Умножение вектора на число

Обзорные статьи: Линейная операция и Вектор (геометрия)

Справа исходный вектор a умножен на положительное число 2, а слева — на отрицательное число –1

Умноже́ние ве́ктора на число́, или умноже́ние ве́ктора на скаля́р (англ. scalar multiplication of a vector) – операция, ставящая в соответствие вектору и числу — скаляру — другой коллинеарный вектор — произведение вектора на это число. При этом произведение вектора и числа в случае ненулевых вектора и числа — новый вектор, у которого:

• модуль равен произведению модуля исходного вектора на абсолютную величину числа;
• направление, совпадающее с направлением исходного вектора, если число положительно, и противоположное, если число отрицательно (см. рисунок справа).

Обозначение произведения вектора $\mathbf {a}$ и скаляра $\lambda$ следующее:

$\mathbf {a} \lambda$ или $\lambda \mathbf {a} .$

В итоге получаем:

$|\lambda \mathbf {a} |=|\mathbf {a} \lambda |=|\lambda ||\mathbf {a} |.$

Произведение вектора и числа равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю:

$\lambda \mathbf {0} =0\mathbf {a} =\mathbf {0} .$

Существуют два действия, обратных умножению вектора на число:

• деление вектора на число;
• деление вектора на вектор.

Определение

Умножение вектора на число – операция, ставящая в соответствие вектору и числу другой коллинеарный вектор — произведение вектора на это число.

Умножение вектора a на целое положительное число n

Умножение вектора a на целое отрицательное число –n

Вполне естественно, что умножение вектора $\mathbf {a}$ на целое положительное число $n$ — то же самое, что сложение вектора $\mathbf {a}$ с самим собою $n$ раз подряд (см. рисунок справа). В результате такой операции возникает новый вектор $n\mathbf {a}$ с тем же направлением, что и исходный вектор $\mathbf {a}$, но в $n$ раз большим модулем:

$n\mathbf {a} =\underbrace {\mathbf {a} \mathbf {a} \cdots \mathbf {a} } _{n~~{\text{слагаемых}}}.$

Тогда умножение вектора $\mathbf {a}$ на целое отрицательное число $-n$ — то же самое, что умножение противоположного вектора $-\mathbf {a}$ на абсолютную величину целого числа $|-n|=n$ (см. рисунок справа):

$(-n)\mathbf {a} =n(-\mathbf {a} ).$

Другими словами, в результате такой операции возникает новый вектор $-n\mathbf {a}$ с направлением, противоположным исходному вектору $\mathbf {a}$ и в $n$ раз большим модулем.

Обобщая эти частные определения, получаем, что произведение вектора и числа в случае ненулевых вектора и числа — новый вектор, у которого:

• модуль равен произведению модуля исходного вектора на абсолютную величину числа;
• направление, совпадающее с направлением исходного вектора, если число положительно, и противоположное, если число отрицательно.

Обозначения произведения вектора $\mathbf {a}$ и скаляра $\lambda$ прииняты такие:

$\mathbf {a} \lambda$ или $\lambda \mathbf {a} .$

Отсюда следует, что модуль произведения вектора и скаляра равен произведению их модулей:

$|\lambda \mathbf {a} |=|\mathbf {a} \lambda |=|\lambda ||\mathbf {a} |.$

По поводу нулевых значений верно, что произведение вектора и числа равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю:

$\lambda \mathbf {0} =0\mathbf {a} =\mathbf {0} .$

Законы умножения на скаляр

Три закона умножения вектора на скаляр те же самые, что и законы умножения чисел:

• переместительности (коммутативность):

$\lambda \mathbf {a} =\mathbf {a} \lambda$;

• сочетательности (ассоциативность):

$\lambda (\mu \mathbf {a} )=(\lambda \mu )\mathbf {a}$;

• распределительности (дистрибутивность):

$(\mathbf {a} \mathbf {b} )\lambda =\mathbf {a} \lambda \mathbf {b} \lambda$;

$(\lambda \mu )\mathbf {a} =\lambda \mathbf {a} \mu \mathbf {a}$.

