Проблема 196

Проблема числа 196 — условное название нерешённой математической задачи: неизвестно, приведёт ли операция «перевернуть и сложить», применённая к числу 196 какое-то количество раз, к палиндрому.

Число Лишрел (англ. Lychrel number) — это натуральное число, которое не может стать палиндромом с помощью итеративного процесса «перевернуть и сложить» в десятичной системе счисления. Этот процесс называется 196-алгоритмом. Название «Lychrel», придуманное Уэйдом ВанЛэндингемом (англ. Wade VanLandingham), — неточная анаграмма имени его подруги, Шерил (англ. Cheryl). Строго доказанных чисел Лишрел не существует (для десятичной системы счисления; для некоторых других систем счисления доказанные числа Лишрел существуют), но многие числа предполагаются таковыми, причём наименьшее из них — число 196.

Перевернуть и сложить

Операция «Перевернуть и сложить» (англ. Reverse-and-add) заключается в том, чтобы сложить исходное число с его «перевёрнутой» копией, то есть числом, цифры которого записаны в обратном порядке. Например, 56 65 = 121, 521 125 = 646.

Эта операция может быть применена к любому натуральному числу. Если в результате применения этой операции N раз к некоторому числу будет получен палиндром, то такое число называют «отложенным палиндромом», разрешающимся за N итераций. В отличие от отложенных палиндромов, для чисел Лишрел эта операция не приводит к получению палиндрома, сколько бы раз мы её не выполняли.

Некоторые числа (в частности, все однозначные и почти все двузначные числа) становятся палиндромами достаточно быстро — после применения всего нескольких операций. Так, около 80 % всех чисел, меньших 10 000, разрешаются в палиндром за 4 или меньше итерации. Около 91 % — за 7 и меньше итераций. И только два числа — 89 и 98 — требуют необычно много: 24 операции.

Вот несколько примеров отложенных палиндромов:

• 56 становится палиндромом после одной итерации: 56 65 = 121.
• 57 становится палиндромом после двух итераций: 57 75 = 132, 132 231 = 363.
• 59 становится палиндромом после трёх итераций: 59 95 = 154, 154 451 = 605, 605 506 = 1111.
• 89 требует необычно много — 24 итерации, прежде чем достичь палиндрома 8 813 200 023 188 (это наибольшее количество операций среди чисел до 10 000, о которых на текущий момент времени научному сообществу точно известно, что они разрешаются в палиндром).
• 10 911 достигает палиндрома 4 668 731 596 684 224 866 951 378 664 после 55 итераций.

Наименьшее число, начиная с 1, которое, видимо, не образует палиндром, — трёхзначное число 196. Это наименьшее известное потенциальное десятичное число Лишрел.

Наиболее отложенные палиндромы

Среди бесконечного количества отложенных палиндромов особенно интересны те числа, которые требуют наибольшего количества итераций для превращения в палиндром.

Так, 30 ноября 2005 года Джейсоном Дусеттом (англ. Jason Doucette) с помощью компьютера был найден отложенный палиндром 1 186 060 307 891 929 990, который после 261 итерации становится 119-значным палиндромом 44 562 665 878 976 437 622 437 848 976 653 870 388 884 783 662 598 425 855 963 436 955 852 489 526 638 748 888 307 835 667 984 873 422 673 467 987 856 626 544. Это число являлось мировым рекордом среди наиболее отложенных палиндромов на протяжении более чем 13 лет.

В мае 2017 года телеканал МИР24 сообщил, что московский школьник Андрей Щебетов обнаружил самый большой известный отложенный палиндром — число 1 999 291 987 030 606 810. Однако, ничего интересного в этом числе нет, так как оно получено простой перестановкой пар симметричных цифр из числа, обнаруженного Джейсоном Дусеттом. Наибольшим известным 19-значным числом, разрешающимся за 261 итерацию является число 1 999 999 936 042 548 910, а самое большое известное число состоит из 35 цифр.

