Рис. 1 Теорема Стюарта — метрическая теорема в евклидовой планиметрии .
Она утверждает, что если точка
D
{\displaystyle D}
B
C
{\displaystyle BC}
A
B
C
{\displaystyle ABC}
A
D
2
=
p
2
=
b
2
x
a
c
2
y
a
−
x
y
,
{\displaystyle AD^{2}=p^{2}=b^{2}{\frac {x}{a}} c^{2}{\frac {y}{a}}-{xy},}
где
y
=
C
D
{\displaystyle y=CD}
x
=
B
D
{\displaystyle x=BD}
a
=
x
y
=
B
C
{\displaystyle a=x y=BC}
AD называется чевианой ABC .
Одно из доказательств теоремы основано на применении векторной алгебры и, в частности, свойств скалярного произведения [ 1]
A
D
→
,
{\displaystyle {\overrightarrow {AD}},}
A
D
→
=
A
B
→
B
D
→
,
A
D
→
=
A
C
→
C
D
→
.
{\displaystyle {\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AB}} {\overrightarrow {BD}},\quad {\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AC}} {\overrightarrow {CD}}.}
Первое уравнение домножим на длину
C
D
{\displaystyle CD}
B
D
:
{\displaystyle BD\colon }
A
D
→
⋅
C
D
=
A
B
→
⋅
C
D
B
D
→
⋅
C
D
,
{\displaystyle {\overrightarrow {AD}}\cdot CD={\overrightarrow {AB}}\cdot CD {\overrightarrow {BD}}\cdot CD,}
A
D
→
⋅
B
D
=
A
C
→
⋅
B
D
C
D
→
⋅
B
D
.
{\displaystyle {\overrightarrow {AD}}\cdot BD={\overrightarrow {AC}}\cdot BD {\overrightarrow {CD}}\cdot BD.}
Теперь сложим полученные уравнения:
A
D
→
⋅
B
C
=
(
A
B
→
⋅
C
D
B
D
→
⋅
C
D
)
(
A
C
→
⋅
B
D
C
D
→
⋅
B
D
)
,
{\displaystyle {\overrightarrow {AD}}\cdot BC=({\overrightarrow {AB}}\cdot CD~{\color {Red} ~{\overrightarrow {BD}}\cdot CD}) ({\overrightarrow {AC}}\cdot BD~{\color {Red} ~{\overrightarrow {CD}}\cdot BD}),}
где
B
D
→
⋅
C
D
C
D
→
⋅
B
D
=
0
,
{\displaystyle {\overrightarrow {BD}}\cdot CD {\overrightarrow {CD}}\cdot BD=0,}
B
D
→
⋅
C
D
{\displaystyle {\overrightarrow {BD}}\cdot CD}
C
D
→
⋅
B
D
{\displaystyle {\overrightarrow {CD}}\cdot BD}
A
D
→
{\displaystyle {\overrightarrow {AD}}}
A
D
→
=
A
B
→
C
D
B
C
A
C
→
B
D
B
C
.
{\displaystyle {\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AB}}{\frac {CD}{BC}} {\overrightarrow {AC}}{\frac {BD}{BC}}.}
Его длину можно получить с помощью скалярного произведения вектора
A
D
→
{\displaystyle {\overrightarrow {AD}}}
(
A
D
→
)
2
=
(
A
B
→
)
2
(
C
D
B
C
)
2
(
A
C
→
)
2
(
B
D
B
C
)
2
2
A
B
→
⋅
A
C
→
⋅
C
D
B
C
⋅
B
D
B
C
.
{\displaystyle \left({\overrightarrow {AD}}\right)^{2}=\left({\overrightarrow {AB}}\right)^{2}\left({\frac {CD}{BC}}\right)^{2} \left({\overrightarrow {AC}}\right)^{2}\left({\frac {BD}{BC}}\right)^{2} {\color {Green}2{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}}\cdot {\frac {CD}{BC}}\cdot {\frac {BD}{BC}}.}
Далее, чтобы выразить
2
A
B
→
⋅
A
C
→
{\displaystyle 2{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}}
(
A
B
→
−
A
C
→
)
2
:
{\displaystyle ({\overrightarrow {AB}}-{\overrightarrow {AC}})^{2}\colon }
B
C
→
=
A
C
→
−
A
B
→
,
{\displaystyle {\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AC}}-{\overrightarrow {AB}},}
B
C
2
=
A
C
2
−
2
A
C
→
⋅
A
B
→
A
B
2
,
{\displaystyle BC^{2}=AC^{2}-2{\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {AB}} AB^{2},}
2
A
C
→
⋅
A
B
→
=
A
C
2
A
B
2
−
B
C
2
.