Теорема 1. Закон переместительности. Произведение вектора на число не изменяется при перестановке сомножителей местами:

$\lambda \mathbf {a} =\mathbf {a} \lambda .$

Доказательство. По определению произведение вектора на число то же самое, что и произведение числа на вектор, обе эти операции тождественны.

Теорема 2. Закон сочетательности для числовых множителей. Последовательное произведение вектора на несколько чисел то же самое, что произведение этого вектора на произведение этих чисел:

$\lambda (\mu \mathbf {a} )=(\lambda \mu )\mathbf {a} .$

Доказательство

Оба вектора $\lambda (\mu \mathbf {a} )$ и $(\lambda \mu )\mathbf {a}$ обладают следующими двумя свойствами:

• имеют одинаковые направления:

• если числа $\lambda$ и $\mu$ одного знака, то оба вектора сонаправлены с вектором $\mathbf {a}$;
• если числа $\lambda$ и $\mu$ разных знаков, то оба вектора противоположно направлены вектору $\mathbf {a}$;

• имеют одинаковые модули:

$|\lambda (\mu \mathbf {a} )|=|\lambda ||\mu \mathbf {a} |=|\lambda ||\mu ||\mathbf {a} |;$

$|(\lambda \mu )\mathbf {a} |=|\lambda \mu ||\mathbf {a} |=|\lambda ||\mu ||\mathbf {a} |.$

Следовательно, векторы

$\lambda (\mu \mathbf {a} )$ и $(\lambda \mu )\mathbf {a}$

равны как имеющие одинаковые направления и модули.

Теорема 3. Закон двоякой распределительности. Почленно можно вычислять:

• произведение суммы векторов на число (закон распределительности числового сомножителя относительно суммы векторов):

$(\mathbf {a} \mathbf {b} )\lambda =\mathbf {a} \lambda \mathbf {b} \lambda$;

• произведение суммы чисел на вектор (закон распределительности векторного сомножителя относительно суммы чисел):

$(\lambda \mu )\mathbf {a} =\lambda \mathbf {a} \mu \mathbf {a}$.

Доказательство

Сумма векторов a и b, умноженных на число λ

1. Построим два треугольника (см.рисунок справа):

• треугольник $PQR$ со сторонами $\mathbf {a}$, $\mathbf {b}$ и $\mathbf {a} \mathbf {b}$;
• треугольник $P'Q'R'$ со сторонами $\lambda \mathbf {a}$$\lambda \mathbf {b}$ и $\lambda \mathbf {a} \lambda \mathbf {b}$.

Эти треугольники подобны, поскольку у этих треугольников стороны $PQ$, $QR$ и $P'Q'$, $Q'R'$:

• соответственно параллельны;
• соответственно пропорциональны:

${\frac {P'Q'}{PQ}}={\frac {Q'R'}{QR}}=\lambda$.

Следовательно, третьи стороны треугольников также параллельны и их отношение также равно $\lambda$, то есть первый закон распределительности доказан:

$\lambda \mathbf {a} \lambda \mathbf {b} =\lambda (\mathbf {a} \mathbf {b} )a$.

Рисунок справа сделан для положительного $\lambda$. При отрицательном $\lambda$ направления всех трёх сторон треугольника $P'Q'R'$ меняются на противоположные и доказательство остаётся справедливым.

2. Рассмотрим два случая, определяемые знаком суммы чисел $\lambda \mu$:

• $\lambda \mu >0$. Тогда векторы

$(\lambda \mu )\mathbf {a}$ и $\lambda \mathbf {a} \mu \mathbf {a}$

сонаправлены и их модули равны, поскольку

$|(\lambda \mu )\mathbf {a} |=|\lambda \mu ||\mathbf {a} |=\lambda |\mathbf {a} | \mu |\mathbf {a} |$,

$|\lambda \mathbf {a} \mu \mathbf {a} |=\lambda |\mathbf {a} | \mu |\mathbf {a} |$,

то есть в этом случае второй закон распределительности доказан:

$(\lambda \mu )\mathbf {a} =\lambda \mathbf {a} \mu \mathbf {a}$;

• $\lambda \mu <0$. Тогда $-\lambda -\mu >0$, и по доказанному в первом случае

$(-\lambda -\mu )\mathbf {a} =-\lambda \mathbf {a} (-\mu \mathbf {a} )$.

