Теория возмущений

Теория возмущений — метод приближённого решения задач теоретической физики, применимый в том случае, когда в задаче присутствует малый параметр, причём в пренебрежении этим параметром задача имеет точное решение.

Физические величины, рассчитанные по теории возмущений, имеют вид ряда

$A=A^{(0)} \varepsilon A^{(1)} \varepsilon ^{2}A^{(2)} ...$

где $A^{(0)}$ — решение невозмущённой задачи, $\varepsilon$ — малый параметр. Коэффициенты $A^{(n)}$ находятся путём последовательных приближений, то есть $A^{(n)}$ выражается через $A^{(0)},...,A^{(n-1)}$. Применяется в небесной механике, квантовой механике, квантовой теории поля и т. д.

В небесной механике

Исторически, первой дисциплиной, в которой была разработана теория возмущений, была небесная механика. Задача нахождения движения планет Солнечной системы есть задача $N$ тел, которая, в отличие от задачи двух тел, не имеет точного аналитического решения. Её решение, однако, облегчается тем, что ввиду малой массы планет, притяжение планет друг к другу намного слабее, чем притяжение их Солнцем. В пренебрежении массами планет задача сводится к $N-1$ независимым задачам двух тел, которые решаются точно; каждая планета движется в поле тяготения Солнца по эллиптической орбите согласно законам Кеплера. Это есть решение невозмущённой задачи, или нулевое приближение. Силы, действующие со стороны других планет, приводят к искажению, или возмущению этих эллиптических орбит. Для вычисления траектории планеты с учётом возмущения применяется следующий метод.

Положение планеты в пространстве и её скорость можно задать при помощи шести величин (по числу степеней свободы): большая полуось и эксцентриситет орбиты, наклонение орбиты её к плоскости эклиптики, долгота восходящего узла, аргумент перицентра и момент прохождения через перигелий. Эти величины (обозначим их для простоты $a_{i}$) выгодно отличаются от декартовых координат и компонент скорости тем, что для невозмущённого движения они постоянны:

$a_{i}(t)=a_{i}^{(0)}={\rm {const}},$

поэтому уравнения движения планеты, записанные через них, содержат малый параметр в правой части:

${\frac {da_{i}}{dt}}=\varepsilon f_{i}(a_{1},a_{2},...a_{6},t)\qquad \qquad (*)$

Ввиду этого, решать уравнения движения удобно методом последовательных приближений. В первом приближении подставим в правую часть решения невозмущённого уравнения, и найдём:

$a_{i}(t)=a_{i}^{(0)} \varepsilon a_{i}^{(1)}(t)=a_{i}^{(0)} \varepsilon \int _{0}^{t}f_{i}(a_{i}^{(0)},\tau )d\tau .$

Для нахождения второго приближения подставляем найденное решение в правую часть (*) и решаем получившиеся уравнения и т. д.

В квантовой механике

Теория возмущений в квантовой механике применяется в том случае, когда гамильтониан системы можно представить в виде

$H=H^{(0)} V$

где $H^{(0)}$ — невозмущённый гамильтониан (причём решение соответствующего уравнения Шрёдингера известно точно), а $V$ — малая добавка (возмущение).

Стационарная теория возмущений

Основная статья: Стационарная теория возмущений в квантовой механике

Задача состоит в нахождении собственных функций гамильтониана (стационарных состояний) и соответствующих уровней энергии. Будем искать решения уравнения Шрёдингера для нашей системы

$H|\psi _{n}\rangle =E_{n}|\psi _{n}\rangle \qquad \qquad (**)$

в виде разложения в ряд

$\psi _{n}=\psi _{n}^{(0)} \psi _{n}^{(1)} \psi _{n}^{(2)} ...$

$E_{n}=E_{n}^{(0)} E_{n}^{(1)} E_{n}^{(2)} ...\qquad \qquad (***)$

где $\psi _{n}^{(0)}$ и $E_{n}^{(0)}$ — волновые функции и энергетические уровни невозмущённой задачи

$H^{(0)}|\psi _{n}^{(0)}\rangle =E_{n}^{(0)}|\psi _{n}^{(0)}\rangle ,$

а число $n$ нумерует энергетические уровни.

Подставляя (***) в (**), с точностью до членов первого порядка по возмущению получим

$(V-E_{n}^{(1)})|\psi _{n}^{(0)}\rangle =(E_{n}^{(0)}-H^{(0)})|\psi _{n}^{(1)}\rangle$

Домножая слева на $\psi _{m}^{(0)}$, и учитывая, что $\psi _{m}^{(0)}$ — (ортонормированные) собственные функции невозмущённого гамильтониана, получаем

$E_{n}^{(1)}=V_{nn}$

$\psi _{n}^{(1)}=\sum _{m\neq n}{\frac {V_{mn}}{E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}}}\psi _{m}^{(0)},$

где $V_{mn}\equiv \langle \psi _{m}^{(0)}|V|\psi _{n}^{(0)}\rangle$ — матричные элементы возмущения.

Вышеизложенная процедура работает, если невозмущённый уровень $E_{n}^{(0)}$ невырожден. В противном случае для нахождения поправок первого порядка необходимо решать секулярное уравнение.

Аналогичным образом находятся поправки следующих порядков, хотя формулы сильно усложняются.

В квантовой теории поля

Большинство вычислений в квантовой теории поля, в частности, в квантовой электродинамике (КЭД), также делаются в рамках теории возмущений. Невозмущённым решением являются свободные поля, а малым параметром — константа взаимодействия (в электродинамике — постоянная тонкой структуры $\alpha =1/137$). Для представления членов ряда теории возмущений в наглядной форме используются диаграммы Фейнмана.

В наше время многие вычисления в КЭД не ограничиваются первым или вторым порядком теории возмущений. Так, аномальный магнитный момент электрона в настоящее время (2015) вычислен до 5-го порядка по $\alpha$.

Тем не менее, существует теорема о том, что ряд теории возмущений в КЭД является не сходящимся, а лишь асимптотическим. Это означает, что, начиная с некоторого (на практике — очень большого) порядка теории возмущений согласие между приближённым и точным решением будет уже не улучшаться, а ухудшаться.

Примеры неприменимости теории возмущений

Несмотря на свою кажущуюся универсальность, метод теории возмущений не срабатывает в определённом классе задач. Примерами могут являться инстантонные эффекты в ряде задач квантовой механики и квантовой теории поля. Инстантонные вклады обладают существенными особенностями в точке разложения. Типичный пример инстантонного вклада имеет вид:

$T_{inst}=A\exp(-1/g)$, где $g$ — малый параметр.

Эта функция является неаналитичной в точке $g=0$, а потому не может быть разложена в ряд Маклорена по $g$.

Литература

• Физическая энциклопедия / А.М. Прохоров (гл. ред.). — М.: Большая Российская энциклопедия, 1988—99.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5.
• Мессиа А. Квантовая механика: Пер. с фр. — Т.2, 1979. — 584 с.
• J. Zinn-Justin and U. D. Jentschura. Multi-Instantons and Exact Results I: Conjectures, WKB Expansions, and Instanton Interactions // Ann. Phys. — 2004. — Vol. 313. — P. 197—267.
• J. Zinn-Justin and U. D. Jentschura. Multi-Instantons and Exact Results II: Specific Cases, Higher-Order Effects, and Numerical Calculations // Ann. Phys. — 2004. — Vol. 313. — P. 269—325.
• Джакалья Г. Е. О. Методы теории возмущений для нелинейных систем. - М., Наука, 1979. - 320 с.