического поля.

При решении краевой задачи Дирихле функция Грина выбирается в виде $G(x,\;x^{\prime })$. Эта функция обращается в нуль, когда $x$ или $x^{\prime }$ находится на границе раздела; и наоборот, решая краевую задачу Неймана, следует выбирать функцию Грина так, чтобы на поверхности обращалась в нуль её нормальная производная. Таким образом в интеграле по поверхности остаётся только одно из двух слагаемых.

При отсутствии граничных условий функция Грина для лапласиана имеет вид:

$G({\hat {x}},\;{\hat {x}}^{\prime })={\frac {1}{\left|{\hat {x}}-{\hat {x}}^{\prime }\right|}}$.

Считая граничную поверхность бесконечно большой и подставляя в это выражение функцию Грина, мы придём к аналогичному выражению для электрического потенциала через электрическую плотность заряда.

$\varphi (x)=\int \limits _{V}{\frac {\rho (x^{\prime })}{\left|{\hat {x}}-{\hat {x}}^{\prime }\right|}}\ d^{3}x^{\prime }$.

Пример

(Этот пример служит иллюстрацией к параграфу Функция Грина оператора Штурма — Лиувилля (одномерный случай), причём описанные здесь соображения иллюстрируют пункты теоремы из соответствующего параграфа, ссылки на пункты которой присутствуют в тексте ниже).

Дана задача

${\begin{matrix}Lu\end{matrix}}=u^{\prime \prime } u=f(x)$;

$u(0)=0,\quad u\left({\frac {\pi }{2}}\right)=0$.

Найти функцию Грина.

Первый шаг: Функция Грина $g(x,s)$ в данном случае по определению должна быть решением уравнения

$g^{\prime \prime } g=\delta (x-s)$

(3)

где двумя штрихами обозначена вторая производная по $x$.

Для $x\neq s$, где $\delta$-функция равна нулю, это уравнение сводится к однородному (пункт 2 упомянутой теоремы):

$g^{\prime \prime } g=0$,

то есть для всех точек, кроме $s$, функция Грина будет решением такого однородного уравнения.

Общее решение такого уравнения

$g=A\cos x B\sin x$,

где $A$ и $B$ — константы (не зависят от $x$).

Таким образом, $g(x,s)$ должно иметь именно такой вид всюду, кроме точки $s$, причём слева и справа от неё коэффициенты $A$ и $B$ могут (и будут) иметь разное значение.

Наложим на функцию Грина граничные условия, совпадающие с граничными условиями исходной задачи (пункт 3 упомянутой во вводном замечании теоремы). Функция Грина с наложенными так граничными условиями удобна тем, что конструируемые суммированием или интегрированием таких функций Грина решения автоматически будут удовлетворять этим граничным условиям.

Из левого граничного условия: $u(0)=0$ — налагаемого на функцию Грина мы видим, что для $x<s$ коэффициент $A$ общего решения должен быть нулём, то есть для $x<s$

$g(x,\;s)=B\cdot \sin x$.

Точно так же из правого граничного условия: $u\left({\frac {\pi }{2}}\right)=0$ — получаем равенство нулю коэффициента $B$, то есть для $x>s$

$g(x,\;s)=A\cdot \cos x$.

В итоге, учитывая, что коэффициенты $A$ и $B$ вообще говоря могут зависеть от $s$, можем записать:

$g(x,\;s)=\left\{{\begin{matrix}B(s)\sin x,\;\;x<s\\A(s)\cos x,\;\;s<x\end{matrix}}\right.$

Второй шаг:

Нужно определить $A(s)$ и $B(s)$.

Проинтегрировав дважды левую и правую часть уравнения (3) с дельта-функцией в правой части, мы увидим, что функция Грина должна быть непрерывна (пункт 1 упомянутой теоремы), а отсюда условие сшивки решения $x<s$ и $x>s$:

$B(s)\sin s=A(s)\cos s$.

Проинтегрировав же левую и правую часть того же уравнения от $x=s-\varepsilon$ до $x=s \varepsilon$ получим условие на скачок первой производной (пункт 4 теоремы), и используя его, получим:

$g'(s_{ 0},s)-g'(s_{-0},s)=-A(s)\cdot \sin s-B(s)\cdot \cos s=1$.