После умножения обеих частей последнего равенства на $-1$ получаем:

$(\lambda \mu )\mathbf {a} =\lambda \mathbf {a} \mu \mathbf {a}$,

то есть и во втором случае второй закон распределительности доказан.

Доказанная формула закона распределительности числового сомножителя относительно суммы векторов

$(\mathbf {a} \mathbf {b} )\lambda =\mathbf {a} \lambda \mathbf {b} \lambda$;

верна и для нескольких векторов:

$(\mathbf {a} _{1} \mathbf {a} _{2} \cdots \mathbf {a} _{n})\lambda =\mathbf {a} _{1}\lambda \mathbf {a} _{2}\lambda \cdots \mathbf {a} _{n}\lambda$.

Деление векторов

Деление вектора на число

Деление вектора на число (англ. scalar division of a vector) — первая операция, обратная умножению вектора на число, ставящая в соответствие вектору и числу другой коллинеарный вектор — частное вектора и этого число, другими словами, по произведению вектора на число и этому числу определяется вектор-сомножитель. При этом частное $\mathbf {a} :\lambda \equiv {\frac {\mathbf {a} }{\lambda }}$ — это второй вектор $\mathbf {b} ={\frac {\mathbf {a} }{\lambda }}$ такой, что $\lambda \mathbf {b} =\mathbf {a}$.

Частное вектора и числа определяется умножением вектора на обратное число:

${\frac {\mathbf {a} }{\lambda }}={\frac {1}{\lambda }}\mathbf {a}$.

Деление вектора на вектор

Рассмотрим другую взаимную связь коллинеарных векторов. Деление вектора на вектор (англ. vector division), причём второй вектор ненулевой, — вторая операция, обратная умножению вектора на число, ставящая в соответствие двум коллинеарным векторам, причём второй вектор ненулевой, число — частное, или отношение, двух коллинеарных векторов, другими словами, по произведению ненулевого вектора на число и второму коллинеарному вектору определяется число-сомножитель. При этом частное $\mathbf {a} :\mathbf {b} \equiv {\frac {\mathbf {a} }{\mathbf {b} }}$ — это число $\lambda ={\frac {\mathbf {a} }{\mathbf {b} }}$ такое, что $\lambda \mathbf {b} =\mathbf {a}$.

Частное, или отношение ${\frac {\mathbf {a} }{\mathbf {b} }}$ двух коллинеарных векторов $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$, причём второй вектор ненулевой, вычисляется следующим образом:

• $|\lambda |=\left|{\frac {\mathbf {a} }{\mathbf {b} }}\right|={\frac {|\mathbf {a} |}{|\mathbf {b} |}}$;
• $\lambda >0$, если векторы $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ сонаправлены, $\lambda <0$, если векторы $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ противоположно направлены, и $\lambda =0$, если $\mathbf {a} =\mathbf {0}$.

Частное равных векторов равно 1. Два вектора взаимно противоположны, если их частное равно –1, и их можно обозначить $\mathbf {a}$ и $-\mathbf {a}$. Частное нулевого вектора и любого другого ненулевого равно нулю. Частное любого вектора и нулевого не определено. Если ${\frac {\mathbf {a} }{\mathbf {c} }}={\frac {\mathbf {b} }{\mathbf {c} }}$, то $\mathbf {a} =\mathbf {b}$.

Для любых трёх векторов $\mathbf {a}$, $\mathbf {b}$ и $\mathbf {c}$, причём векторы $\mathbf {b}$ и $\mathbf {c}$ ненулевые, выполняется следующее равенство:

${\frac {\displaystyle {\frac {\mathbf {a} }{\mathbf {c} }}}{\displaystyle {\frac {\mathbf {b} }{\mathbf {c} }}}}={\frac {\mathbf {a} }{\mathbf {c} }}{\frac {\mathbf {c} }{\mathbf {b} }}={\frac {\mathbf {a} }{\mathbf {b} }}$.

Деление вектора на вектор используется при разложении вектора в одномерном случае.