26 апреля 2019 года Роб ван Нобелен (нидер. Rob van Nobelen) установил новый мировой рекорд среди наиболее отложенных палиндромов: 23-значное число 12 000 700 000 025 339 936 491, которое превращается в палиндром за 288 шагов.

5 января 2021 года Антон Стефанов опубликовал 23-значные числа 13 968 441 660 506 503 386 020 и 13 568 441 660 506 503 386 420, которые за 289 шагов превращаются в тот же палиндром, что и число, найденное Робом ван Нобеленом, установив новый рекорд. 14 октября 2021 года Дмитрий Маслов сообщил о том, что им было найдено меньшее 23-значное число, разрешающееся за 289 итераций: 10 036 069 400 174 999 499 950.

14 декабря 2021 года Дмитрий Маслов установил новый мировой рекорд среди наиболее отложенных палиндромов: 25-значное число 1 000 206 827 388 999 999 095 750, которое в результате 293 итераций становится 132-значным палиндромом. Это число является текущим мировым рекордом среди наиболее отложенных палиндромов.

Последовательность OEIS A326414 содержит 19 353 600 чисел, превращающихся в палиндром после 288 шагов.

Последовательность А281506 содержит список из 108 864 отложенных палиндромов, требующих 261 итерацию для превращения в палиндром. Она начинается с 1 186 060 307 891 929 990 и заканчивается 1 999 291 987 030 606 810.

Формульное объяснение

Допустим, что ${\mathcal {n}}$ — натуральное число. Определим функцию Лишрел для базовых чисел (см. связанные определения) ${\textstyle b>1\ F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$ следующим образом:

$F_{b}(n)=n\ \sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{k-i-1}$,

где $k=\lfloor \log _{b}n\rfloor 1$ это количество цифр в базовом числе $b$, а

$d_{i}={\frac {n{\bmod {b}}^{i 1}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}$

значение каждой цифры числа. Число является числом Лишрел, если не существует такого натурального числа $i$, что $F_{b}^{i 1}(n)=2F_{b}^{i}(n)$, где $F^{i}$ это $i$ итераций $F$.

Новая проблема

В других системах счисления для некоторых чисел может быть доказано, что они не образуют никогда палиндром после последовательных итераций, но не было обнаружено таких доказательств для 196 и других десятичных чисел.

Существует гипотеза, что 196 и другие числа, которые пока ещё не стали палиндромом, являются числами Лишрел, но ни для одного числа нет строгого доказательства, что они являются таковыми. Подобные числа неофициально называют «кандидаты в числа Лишрел». Первые несколько кандидатов в чисел Лишрел последовательность A023108 в OEIS:

196, 295, 394, 493, 592, 689, 691, 788, 790, 879, 887, 978, 986, 1495, 1497, 1585, 1587, 1675, 1677, 1765, 1767, 1855, 1857, 1945, 1947, 1997.

Выделенные жирным считаются базовыми числами Лишрел (см. ниже). Компьютерные программы Джейсона Дусетта, Яна Петерса и Бенджамина Деспреса нашли другие кандидаты Лишрел. Более того, Бенджамин Деспрес выявил все базовые числа Лишрел, состоящие из менее, чем 17 цифр. Сайт Уэйда ВанЛэндингема содержит списки базовых чисел Лишрел для каждой длины числа.

Метод полного перебора, первоначально разработанный Джоном Уокером, был усовершенствован, чтобы использовать поведение при итерациях. Например, существует программа, созданная Вон Сьют, и она сохраняет только первые и последние несколько цифр каждой итерации, позволяя тестировать цифровые закономерности на протяжении миллионов итераций без необходимости сохранения каждой итерации в файл. Но пока не было придумано алгоритма, который бы обходил итеративный процесс.

Связанные определения

Поток числа 196 и родственных с ним чисел

Термин нить или поток (англ. thread) придумал Джейсон Дусетт, обозначая так последовательность чисел, получаемых в результате итераций первоначального числа. Базовое число (англ. seed) и его связанные родственные (англ. kin) числа сходятся в одном потоке. Поток не включает исходное базовое число или его родственника, но только числа, которые являются общими для обоих, после того, как они сойдутся.

