Фредгольмов оператор

Фредгольмов оператор, или нётеров оператор, — это линейный оператор между векторными пространствами (обычно бесконечной размерности), у которого ядро и коядро конечномерны. Иначе говоря, пусть X, Y — векторные пространства. Оператор $T:X\to Y$ называют фредгольмовым, если

• $\mathrm {dim} \,\ker T<\infty$,
• $\mathrm {dim} \;\mathrm {coker} \,T<\infty$.

Оператор между конечномерными пространствами всегда фредгольмов.

Обычно понятие рассматривают для банаховых пространств и оператор предполагают ограниченным.

Следует также отметить, что в силу своего определения, фредгольмов оператор всегда нормально разрешим.

Индекс фредгольмова оператора

Для таких операторов имеет смысл понятие индекса оператора:

$\mathrm {ind} \,T=\mathrm {dim} \,\ker T-\mathrm {dim} \;\mathrm {coker} \,T$

Более того, для каждого конкретно заданного $n\in \mathbb {Z}$ существует фредгольмов оператор с индексом n.

Преобразования фредгольмовых операторов

• Сопряженный к фредгольмову оператору тоже фредгольмов: $T\in {\mathcal {N}}(X,\;Y)\Leftrightarrow T^{'}\in {\mathcal {N}}(Y^{'},\;X^{'})$. Более того, существует взаимооднозначная связь между индексами этих операторов: $\mathrm {ind} \,T^{'}=-\mathrm {ind} \,T$
• Композиция фредгольмовых операторов — фредгольмов оператор, а индекс его есть $\mathrm {ind} \,TS=\mathrm {ind} \,T \mathrm {ind} \,S$ (теорема Аткинсона)
• Компактное возмущение сохраняет фредгольмовость и индекс оператора: $T\in {\mathcal {N}}(X,\;Y),\;S\in {\mathcal {K}}(X,\;Y)\Rightarrow T S\in {\mathcal {N}}(X,\;Y),\;\mathrm {ind} \,(T S)=\mathrm {ind} \,T$
• Фредгольмовость и индекс также сохраняются при достаточно малых ограниченных возмущениях, то есть $\forall T\in {\mathcal {N}}(X,\;Y)\;\exists \varepsilon :\,\forall S\in {\mathcal {B}}(X,\;Y),\|S\|\leqslant \varepsilon \Rightarrow T S\in {\mathcal {N}}(X,\;Y),\;\mathrm {ind} \,(T S)=\mathrm {ind} \,T$. Иначе говоря, множество ${\mathcal {N}}(X,\;Y)$ является открытым в множестве ${\mathcal {B}}(X,\;Y)$ ограниченных операторов.

Теорема Фредгольма

$K\in {\mathcal {K}}(X,\;X)\Rightarrow (\mathrm {I_{X}} -K)$ — фредгольмов (здесь $\mathrm {I_{X}}$ — тождественный оператор на X).

Критерии фредгольмовости

• Критерий Нётера: T фредгольмов тогда и только тогда, когда T почти обратим, то есть он имеет почти обратный оператор.
• Критерий Никольского: T фредгольмов тогда и только тогда, когда T разложим в сумму S K, где S — обратим, а K — компактен. Или, что то же самое: ${\mathcal {N}}(X,\;Y)=\mathrm {Inv} (X,\;Y)\, \,{\mathcal {K}}(X,\;Y)$, где $\mathrm {Inv} (X,\;Y)$ — множество обратимых линейных операторов.

Литература

• Кутателадзе С. С. Основы функционального анализа. — 3-е изд. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. — 336 с. — ISBN 5-86134-074-9..