Разложение вектора

Геометрическое вычитание векторов — операция, обратная геометрическому сложению векторов. Кроме неё, обратной операцией к сложению векторов является геометрическое разложение вектора, или просто разложение вектора — операция представления данного вектора в виде замыкающей нескольких векторов. Геометрически строится ломаная линия, которую замыкает данный вектор. Но так эту операцию определить нельзя, и чтобы её определить, нужно наложить на геометрические слагаемые определённые условия, которые рассматриваются в следующих трёх разделах.

Одномерный случай

Умножение вектора на положительные (синие) и отрицательные (красные) числа

Векторы Если векторы $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ связаны соотношением

$\mathbf {a} =\lambda \mathbf {b}$,

то они коллинеарны. Обратное утверждение также справедливо, как показывает следующая теорема.

Теорема 4. Разложение вектора по одному коллинеарному вектору. Любой вектор $\mathbf {a}$ можно единственным образом выразить через коллинеарный вектор $\mathbf {b}$ по следующей формуле:

$\mathbf {a} =\lambda \mathbf {b}$,

где $\lambda ={\frac {\mathbf {a} }{\mathbf {b} }}$ — число, которые вычисляется так, как показано в предыдущем разделе Деление векторов.

На рисунке справа:

• частное синих векторов и чёрного вектора равны 2 и 0,5;
• частные красных векторов и чёрного вектора равны –1 и –0,4.

Особенно важен частный случай равенства единице модуля одного из коллинеарных векторов, то есть когда этот вектор является единичным вектором, или ортом. Орт вектора $\mathbf {a}$ обозначают $\mathbf {a} ^{0}$ или $\mathbf {a} _{1}$.

Орт вектора $\mathbf {a} ^{0}={\frac {\mathbf {a} }{|\mathbf {a} |}}$ называется также направлением вектора.

Теорема 5. Любой вектор равен произведению его орта на его модуль, другими словами, умножение орта вектора на его модуль даёт сам вектор:

$\mathbf {a} =|\mathbf {a} |\mathbf {a} ^{0}$.

Эта формула замечательна тем, что в ней два элемента, которые характеризуют вектор, разделены:

• модуль вектора $|\mathbf {a} |$;
• направление вектора $\mathbf {a} ^{0}$.

Двумерный случай

Разложение вектора по двум векторам

Если два вектора $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ не коллинеарны, то третий вектор — сумма векторов

$\mathbf {c} =\lambda \mathbf {a} \mu \mathbf {b}$

будет всегда параллелен плоскости, которую определяют векторы $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$, то есть эти три вектора компланарны, так как геометрическая сумма векторов, лежащих в одной плоскости, лежит в той же плоскости. Обратное утверждение также справедливо, как показывает следующая теорема.

Теорема 6. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам, если все три вектора компланарны. Любой вектор $\mathbf {c}$ можно единственным образом выразить через неколлинеарные и ненулевые векторы $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$, которые компланарны исходному вектору $\mathbf {c}$, по следующей формуле:

$\mathbf {c} =\lambda \mathbf {a} \mu \mathbf {b}$.

Доказательство

Отложим все три компланарных вектора $\mathbf {a}$, $\mathbf {b}$ и $\mathbf {c}$ от одной и той же точки $O$ (см. рисунок справа вверху). Через конец $C$ вектора $\mathbf {c}$ проведём прямые $CE$ и $CD$, параллельные соответственно векторам $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$, то есть соответственно прямым $OA$ и $OB$. Тогда вектор $\mathbf {c}$ окажется геометрической суммой двух векторов $\lambda \mathbf {a}$ и $\mu \mathbf {b}$, коллинеарных соответственно векторам $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$. В итоге получим искомое разложение вектора $\mathbf {c}$ по векторам $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$.

Докажем от противного, что это разложение единственное. Пусть имеется два разных разложения

$\mathbf {c} =\lambda \mathbf {a} \mu \mathbf {b}$,

$\mathbf {c} =\lambda '\mathbf {a} \mu '\mathbf {b}$,

тогда после вычитания этих равенств получим:

$\mathbf {0} =(\lambda -\lambda ')\mathbf {a} (\mu -\mu ')\mathbf {b}$,

откуда

$\lambda -\lambda '=\mu -\mu '=0$,

то есть

$\lambda =\lambda ',\quad \mu =\mu '$,

а это противоречит тому, что два исходных разложения разные.

