Спектральная теорема

Спектральная теорема — класс теорем о матрицах линейных операторов, дающих условия, при которых такие матрицы могут быть диагонализированы, то есть представлены в виде диагональной матрицы в некотором базисе. Эти теоремы позволяют свести вычисления, включающие диагонализируемые матрицы к гораздо более простым вычислениям, использующим соответствующие диагональные матрицы.

Понятие диагонализации, достаточно простое для случая конечномерных векторных пространств, требует некоторых уточнений при переходе к бесконечномерным векторным пространствам. Вообще говоря, спектральная теорема выделяет класс линейных операторов, которые могут моделироваться так называемыми операторами умножения — то есть операторами вида $\phi \mapsto f\phi$ для фиксированной функции $f$. Более абстрактно, спектральная теорема является утверждением о коммутативных $C^{*}$-алгебрах.

Примерами операторов, к которым может быть применена спектральная теорема являются самосопряжённые операторы или, более общо, — нормальные операторы в гильбертовых пространствах.

Спектральная теорема также даёт каноническое разложение объемлющего векторного пространства, называемое спектральным разложением или разложением по собственным значениям.

Конечномерный случай

Спектральная теорема для Эрмитовых матриц

Для любой эрмитовой матрицы $A$ на конечномерном векторном пространстве $V$ верно:

1. Все собственные значения матрицы $A$ вещественны;
2. Собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны;
3. Собственные вектора образуют ортогональный базис для всего пространства $V$.

Доказательство

Лемма 1: для любых векторов $\mathbf {y} \in V$ и $\mathbf {z} \in V$ верно:

$(A\mathbf {y} ,\mathbf {z} )=(\mathbf {y} ,A\mathbf {z} )$

Доказательство леммы 1:

По определению:

$A=A^{*}$

Следовательно:

$(A\mathbf {y} ,\mathbf {z} )=(Ay)^{*}z=y^{*}Az=(y,Az)$

Доказательство утверждения 1. Докажем, что все собственные значения матрицы $A$ вещественны.

Рассмотрим $\lambda$ - собственное значение матрицы $A$.

Тогда, по определению собственного значения, существует вектор $(\mathbf {x} \in V)\neq 0$, для которого $A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x}$.

Скалярно умножим обе части этого равенства на $\mathbf {x}$:

$(A\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=(\lambda \mathbf {x} ,\mathbf {x} )$

По определению скалярного произведения:

$(\lambda \mathbf {x} ,\mathbf {x} )={\overline {(\mathbf {x} ,\lambda \mathbf {x} )}}={\overline {\lambda }}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )\qquad (1)$

С другой стороны, применяя лемму 1 к $\mathbf {y} =\mathbf {z} =\mathbf {x}$, получаем:

$(A\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=(\mathbf {x} ,A\mathbf {x} )=(\mathbf {x} ,\lambda \mathbf {x} )=\lambda (\mathbf {x} ,\mathbf {x} )\qquad (2)$

Из равенств $(1)$ и $(2)$ следует:

${\overline {\lambda }}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=\lambda (\mathbf {x} ,\mathbf {x} )$

Поскольку для любого $(\mathbf {x} \in V)\neq 0$ верно $(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )\neq 0$, то:

${\overline {\lambda }}=\lambda$

что означает $\lambda \in \mathbb {R}$.

Доказательство утверждения 2. Докажем, что собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Рассмотрим два различных собственных значения $\lambda \neq \mu$. Тогда:

$A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x} ,\quad A\mathbf {y} =\mu \mathbf {y}$

где $\mathbf {x}$ и $\mathbf {y}$ - собственные вектора.

Умножим первое равенство на $\mathbf {y}$, а также применим лемму 1 и доказанный выше факт, что собственные значения вещественны, $\lambda \in \mathbb {R}$. В результате получим:

$\lambda (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(\lambda \mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(A\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(\mathbf {x} ,A\mathbf {y} )=(\mathbf {x} ,\mu \mathbf {y} )=\mu (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )$

Исходя из $\lambda \neq \mu$ получаем, что $(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0$, то есть иными словами - вектора $\mathbf {x}$ и $\mathbf {y}$ ортогональны.

Доказательство утверждения 3. Докажем что собственные вектора образуют базис для всего пространства $V$

Пусть $\lambda _{1}$, собственное значение матрицы $A$, и соответствующий ему собственный вектор $\mathbf {x_{1}}$.

Рассмотрим $V_{1}$ - множество всех векторов из $V$, ортогональных $\mathbf {x_{1}}$.

Поскольку для любого $\mathbf {x} \in V_{1}$ верно что $(\mathbf {x_{1}} ,\mathbf {x} )=0$, то согласно лемме 1:

$(\mathbf {x_{1}} ,A\mathbf {x} )=(A\mathbf {x_{1}} ,\mathbf {x} )=\lambda _{1}(\mathbf {x_{1}} ,\mathbf {x} )=0$

Следовательно, $\mathbf {Ax} \in V_{1}$.

