Окружности Вилларсо

Окружности Вилларсо на торе.

Анимация, показывающая разрезание тора бикасательной плоскостью и две получающиеся окружности Вилларсо

Окружности Вилларсо — пара окружностей, получаемых при сечении тора вращения «диагональной» касательной плоскостью, проходящей через центр тора. В силу симметрии тора эта плоскость касается поверхности тора дважды, то есть является бикасательной.

Названы в честь французского астронома и математика Ивона Вилларсо.

Семейства параллелей, меридианов и два семейства окружностей Вилларсо вкупе составляют четыре попарно трансверсальных семейства окружностей на торе.. Таким же свойством — иметь четыре попарно трансверсальных семейства окружностей — обладают циклиды Дюпена (конформные образы тора вращения).

Формулу для окружностей можно получить перемножением уравнений двух пересекающиеся окружности радиуса $r$ и $R$ ($r<R$):

$(x r)^{2} y^{2}-R^{2}=0$,

$(x-r)^{2} y^{2}-R^{2}=0$,

то есть в виде:

$(x^{2} y^{2})^{2}-2(R^{2} r^{2})x^{2}-2(R^{2}-r^{2})y^{2} (R^{2}-r^{2})^{2}=0$.

Это уравнение четвёртого порядка задаёт две пересекающиеся окружности и, очевидно, является формулой торического сечения. В точках пересечения окружностей пересекаются кривые, принадлежащие одновременно плоскости сечения и поверхности тора. Поэтому в этих точках секущая плоскость касается поверхности тора.

Литература

• Yvon Villarceau, Antoine Joseph François. Théorème sur le tore (фр.) // Nouvelles Annales de Mathématiques : magazine. — Paris: Gauthier-Villars, 1848. — Vol. 7 Série 1. — P. 345—347.
• Coxeter, H. S. M. Introduction to Geometry (англ.). — 2/e. — Wiley, 1969. — P. 132—133. — ISBN 978-0-471-50458-0.