А если, например, $\lambda -\lambda '\neq 0$, то тогда из уравнения

$\mathbf {0} =(\lambda -\lambda ')\mathbf {a} (\mu -\mu ')\mathbf {b}$

следует равенство

$\mathbf {a} =-{\frac {\mu -\mu '}{\lambda -\lambda '}}\mathbf {b}$,

то есть либо векторы $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ коллинеарны, либо $\mathbf {a} =\mathbf {0}$, что противоречит условию.

Векторное уравнение прямой

Теорема 7. Уравнение прямой. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку $A$ с радиус-вектором $\mathbf {a} ={\overrightarrow {OA}}$ и параллельной заданному вектору $\mathbf {b} ={\overrightarrow {OB}}$, задаётся следующим радиус-вектором произвольной точки прямой $C$ (см. рисунок справа):

${\overrightarrow {OC}}=\mathbf {c} =\mathbf {a} \mu \mathbf {b}$.

Другими словами, радиус-вектор ${\overrightarrow {OC}}=\mathbf {c}$ произвольной точки $C$ заданной прямой (относительно произвольной фиксированной точки $O$) разлагается на сумму радиус-вектора $\mathbf {a} ={\overrightarrow {OA}}$ заданной точки $A$ прямой и направляющего вектора $\mathbf {b}$ прямой с числовым коэффициентом $\mu$ (см. рисунок справа).

Доказательство. Рассмотрим вектор ${\overrightarrow {AC}}$:

${\overrightarrow {AC}}=\mathbf {c} -\mathbf {a} =\mu \mathbf {b}$,

следовательно, вектор ${\overrightarrow {AC}}$ коллинеарен вектору $\mathbf {b}$, и точка $C$ всегда находится на прямой, параллельной вектору $\mathbf {b}$ и проходящей через точку $A$.

Трёхмерный случай

Теорема 8. Разложение вектора по трём некомпланарным векторам. Любой вектор $\mathbf {d}$ трёхмерного пространства можно единственным образом выразить через некомпланарные и ненулевые векторы $\mathbf {a}$, $\mathbf {b}$ и $\mathbf {c}$ по следующей формуле:

$\mathbf {d} =\lambda \mathbf {a} \mu \mathbf {b} \nu \mathbf {c}$.

Числовые коэффициенты $\lambda$, $\mu$ и $\nu$ называются координатами вектора $\mathbf {d}$ относительно векторов $\mathbf {a}$, $\mathbf {b}$ и $\mathbf {c}$.

Доказательство

Приведём два разных доказательства.

Разложение вектора по трём векторам

Первое доказательство. Используется правило параллелепипеда сложения векторов. Отложим все четыре $\mathbf {a}$, $\mathbf {b}$, $\mathbf {c}$ и $\mathbf {d}$ от одной и той же точки $O$ (см. рисунок справа). Через конец $D$ вектора $\mathbf {d}$ проведём три плоскости, которые параллельны граням трёхгранного угла, который образован тремя некомпланарными векторами $\mathbf {a}$, $\mathbf {b}$ и $\mathbf {c}$. Тогда вектор $\mathbf {d}$ окажется геометрической суммой трёх векторов $\lambda \mathbf {a}$, $\mu \mathbf {b}$ и $\nu \mathbf {c}$, коллинеарных соответственно векторам $\mathbf {a}$, $\mathbf {b}$ и $\mathbf {c}$. В итоге получим искомое разложение вектора $\mathbf {d}$ по векторам $\mathbf {a}$, $\mathbf {b}$ и $\mathbf {c}$.

Докажем от противного, что это разложение единственное. Пусть имеется два разных разложения

$\mathbf {d} =\lambda \mathbf {a} \mu \mathbf {b} \nu \mathbf {c}$.

$\mathbf {d} =\lambda '\mathbf {a} \mu '\mathbf {b} \nu '\mathbf {c}$.

тогда после вычитания этих равенств получим:

$\mathbf {0} =(\lambda -\lambda ')\mathbf {a} (\mu -\mu ')\mathbf {b} (\nu -\nu ')\mathbf {c}$,

откуда

$\lambda -\lambda '=\mu -\mu '=\nu -\nu '=0$,

то есть

$\lambda =\lambda ',\quad \mu =\mu ',\quad \nu =\nu '$,

а это противоречит тому, что два исходных разложения разные.

