Матричная теорема о деревьях

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Матричная теорема о деревьях или теорема Кирхгофа — даёт выражение на число остовных деревьев графа через определитель определённой матрицы.

Доказана Густавом Кирхгофом в 1847 году; мотивировкой этой теоремы послужили расчёты электрических цепей.[1][нет в источнике]

Формулировка

[править | править код]

Пусть — связный помеченный граф с матрицей Кирхгофа . Все алгебраические дополнения матрицы Кирхгофа равны между собой и их общее значение равно количеству остовных деревьев графа .

граф 3 его остовных дерева

Для графа G с матрицей смежности   получаем: .

Алгебраическое дополнение, например, элемента M1, 2 есть , что совпадает с количеством остовых деревьев.

Из матричной теоремы выводится

Теорема обобщается на случай мультиграфов и взвешенных графов. Для взвешенного графа алгебраические дополнения элементов матрицы Кирхгофа равны сумме по всем остовным деревьям произведений весов всех их рёбер. Частный случай получается, если взять веса равными 1: сумма произведений весов остовов будет равна количеству остовов.

Примечания

[править | править код]
  1. Kirchhoff, Gustav. Ueber die Auflösung der Gleichungen, auf welche man bei der Untersuchung der linearen Vertheilung galvanischer Ströme geführt wird (нем.) // Annalen der Physik. — 1847. — Bd. 148, Nr. 12. — S. 497—508. Архивировано 17 мая 2017 года.

Литература

[править | править код]