Используя правило Крамера или просто угадывая решение системы из двух этих уравнений, получим, что

$A(s)=-\sin s;\quad B(s)=-\cos s$.

Эти выражения удовлетворяют условию пункта 5 теоремы.

Тогда функция Грина задачи:

$g(x,\;s)=\left\{{\begin{matrix}-1\cdot \cos s\cdot \sin x,\;\;x<s\\-1\cdot \sin s\cdot \cos x,\;\;s<x\end{matrix}}\right.$,

что можно записать как

$g(x,\;s)={\frac {1}{2}}\left(\sin \left|x-s\right|-\sin(x s)\right).$

Таблица с функциями Грина

В данной таблице представлены функции Грина для часто встречающихся дифференциальных операторов, где $\textstyle r={\sqrt {x^{2} y^{2} z^{2}}}$, $\textstyle \rho ={\sqrt {x^{2} y^{2}}}$, $\textstyle \Theta (t)$ — функция Хевисайда, $\textstyle J_{\nu }(z)$ — функция Бесселя, $\textstyle I_{\nu }(z)$ — модифицированная функция Бесселя первого рода и $\textstyle K_{\nu }(z)$ — модифицированная функция Бесселя второго рода. Где время (t) появляется в первой колонке и показаны причинные функции Грина $G^{A}$.