А если, например, $\lambda -\lambda '\neq 0$, то тогда из уравнения

$\mathbf {0} =(\lambda -\lambda ')\mathbf {a} (\mu -\mu ')\mathbf {b} (\nu -\nu ')\mathbf {c}$

следует равенство

$\mathbf {a} =-{\frac {\mu -\mu '}{\lambda -\lambda '}}\mathbf {b} -{\frac {\nu -\nu '}{\lambda -\lambda '}}\mathbf {c}$,

то есть либо векторы $\mathbf {a}$, $\mathbf {b}$ и $\mathbf {c}$ компланарны, либо $\mathbf {a} =\mathbf {0}$, что противоречит условию.

Разложение вектора по трём векторам

Второе доказательство. Используется правило многоугольника сложения векторов. Отложим все четыре $\mathbf {a}$, $\mathbf {b}$, $\mathbf {c}$ и $\mathbf {d}$ от одной и той же точки $O$ (см. рисунок справа). Через конец $R$ вектора $\mathbf {d}$ проведём прямую, которая параллельна вектору $\mathbf {c}$ и которая пересекается с плоскостью векторов $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ в точке $\mathbf {Q}$. Через точку $\mathbf {Q}$ проведём ещё одну прямую, которая параллельна вектору $\mathbf {b}$ и которая пересекается с прямой вектора $\mathbf {a}$ в точке $\mathbf {P}$. Получаем, что

$\mathbf {d} ={\overrightarrow {OP}} {\overrightarrow {PQ}} {\overrightarrow {QR}}$,

но векторы ${\overrightarrow {OP}}$, ${\overrightarrow {PQ}}$ и ${\overrightarrow {QR}}$ коллинеарны соответственно векторам $\mathbf {a}$, $\mathbf {b}$ и $\mathbf {c}$, следовательно,

${\overrightarrow {OP}}=\lambda \mathbf {a}$, ${\overrightarrow {PQ}}=\mu \mathbf {b}$ и ${\overrightarrow {QR}}=\nu \mathbf {c}$,

откуда

$\mathbf {d} =\lambda \mathbf {a} \mu \mathbf {b} \nu \mathbf {c}$,

что и требовалось получить.

Пусть имеется два разложения

$\mathbf {d} =\lambda \mathbf {a} \mu \mathbf {b} \nu \mathbf {c}$.

$\mathbf {d} =\lambda '\mathbf {a} \mu '\mathbf {b} \nu '\mathbf {c}$.

тогда после вычитания этих равенств получим:

$\mathbf {0} =(\lambda -\lambda ')\mathbf {a} (\mu -\mu ')\mathbf {b} (\nu -\nu ')\mathbf {c}$,

но поскольку векторы $\mathbf {a}$, $\mathbf {b}$ и $\mathbf {c}$ некомпланарны по условию, то

$\lambda -\lambda '=\mu -\mu '=\nu -\nu '=0$,

то есть

$\lambda =\lambda ',\quad \mu =\mu ',\quad \nu =\nu '$,

следовательно, оба разложения совпадают между собой.

Источники

• Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры с приложением собрания задач, снабжённых решениями, составленного А. С, Пархоменко. 2-е изд. М.: Наука, 1968. 912 с., ил.
• Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. Геометрия. 7—9 классы : учебник для общеобразовательных организаций. 2-е изд. М.: Просвещение, 2014. 383 с., ил.
• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. Изд-е 12-е, стереотип. М.: Наука, 1977. 871 с., ил.
• Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. Изд-е 9-е. М.: Наука, 1965. 427 с., ил.
• Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления. М.: Наука, 1975. 336 с., ил.
• Постников М. М. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1973. 751 с., ил.
• Пытьев Ю. П. Векторная алгебра // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 1 А—Г. М.: «Советская Энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 632—636.
• Пытьев Ю. П. Векторная алгебра // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 107—109.
• Умножение вектора на число // Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Математический словарь высшей школы: Общая часть / Под. ред. Ю. С. Богданова. Минск: Высшая школа, 1984. 527 с., ил. С. 462.