{\displaystyle 2{\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {AB}}=AC^{2} AB^{2}-BC^{2}.}
Отсюда окончательно получается, что
A
D
2
=
A
B
2
C
D
2
B
C
2
A
C
2
B
D
2
B
C
2
(
A
C
2
A
B
2
−
B
C
2
)
C
D
B
C
⋅
B
D
B
C
,
{\displaystyle AD^{2}=AB^{2}{\frac {CD^{2}}{BC^{2}}} AC^{2}{\frac {BD^{2}}{BC^{2}}} ({\color {Green}AC^{2} AB^{2}-BC^{2}}){\frac {CD}{BC}}\cdot {\frac {BD}{BC}},}
A
D
2
=
A
B
2
⋅
C
D
B
C
A
C
2
⋅
B
D
B
C
−
C
D
⋅
B
D
.
{\displaystyle AD^{2}=AB^{2}\cdot {\frac {CD}{BC}} AC^{2}\cdot {\frac {BD}{BC}}-CD\cdot BD.}
Выразим AB и AC через остальные стороны треугольников ABC и ACD и через углы
∠
A
D
B
{\displaystyle \angle ADB}
∠
A
D
C
,
{\displaystyle \angle ADC,}
смежные друг другу:
A
B
2
=
B
D
2
A
D
2
−
2
A
D
⋅
B
D
cos
∠
A
D
B
,
{\displaystyle AB^{2}=BD^{2} AD^{2}-2AD\cdot BD\cos \angle ADB,}
A
C
2
=
A
D
2
D
C
2
−
2
A
D
⋅
D
C
cos
∠
A
D
C
=
=
A
D
2
D
C
2
2
A
D
⋅
D
C
cos
∠
A
D
B
.
{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}AC^{2}&=AD^{2} DC^{2}~{\color {Green}-}~2AD\cdot DC\cos \angle AD{\color {Green}C}=\\&=AD^{2} DC^{2}~{\color {Green} }~2AD\cdot DC\cos \angle AD{\color {Green}B}.\\\end{alignedat}}}
Умножим первое уравнение на
D
C
{\displaystyle DC}
B
D
:
{\displaystyle BD\colon }
{
A
B
2
D
C
=
B
D
2
D
C
A
D
2
D
C
−
2
A
D
⋅
B
D
⋅
D
C
cos
∠
A
D
B
,
A
C
2
B
D
=
A
D
2
B
D
D
C
2
B
D
2
A
D
⋅
D
C
⋅
B
D
cos
∠
A
D
B
,
{\displaystyle {\begin{cases}AB^{2}DC=BD^{2}DC AD^{2}DC-2AD\cdot BD\cdot DC\cos \angle ADB,\\AC^{2}BD=AD^{2}BD DC^{2}BD 2AD\cdot DC\cdot BD\cos \angle ADB,\end{cases}}}
Чтобы избавиться от косинуса угла ABD , сложим эти равенства:
A
B
2
D
C
A
C
2
B
D
=
(
B
D
2
D
C
A
D
2
D
C
)
(
A
D
2
B
D
D
C
2
B
D
)
,
{\displaystyle AB^{2}DC AC^{2}BD=(BD^{2}DC AD^{2}DC) (AD^{2}BD DC^{2}BD),}
A
B
2
D
C
A
C
2
B
D
−
B
D
2
D
C
−
D
C
2
B
D
=
A
D
2
(
D
C
B
D
)
,
{\displaystyle AB^{2}DC AC^{2}BD-BD^{2}DC-DC^{2}BD=AD^{2}(DC BD),}
A
B
2
D
C
A
C
2
B
D
−
B
D
⋅
D
C
(
B
D
D
C
)
=
A
D
2
(
D
C
B
D
)
,
{\displaystyle AB^{2}DC AC^{2}BD-BD\cdot DC(BD DC)=AD^{2}(DC BD),}
A
B
2
⋅
C
D
B
C
A
C
2
⋅
B
D
B
C
−
B
D
⋅
C
D
=
A
D
2
.
{\displaystyle AB^{2}\cdot {\frac {CD}{BC}} AC^{2}\cdot {\frac {BD}{BC}}-BD\cdot CD=AD^{2}.}
Теорема названа по имени доказавшего её английского математика М. Стюарта и опубликовавшего её в труде «Некоторые общие теоремы» (1746, Эдинбург). Теорему сообщил Стюарту его учитель Р. Симсон , который опубликовал эту теорему лишь в 1749 г.
Теорема Стюарта обобщается до равенства Бретшнайдера для четырёхугольника: если одна вершина четырёхугольника попадает на сторону четырёхугольника, то из теоремы Бретшнайдера следует теорема Стюарта .Л. С. Атанасян , В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, И. И. Юдина.В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк , С. А. Шестаков , И. И. Юдина. Геометрия. Пособие для углубленного изучения математики. Изд-во ФИЗМАТЛИТ, 2005. 488 с. стр. 302—303.Мантуров О. В. , Солнцев Ю. К.Понарин Я. П. М. : МЦНМО , 2004. — С. 60-61. — ISBN 5-94057-170-0 . .svg)
