Проце́сс с незави́симыми прираще́ниями в теории случайных процессов — это обобщение понятия суммы независимых случайных величин.
Случайный процесс
{
X
t
}
t
∈
T
{\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T}}
, где
T
⊂
[
0
,
∞
)
{\displaystyle T\subset [0, \infty )}
называется процессом с независимыми приращениями, если для любых
t
0
,
t
1
,
…
,
t
n
∈
T
{\displaystyle t_{0},t_{1},\ldots ,t_{n}\in T}
таких, что
0
=
t
0
<
t
1
<
⋯
<
t
n
−
1
<
t
n
{\displaystyle 0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n-1}<t_{n}}
,
случайные величины :
X
t
0
,
X
t
1
−
X
t
0
,
…
,
X
t
n
−
X
t
n
−
1
{\displaystyle X_{t_{0}},X_{t_{1}}-X_{t_{0}},\ldots ,X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}}}
независимы .
Пусть
T
=
N
∪
{
0
}
{\displaystyle T=\mathbb {N} \cup \{0\}}
. Положим
Y
n
=
X
n
−
X
n
−
1
,
n
∈
N
{\displaystyle Y_{n}=X_{n}-X_{n-1},\;n\in \mathbb {N} }
. Тогда
X
n
=
∑
i
=
1
n
Y
i
{\displaystyle X_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}Y_{i}}
,
и
{
Y
n
}
n
≥
1
{\displaystyle \{Y_{n}\}_{n\geq 1}}
— независимые случайные величины.
Пусть
{
X
t
}
t
∈
T
{\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T}}
— случайный процесс, а
ϕ
X
t
−
X
r
{\displaystyle \phi _{X_{t}-X_{r}}}
— характеристическая функция случайной величины
X
t
−
X
r
{\displaystyle X_{t}-X_{r}}
, где
t
>
r
{\displaystyle t>r}
. Тогда
{
X
t
}
{\displaystyle \{X_{t}\}}
— процесс с независимыми приращениями тогда и только тогда, когда для любых
0
≤
r
<
s
<
t
<
∞
{\displaystyle 0\leq r<s<t<\infty }
и
u
∈
R
{\displaystyle u\in \mathbb {R} }
выполняется равенство:
ϕ
X
t
−
X
r
(
u
)
=
ϕ
X
s
−
X
r
(
u
)
⋅
ϕ
X
t
−
X
s
(
u
)
{\displaystyle \phi _{X_{t}-X_{r}}(u)=\phi _{X_{s}-X_{r}}(u)\cdot \phi _{X_{t}-X_{s}}(u)}
.
Любой процесс с независимыми приращениями является марковским . Обратное, вообще говоря, неверно.
Ссылки на внешние ресурсы
В библиографических каталогах