Конформно-евклидова модель

Замощение плоскости Лобачевского правильными треугольниками.

Конформно-евклидова модель или модель Пуанкаре́ — модель пространства Лобачевского.

Существуют разновидности модели — в круге (стереографическая проекция) и на полуплоскости для планиметрии Лобачевского, а также в шаре и в полупространстве — для стереометрии Лобачевского, соответственно.

Конформно-евклидова модель примечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами, то есть эта модель конформна в отличие от проективной модели, в которой определение углов производится гораздо сложнее.

История

Эта модель была предложена Эудженио Бельтрами, наряду с проективной моделью и моделью псевдосферы. Метрика в конформно-евклидовой модели приводится также в знаменитой лекции Римана «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», но связь с геометрией Лобачевского обнаружена именно Бельтрами. Впоследствии Анри Пуанкаре обнаружил связи этой модели с задачами теории функций комплексного переменного, что дало одно из первых серьёзных приложений геометрии Лобачевского.

Модели в круге и в шаре

Конформно-евклидова модель в круге.

За плоскость Лобачевского принимается внутренность круга (изображено на иллюстрации) в евклидовом пространстве; граница данного круга (окружность) называется «абсолютом». Роль геодезических прямых выполняют содержащиеся в этом круге дуги окружностей $(a,\;b,\;b')$, перпендикулярных абсолюту, и его диаметры; роль движений — преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми.

Метрикой $ds$ плоскости Лобачевского в Конформно-евклидовой модели в единичном круге является:

$ds^{2}={\frac {4}{(1-(x^{2} y^{2}))^{2}}}(dx^{2} dy^{2}),$

где $x$ и $y$ — оси абсцисс и ординат, соответственно.

Аналогично, для конформно-евклидовой модели в шаре роль абсолюта выполняет граничная сфера в трёхмерном евклидовом пространстве, а пространством Лобачевского является внутренность шара.

Расстояния

В комплексных координатах на единичном круге расстояния можно вычислить с помощью следующей формулы:

$\mathop {\rm {th}} [{\tfrac {1}{2}}\cdot d_{h}(z,w)]=\left|{\frac {z-w}{1-z\cdot {\bar {w}}}}\right|.$

Расстояние можно выразить через двойное отношение. Если на дуге $w_{1}$, $z_{1}$ точки расположены в следующем порядке: $w_{1}$, $w$, $z$, $z_{1}$ то расстояние между точками $w$ и $z$, в геометрии Лобачевского равняется

$d_{h}(z,w)=\ln \left({\frac {z-w_{1}}{z-z_{1}}}:{\frac {w-w_{1}}{w-z_{1}}}\right)$.

Модели на полуплоскости и в полупространстве

В модели полуплоскости Пуанкаре за плоскость Лобачевского принимается верхняя полуплоскость. Прямая, ограничивающая полуплоскость (то есть ось абсцисс), называется «абсолютом». Роль прямых выполняют содержащиеся в этой полуплоскости полуокружности с центрами на абсолюте и начинающиеся на абсолюте перпендикулярные ему лучи (то есть вертикальные лучи). Роль движений — преобразования, получаемые композицией конечного числа инверсий с центром на абсолюте и осевых симметрий, оси которых перпендикулярны абсолюту.

Метрика $ds$ плоскости Лобачевского в конформно-евклидовой модели в верхней полуплоскости имеет вид: $ds^{2}={\frac {1}{v^{2}}}(du^{2} dv^{2})$, где $u$ и $v$ — прямоугольные координаты, соответственно параллельно и перпендикулярно абсолюту.

Соответственно, в конформно-евклидовой модели в полупространстве роль абсолюта выполняет плоскость в трёхмерном евклидовом пространстве, а пространством Лобачевского является лежащее на этой плоскости полупространство.

См. также

• Теорема Пика — инвариантная форма леммы Шварца, использующая расстояния в конформно-евклидовой модели.

Литература

• Черников Н. А. Преобразование Боголюбова и планиметрия Лобачевского. Раздел 4, сравнение двух моделей Пуанкаре.  (недоступная ссылка с 18-05-2013 [4212 дней] — история)
• Самаров К., Уроев В. «Модель Пуанкаре». — Журнал «Квант». — 1984 год. — номер 6.