Начальный объект

Начальный объект (отталкивающий объект, инициальный объект) — объект $I$ категории ${\mathcal {C}}$ такой, что для любого объекта $X\in \mathrm {Ob} _{\mathcal {C}}$ существует единственный морфизм $I\to X$.

Двойственное понятие — терминальный объект (притягивающий объект): объект $T$ — терминальный, если для любого объекта $X\in \mathrm {Ob} _{\mathcal {C}}$ существует единственный морфизм $X\to T$.

Если объект одновременно начальный и терминальный, его называют нулевым объектом.

Пустое множество — это единственный начальный объект в категории множеств, одноэлементные множества (синглетоны) — терминальные объекты, нулевых объектов нет. В категории множеств с отмеченной точкой синглетоны являются нулевыми объектами, так же, как и в категории топологических пространств с отмеченной точкой.

Начальный и терминальный объекты существуют не в любой категории, но если они существуют, то определены однозначно: если $I_{1}$ и $I_{2}$ — начальные объекты, между ними существует изоморфизм, причём единственный.

Терминальные объекты являются пределами пустой диаграммы $\varnothing \to {\mathcal {C}}$, то есть пустыми произведениями. Аналогично, начальные объекты являются копределами и пустыми копроизведениями. Из этого следует, что функтор, сохраняющий пределы (копределы), сохраняет терминальные (начальные) объекты соответственно.

Примеры

В категории групп, так же, как и в категориях абелевых групп, модулей над кольцом и векторных пространств существует нулевой объект (в связи с чем и появился термин «нулевой объект»).

В категории колец кольцо целых чисел $\mathbb {Z}$ является начальным объектом, и нулевое кольцо с $0=1$ — терминальным объектом. В категории полей не существует начальных и терминальных элементов. Однако в полной подкатегории полей характеристики $p$ имеется начальный объект — поле из $p$ элементов.

В категории всех малых категорий (с функторами как морфизмами) начальный объект — пустая категория, а терминальный — категория $\mathbf {1}$ с единственным объектом и морфизмом.

Любое топологическое пространство $X$ можно рассматривать как категорию, объекты которой — открытые множества и между любыми двумя открытыми множествами, такими, что $U\subset V$, существует единственный морфизм. Пустое множество — начальный объект этой категории, $X$ — терминальный. Для такой категория топологического пространства $X$ и произвольной малой категории ${\mathcal {C}}$ все контравариантные функторы из $X$ в ${\mathcal {C}}$ с естественными преобразованиями образуют категорию, называемую категорией предпучков на $X$ с коэффициентами в ${\mathcal {C}}$. Если ${\mathcal {C}}$ имеет начальный объект $c$, то постоянный функтор, отображающий $X$ в $c$, является начальным объектом категории предпучков, двойственное утверждение также верно.

В категории схем спектр $\mathbf {Spec} (Z)$ — терминальный объект, и пустая схема — начальный объект.

Начальные и терминальные объекты также можно характеризовать при помощи универсальных стрелок и сопряжённых функторов. Для категории $\mathbf {1}$ из единственного объекта $\bullet$ и (единственного) функтора $U\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {1}$ начальный объект $I$ категории ${\mathcal {C}}$ — это универсальная стрелка из $\bullet$ в $U$. Функтор, отправляющий $\bullet$ в $I$ — левый сопряженный для $U$. Соответственно, терминальный объект $T$ категории ${\mathcal {C}}$ — универсальная стрелка из $U$ в $\bullet$, а функтор, отправляющий $\bullet$ в $I$ — правый сопряженный для $U$. Обратно, универсальная стрелка из $X$ в функтор $U$ может быть определена как начальный объект в категории запятой $(X\downarrow U)$. Двойственно, универсальный морфизм из $U$ в $X$ — терминальный объект в $(U\downarrow X)$.

Литература

• Маклейн С. Глава 1. Категории, функторы и естественные преобразования // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 17—42. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.