Первая аксиома счётности

Первая аксиома счётности ― понятие общей топологии. Топологическое пространство удовлетворяет первой аксиоме счётности, если система окрестностей всякой его точки обладает счётной базой.

Примеры

Первой аксиоме счётности удовлетворяют

• метрические пространства,
• пространство непрерывных функций на отрезке и др.
• всякое дискретное топологическое пространство

Первой аксиоме счётности не удовлетворяют

• Топология Зарисского на вещественной прямой,
• Пространство Аренса — Форта.

Свойства

• Пространства, удовлетворяющие второй аксиоме счётности, удовлетворяют и первой аксиоме счётности.
  • Обратное неверно, например, всякое несчётное пространство с дискретной топологией не удовлетворяет второй аксиоме счётности.
• В пространствах с первой аксиомой счётности справедливо утверждение: точка принадлежит замыканию некоторого множества тогда и только тогда, когда существует последовательность точек этого множества, сходящаяся к данной.
  • Понятие сходимости последовательности и соответствующего ее предела корректно определено только для пространств с первой аксиомой счётности, так как именно в таких пространствах если существует предел последовательности, то он единственный.

История

Класс пространств, удовлетворяющих первой аксиоме счётности, выделен Хаусдорфом в 1914 году.

См. также

• Вторая аксиома счётности