Отношение направленных отрезков

Отноше́ние напра́вленных отре́зков — инвариант аффинной геометрии. Используется в формулировках теоремы Менелая, теоремы Чевы, теоремы Ван-Обеля и других.

Определение

Отношение направленных отрезков определено для двух отрезков $XY$ и $ZT$ на одной прямой (или на параллельных прямых) и обозначается ${\frac {XY}{ZT}}$. С точностью до знака оно равно отношению длин ${\frac {|XY|}{|ZT|}}$, и величина ${\frac {XY}{ZT}}$ положительна, если ${\overrightarrow {XY}}$ и ${\overrightarrow {ZT}}$ сонаправлены, и отрицательна, если противонаправлены. Другими словами, величина ${\frac {XY}{ZT}}$ определяется как число, удовлетворяющее следующему соотношению:

${\overrightarrow {XY}}={\frac {XY}{ZT}}\cdot {\overrightarrow {ZT}}.$

Связанные определения

Если три точки $X,Y,Z$ лежат на одной прямой, то отношение направленных отрезков ${\frac {XY}{YZ}}$ называется также простым отношением точек $X,Y,Z$; оно положительно если $Y$ лежит между $X$ и $Z$ и отрицательно если $Y$ лежит вне отрезка $XZ$.

Свойства

• Отношение направленных отрезков является инвариантом аффинных преобразований.

См. также

• Двойное отношение
• Пропорциональные отрезки

Ссылки

• Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).