Линейный оператор $L(\mathbf {x} )=Ax$, будучи ограниченным множеством $V_{1}$, также является эрмитовым, имеет собственное значение $\lambda _{2}$ и соответствующий собственный вектор $\mathbf {x_{2}}$.

По определению $\mathbf {x} _{2}$ ортогонален $\mathbf {x} _{1}$.

Рассмотрим множество $V_{2}$ - множество векторов, ортогональных одновременно $\mathbf {x} _{1}$ и $\mathbf {x} _{2}$. Аналогичным образом линейный оператор $L(\mathbf {x} )=Ax$ отображает $V_{2}$ на себя.

Продолжая подобным образом мы можем найти последовательность $\lambda _{k}$, $\mathbf {x} _{k}$, а также подпространства $V_{k}$, содержащие $\mathbf {x} _{k}$ и при этом ортогональные векторам $\mathbf {x} _{1},...,\mathbf {x} _{k-1}$. Последовательность завершится на шаге $n$, поскольку $\dim V_{k}=n-k$.

Таким образом собственные вектора $\mathbf {x} _{1},...,\mathbf {x} _{n}$ образуют ортогональный базис для всего пространства $V$

■

Спектральная теорема для унитарных матриц

Для любой унитарной матрицы $U$ на конечномерном векторном пространстве $V$ верно:

1. Все собственные значения матрицы $A$ имеют абсолютные величины, равные $1$;
2. Собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны;
3. Собственные вектора образуют ортогональный базис для всего пространства $V$.

Доказательство

Лемма 2: Для унитарной матрицы $U$ верно:

$(U\mathbf {x} ,U\mathbf {y} )=(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )$

где $\mathbf {x}$ и $\mathbf {y}$ - произвольные вектора из $V$

Доказательство леммы 2:

$(U\mathbf {x} ,U\mathbf {y} )=(U\mathbf {x} )^{*}U\mathbf {y} =x^{*}U^{*}Uy=x^{*}y=(x,y)$

Доказательство утверждения 1: Все собственные значения матрицы $A$ имеют абсолютные величины, равные $1$.

Рассмотрим $\lambda$ - собственное значение матрицы $A$.

Тогда, по определению собственного значения, существует вектор $(\mathbf {x} \in V)\neq 0$, для которого:

$A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x}$.

Применяя лемму 2 получаем:

$(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=(A\mathbf {x} ,A\mathbf {x} )={\overline {\lambda }}\lambda (\mathbf {x} ,\mathbf {x} )$

Поскольку $\mathbf {x} \neq 0$, то $(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )\neq 0$, а следовательно:

${\overline {\lambda }}\lambda =|\lambda |^{2}=1$

Доказательство утверждения 2: Собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Рассмотрим два различных собственных значения $\lambda \neq \mu$. Тогда:

$A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x} ,\quad A\mathbf {y} =\mu \mathbf {y}$

где $\mathbf {x}$ и $\mathbf {y}$ - собственные вектора.

Перемножим эти два уравнения:

$(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(A\mathbf {x} ,A\mathbf {y} )={\overline {\lambda }}\mu (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )$

Как было показано выше, $|\lambda |=1$. Следовательно ${\overline {\lambda }}=\lambda ^{-1}$, откуда:

$(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mu \lambda ^{-1}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )$

Поскольку выше было сделано предположение, что $\lambda \neq \mu$, то получаем:

$(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0$

То есть вектора $\mathbf {x}$ и $\mathbf {y}$ ортогональны.

Доказательство утверждения 3: Собственные вектора образуют ортогональный базис для всего пространства $V$.

Пусть $\lambda _{1}$, собственное значение матрицы $A$, и соответствующий ему собственный вектор $\mathbf {x_{1}}$.

Рассмотрим $V_{1}$ - множество всех векторов из $V$, ортогональных $\mathbf {x_{1}}$.

Докажем, что для любого вектора $\mathbf {x} \in V_{1}$ верно $A\mathbf {x} \in V_{1}$.

Из леммы 2 следует, что $A^{*}=A^{-1}$. Используя этот факт, получаем:

$(A\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{1})=(x,A^{*}\mathbf {x} _{1})=(x,A^{-1}\mathbf {x} _{1})=\lambda ^{-1}(\mathbf {x_{1}} ,\mathbf {x} )=0$

Таким образом $V_{1}$ является собственным подпространством размерности $\dim V-1$ пространства $V$.

Поскольку линейный оператор $L(\mathbf {x} )=Ax$, будучи ограниченным множеством $V_{1}$, также является эрмитовым, имеет собственное значение $\lambda _{2}$ и соответствующий собственный вектор $\mathbf {x_{2}}$.