Базовые числа представляют собой подпоследовательность чисел Лишрел, то есть наименьшее число из каждого не производящего палиндром потока. Базовое число может быть само по себе палиндромом. Первые три примера выделены полужирным шрифтом в приведённом выше списке.

Родственные числа представляют собой подмножество чисел Лишрел, которые включают все числа потока, за исключением базового, или любое число, которое вольётся в данный поток после одной итерации. Этот термин был представлен Кодзи Ямаситой в 1997 году.

Эстафета числа 196

Поскольку число 196 является наименьшим кандидатом в числа Лишрел, оно получило наибольшее внимание.

Джон Уокер начал эстафету, посвящённую изучению потока «196», 12 августа 1987 года на рабочей станции Sun 3/260. Он написал программу на C, которая выполняет итерации «перевернуть и сложить» и проверяет на палиндром после каждого шага. Программа была запущена в фоновом режиме с низким приоритетом. Она сбрасывала итерационные результаты в файл каждые два часа и в момент закрытия системы, записывая достигнутые к тому времени число и номер итерации. Она перезапускалась сама автоматически из последней контрольной точки после каждого включения компьютера. Она работала в течение почти трёх лет, а затем остановилась (как было запрограммировано) 24 мая 1990 года с сообщением:

Достигнута точка остановки на проходе 2 415 836.

Число содержит 1 000 000 цифр.

Оригинальный текст (англ.)

Stop point reached on pass 2,415,836.
Number contains 1,000,000 digits.

196 увеличилось до числа в один миллион разрядов после 2 415 836 итераций без достижения палиндрома. Уокер опубликовал свои выводы в Интернете вместе с последней контрольной точкой, приглашая других возобновить поиски на основе последнего достигнутого числа.

В 1995 году Тим Ирвин использовал суперкомпьютер тех лет, достигнув отметки в два миллиона цифр всего за три месяца, опять не найдя палиндром. Джейсон Дусетт затем присоединился к этому количественному направлению и достиг 12,5 миллионов цифр в мае 2000 года. Уэйд ВанЛэндингем, используя программу Джейсона Дусетта, достиг 13 миллионов цифр, что было опубликовано в Yes Mag — канадском научном журнале для детей. С июня 2000 года Уэйд ВанЛэндингем продолжал нести флаг первенства, используя программы, написанные различными энтузиастами. К 1 мая 2006 года ВанЛэндингем достиг отметки 300 миллионов цифр (со скоростью одного миллиона цифр каждые 5-7 дней). Используя распределённые вычисления, в 2011 году Ромен Дольбо (фр. Romain Dolbeau) совершил миллиард итераций и получил число, состоящее из 413 930 770 цифр, в июле 2012 года его вычисления достигли числа с 600 млн цифр, а в феврале 2015 количество цифр перевалило за 1 миллиард, но палиндром так и не был обнаружен.

Другие кандидаты в числа Лишрел, которые подвергались такому же перебору, включают 879, 1997, 7059 и другие базовые числа: они были прослежены на протяжении миллионов и десятков миллионов итераций без обнаружения палиндрома.

Ссылки

• Джон Уокер (англ.) — три года вычислений.
• Тим Ирвин (англ.) — около двух месяцев вычислений.
• Джейсон Дусетт — Мировые рекорды (англ.) — «Эстафета числа 196», наиболее отложенные палиндромы.
• Бенджамин Деспрес (англ.).
• 196 и другие числа Лишрел. Сайт Wade VanLandingham (англ.).
• Weisstein, Eric W. 196-Algorithm (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Lychrel Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Palindromic Number Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Reverse-Then-Add Sequence (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• MathPages — цифра перенос суммы, приведшие к Palindromes
• Рассказы о математиках. Клара Зискин. Упоминание проблемы в русскоязычной литературе.
• Все известные отложенные палиндромы — Дмитрий Маслов, проект MDPN.
• Проверка отложенного палиндрома — Дмитрий Маслов, проект MDPN.