Дифференциальный оператор L	Функция Грина G	Пример применения
$\partial _{t}^{n 1}$	${\frac {t^{n}}{n!}}\Theta (t)$
$\partial _{t} \gamma$	$\Theta (t)\mathrm {e} ^{-\gamma t}$
$\left(\partial _{t} \gamma \right)^{2}$	$\Theta (t)t\mathrm {e} ^{-\gamma t}$
$\partial _{t}^{2} 2\gamma \partial _{t} \omega _{0}^{2}$	$\Theta (t)\mathrm {e} ^{-\gamma t}~{\frac {\sin(\omega t)}{\omega }}$, $\omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}$	Гармонический осциллятор
$\Delta _{\text{2D}}=\partial _{x}^{2} \partial _{y}^{2}$	${\frac {1}{2\pi }}\ln \rho$, $\rho ={\sqrt {x^{2} y^{2}}}$	Уравнение Пуассона
$\Delta _{\text{3D}}=\partial _{x}^{2} \partial _{y}^{2} \partial _{z}^{2}$	${\frac {-1}{4\pi r}}$, $r={\sqrt {x^{2} y^{2} z^{2}}}$	Уравнение Пуассона
$\Delta _{\text{3D}} k^{2}$	${\frac {-\mathrm {e} ^{-ikr}}{4\pi r}}=i{\sqrt {\frac {k}{32\pi r}}}$$H_{1/2}^{(2)}(kr)$$=i{\frac {k}{4\pi }}\,$$h_{0}^{(2)}(kr)$	стационарное 3D уравнение Шрёдингера для свободной частицы
$\Delta -k^{2}$ в пространстве с $n$ измерениями	$-(2\pi )^{-n/2}\left({\frac {k}{r}}\right)^{n/2-1}K_{n/2-1}(kr)$	Потенциал Юкавы, Пропагатор
$\partial _{t}^{2}-c^{2}\partial _{x}^{2}$	${\frac {1}{2c}}\Theta (t-|x/c|)$	1D волновое уравнение
$\partial _{t}^{2}-c^{2}\Delta _{\text{2D}}$	${\frac {1}{2\pi c{\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}}}\Theta (t-\rho /c)$	2D волновое уравнение
$\square ={\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\Delta _{\text{3D}}$	${\frac {\delta (t-{\frac {r}{c}})}{4\pi r}}$	3D волновое уравнение
$\partial _{t}-k\partial _{x}^{2}$	$\Theta (t)\left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)^{1/2}\mathrm {e} ^{-x^{2}/4kt}$	1D уравнение диффузии
$\partial _{t}-k\Delta _{\text{2D}}$	$\Theta (t)\left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)\mathrm {e} ^{-\rho ^{2}/4kt}$	2D уравнение диффузии
$\partial _{t}-k\Delta _{\text{3D}}$	$\Theta (t)\left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)^{3/2}\mathrm {e} ^{-r^{2}/4kt}$	3D уравнение диффузии
${\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\partial _{x}^{2} \mu ^{2}$	${\frac {1}{2}}\left[\left(1-\sin {\mu ct}\right)(\delta (ct-x) \delta (ct x)) \mu \Theta (ct-|x|)J_{0}\left(\mu u\right)\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}}}$	1D уравнение Клейна — Гордона
${\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\Delta _{\text{2D}} \mu ^{2}$	${\frac {1}{4\pi }}\left[(1 \cos {(\mu ct)}){\frac {\delta (ct-\rho )}{\rho }} \mu ^{2}\Theta (ct-\rho )\operatorname {sinc} {(\mu u)}\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}$	2D уравнение Клейна — Гордона
$\square \mu ^{2}$	${\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {\delta \left(t-{\frac {r}{c}}\right)}{r}} \mu c\Theta (ct-r){\frac {J_{1}\left(\mu u\right)}{u}}\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-r^{2}}}$	3D уравнение Клейна — Гордона
$\partial _{t}^{2} 2\gamma \partial _{t}-c^{2}\partial _{x}^{2}$	${\frac {1}{2}}e^{-\gamma t}\left[\delta (ct-x) \delta (ct x) \Theta (ct-|x|)\left({\frac {\gamma }{c}}I_{0}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right) {\frac {\gamma t}{u}}I_{1}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)\right)\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}}}$	телеграфное уравнение
$\partial _{t}^{2} 2\gamma \partial _{t}-c^{2}\Delta _{\text{2D}}$	${\frac {e^{-\gamma t}}{4\pi }}\left[(1 e^{-\gamma t} 3\gamma t){\frac {\delta (ct-\rho )}{\rho }} \Theta (ct-\rho )\left({\frac {\gamma \sinh \left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}{cu}} {\frac {3\gamma t\cosh \left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}{u^{2}}}-{\frac {3ct\sinh \left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}{u^{3}}}\right)\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}$	2D релятивистское уравнение теплопроводности
$\partial _{t}^{2} 2\gamma \partial _{t}-c^{2}\Delta _{\text{3D}}$	${\frac {e^{-\gamma t}}{20\pi }}\left[\left(8-3e^{-\gamma t} 2\gamma t 4\gamma ^{2}t^{2}\right){\frac {\delta (ct-r)}{r^{2}}} {\frac {\gamma ^{2}}{c}}\Theta (ct-r)\left({\frac {1}{cu}}I_{1}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right) {\frac {4t}{u^{2}}}I_{2}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)\right)\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-r^{2}}}$	3D релятивистское уравнение теплопроводности

Другие примеры

• Пусть дано множество $\mathbb {R}$ и оператор $\ L$ равен $\ d/dx$. Тогда функция Хевисайда $\ H(x-x_{0})$ является функцией Грина для $\ L$ при $\ x_{0}$.
• Пусть многообразие задаётся первой четвертью плоскости ${(x,\;y):\;x,\;y\geqslant 0}$ и $\ L$ — оператор Лапласа. Также предположим, что при $\ x=0$ наложены краевые условия Дирихле, при $\ y=0$ — краевые условия Неймана. Тогда функция Грина примет вид

$G(x,\;y,\;x_{0},\;y_{0})={\frac {1}{2\pi }}\left[\ln {\sqrt {(x-x_{0})^{2} (y-y_{0})^{2}}}-\ln {\sqrt {(x x_{0})^{2} (y-y_{0})^{2}}}\right]$

${\frac {1}{2\pi }}\left[\ln {\sqrt {(x-x_{0})^{2} (y y_{0})^{2}}}-\ln {\sqrt {(x x_{0})^{2} (y y_{0})^{2}}}\right].$

См. также

• Дифференциальный оператор
• Функция Грина для случайно-неоднородной среды
• Метод функции Грина

Литература

• Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field, Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9. (5-я глава содержит очень понятное изложение использования функций Грина для решения краевых задач в электростатике.)
• A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9