Продолжая подобным образом мы можем найти последовательность $\lambda _{k}$, $\mathbf {x} _{k}$, а также подпространства $V_{k}$, содержащие $\mathbf {x} _{k}$ и при этом ортогональные векторам $\mathbf {x} _{1},...,\mathbf {x} _{k-1}$. Последовательность завершится на шаге $n$, поскольку $\dim V_{k}=n-k$.

Таким образом собственные вектора $\mathbf {x} _{1},...,\mathbf {x} _{n}$ образуют ортогональный базис для всего пространства $V$

■

Нормальные матрицы

Спектральная теорема может быть распространена на несколько более широкий класс матриц. Пусть $A$ является оператором на конечномерном пространстве со скалярным произведением. $A$ называют нормальным, если $AA^{*}=A^{*}A$. Можно доказать, что $A$ является нормальным тогда и только тогда, когда он является унитарно диагонализируемым. В самом деле, в соответствии с разложением Шура мы имеем $A=UTU^{*}$, где $U$ является унитарным оператором, а $T$ — верхнетреугольным. Поскольку $A$ является нормальным, то $TT^{*}=T^{*}T$. Следовательно, $T$ является диагональным. Обратное не менее очевидно.

Другими словами, $A$ является нормальным тогда и только тогда, когда существует унитарная матрица $U$ такая, что $A=U\Lambda U^{*}$, где $\Lambda$ является диагональной матрицей. При этом диагональные элементы матрицы Λ являются собственными значениями $A,$ а векторы-столбцы матрицы $U$ являются собственными векторами $A$ (они, конечно, имеют единичную длину и попарно ортогональны). В отличие от эрмитова случая элементы матрицы $\Lambda$ не обязательно вещественны.

Спектральная теорема для компактных самосопряжённых операторов

В бесконечномерных гильбертовых пространствах утверждение спектральной теоремы для компактных самосопряжённых операторов выглядит в сущности также как в конечномерном случае.

Теорема Пусть $A$ является компактным самосопряжённым оператором в гильбертовом пространстве $V$. Существует ортонормированный базис пространства $V$, состоящий из собственных векторов оператора $A$. При этом все собственные значения вещественны.

Так же как и в случае эрмитовых матриц ключевым моментом является доказательство существования хоть одного собственного вектора. В бесконечномерном случае невозможно использовать определители для доказательства существования собственных векторов, но можно использовать соображения максимизации, аналогичные вариационной характеризации собственных значений. Приведённая выше спектральная теорема справедлива как для вещественных, так и для комплексных гильбертовых пространств.

Без предположения о компактности становится неверным утверждение о том, что всякий самосопряжённый оператор имеет собственный вектор.

Спектральная теорема для ограниченных самосопряжённых операторов

Следующее обобщение, которое мы рассмотрим, касается ограниченных самосопряжённых операторов в гильбертовых пространствах. Такие операторы могут не иметь собственных значений (например, таков оператор $A$ умножения на независимую переменную в пространстве $L^{2}[0,1]$, то есть $\left[A\phi \right](t)=t\phi (t)$.

Теорема Пусть $A$ является ограниченным самосопряжённым оператором в гильбертовом пространстве $H$. Тогда существует пространство с мерой $\left(X,\Sigma ,\mu \right)$, вещественнозначная измеримая функция $f$ на $X$ и унитарный оператор $U:H\rightarrow L_{\mu }^{2}(X)$ такие, что $U^{*}TU=A$, где $T$ является оператором умножения, то есть $\left[T\phi \right](x)=f(x)\phi (x)$.

С этой теоремы начинается обширная область исследований по функциональному анализу, называемая теорией операторов.

Аналогичная спектральная теорема справедлива для ограниченных нормальных операторов в гильбертовых пространствах. Единственная разница состоит в том, что теперь $f$ может быть комплекснозначной.

Альтернативная формулировка спектральной теоремы позволяет записать оператор $A$ как интеграл, взятый по спектру оператора, от координатной функции по проекционной мере. В случае когда рассматриваемый нормальный оператор является компактным, эта версия спектральной теоремы сводится к приведённой выше конечномерной спектральной теореме (с той оговоркой, что теперь линейная комбинация может содержать бесконечно много проекторов).

Спектральная теорема для общих самосопряжённых операторов

Многие важные линейные операторы, возникающие в математическом анализе, не являются ограниченными. Например, таковы дифференциальные операторы. Имеется спектральная теорема для самосопряжённых операторов, которая работает для неограниченных операторов. Например, любой дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами унитарно эквивалентен оператору умножения (соответствующим унитарным оператором является преобразование Фурье, а соответствующий оператор умножения называют мультипликатором Фурье).

Литература

• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, Springer Verlag, 1997
• А. А. Кириллов, А. Д. Гвишиани, Теоремы и задачи функционального анализа, М.: Наука, 1979
• Paul Halmos, «What Does the Spectral Theorem Say?», American Mathematical Monthly, 70, no. 3 (1963), 241—247