Простая функция

Проста́я фу́нкция — измеримая функция, принимающая конечное число значений.

Определение

Функция $f$ определённая на измеримом пространстве $(X,{\mathcal {F}})$ называется простой, если существует разбиение $X$ на конечное число не пересекающихся измеримых множеств $A_{1},\dots ,A_{n}$ и набор чисел $a_{1},\dots ,a_{n}$ (обычно вещественных или комплексных) таких что $f(x)=a_{i}$ для любого $x\in A_{i}$.

Замечания

• Если $(X,{\mathcal {F}})\equiv (\Omega ,{\mathcal {F}})$ — вероятностное пространство, то простая функция называется просто́й случа́йной величино́й.
• Если $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ — пространство с мерой, $f:X\to \mathbb {R}$ простая, причём

$f(x)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\mathbf {1} }_{A_{i}}(x),x\in X$ и $\mu (A_{i})<\infty ,\forall i=1,\ldots ,n$,

то $f$ интегрируема по Лебегу, и

$\int \limits _{X}f\,d\mu =\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}\,\mu (A_{i})$.

Пример

Пусть $(X,{\mathcal {F}},\mu )=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),m)$, где ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ — борелевская сигма-алгебра на $\mathbb {R}$, а $m$ — мера Лебега. Тогда функция

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&0<x<2\\0,&x=0\\-1,&-2<x<0\end{matrix}}\right.,x\in \mathbb {R}$

простая, ибо измерима и принимает три разных значения.

Литература

• Рудин, У. Основы математического анализа = Principles of mathematical analysis / Перевод с англ. В. П. Хавина. — М.: Мир, 1966. — 319 с.