Математика исламского Средневековья

Данная статья — часть обзора История математики и Наука в средневековом исламском мире.

Арабский халифат (750 г.)

Учёные исламского мира эпохи расцвета мусульманской цивилизации значительно способствовали развитию математики, обогащая её новыми открытиями и усовершенствованиями. Они не только собрали, перевели и сохранили работы своих предшественников, но и внесли собственные инновации. В области арифметики они усовершенствовали десятичную систему, включив в неё десятичные дроби и разработав эффективные процедуры для вычислений. Способствовали распространению десятичной системы счисления. Они первыми систематизировали алгебру, получившую от арабского языка современное название («аль-джабр» — восполнение), и составили её в организованной научной манере. Заложили основы алгебраической геометрии. Разработали численные методы для извлечения корней, суммирования рядов и решения уравнений. Расширили исследования в тригонометрии, выделив её в отдельную науку, отделив от астрономии. Достигли успехов в изучении плоских и сферических треугольников и определении тригонометрических функций. Исламские математики также внесли вклад в евклидову геометрию, теорию чисел и комбинаторику. Их работы использовались в европейских университетах в качестве учебных пособий вплоть до конца эпохи Возрождения.

Общая характеристика

Предыстория

См. также: Академия Гондишапура

Преследование греческих учёных-нехристиан а также «еретиков» (несториан, монофизитов) в Римской империи V—VI веков вызвало их массовое бегство в Персию, Индию и на Ближний Восток. При дворе Хосрова I они переводили античных классиков на сирийский язык, а два века спустя появились арабские переводы этих трудов. Так было положено начало ближневосточной математической школе. Большое влияние на неё оказала и индийская математика, также испытавшая древнегреческое влияние. Доступная нам история математики в странах Ближнего и Среднего Востока начинается в эпоху после мусульманских завоеваний (VII—VIII века).

Поворотный момент — появление алгебры

Работа Мухаммада аль-Хорезми, выполненная между 813 и 833 годами в Багдаде, стала поворотным моментом в развитии математики исламского Средневековья. В заглавии своей книги «Китаб аль-джабр ва аль-мукабала» он ввел термин «алгебра», обозначив её как отдельную дисциплину. Аль-Хорезми описывал свою работу как «короткое сочинение по вычислению с правилами завершения и приведения, ограниченное тем, что является самым простым и полезным в арифметике». Его труд был не только теоретическим трактатом, но и имел практическое применение, направленное на решение задач в таких областях, как торговля и земельные измерения. До XVI века переводы книг аль-Хорезми по арифметике использовались в европейских университетах как основные учебники по математике. Историк науки Соломон Гандз называет его «отцом алгебры» за то, что он «первым начал преподавать алгебру в элементарной форме и ради самой алгебры».

История развития научных центров

Арабский халифат

Аль-Хорезми также много лет возглавлял «Дом мудрости» в Багдаде, ставший с начала IX века научным центром халифата, в который халифами приглашались виднейшие учёные со всего исламского мира. Большинство багдадских учёных до XI века были выходцами из Средней Азии (Аль-Хорезми, Хаббаш аль-Хасиб, Аль-Фергани, Аль-Фараби) или сабиями — одной из защищённых по Корану религиозных групп (харранские сабии — потомки вавилонских жрецов-звездопоклонников, традиционно сведущие в астрономии и занимавшиеся астрологией). На западе халифата, в мусульманской испанской Кордове, сформировался другой научный центр, благодаря которому античные знания стали понемногу возвращаться в Европу.

В XIII веке после полного уничтожения Багдада монголами в ходе Жёлтого крестового похода (1256—1260), и захвата большей части Пиренейского полуострова испанцами в ходе Иберийских крестовых походов (1212—1266) мусульмане теряют оба своих крупнейших научных центра, что отождествляется некоторыми историками с концом Золотого века ислама. Монголами также была уничтожена столица восточного исламского мира, Мерв, в которой располагалось около десятка крупных библиотек, большое количество учебных заведений, и где жили и работали многие учёные.

В своей хронике XVI века об уничтожении Багдада ан-Нахравали писал, что в реку Евфрат было брошено так много книг, что они образовали мост, который мог поддержать человека верхом на лошади, а выжившие говорили, что река Тигр была чёрной от смытых с рукописей чернил и красной от крови учёных и философов.

Ирак 1258 года существенно отличался от современного. Система каналов поддерживалась больше тысячи лет. Багдад был блестящим интеллектуальным центром мира. <...> С разграбления Багдада угас интеллектуальный светоч ислама. Масштаб потерь был сравним с разрушением Афин Перикла и Аристотеля. Монголы разрушили мелиорационные каналы и покинули Ирак, который уже не восстановился.Стивен Датч

После монгольских завоеваний

Уничтожение Багдада году привело к утрате важных научных знаний, разрушению образовательных центров и ослаблению интеллектуальных связей, что нанесло серьёзный удар по развитию математики в исламском мире. А потеря мусульманами аль-Андалуса была фатальной для дальнейшего развития математики на западе. Вероятно, последним математиком с оригинальными работами там является Ибн аль-Банна (1256—1321).

В дальнейшем поддержка и финансирование науки монгольскими ханами и их преемниками были направлены на астрологию, однако косвенно благодаря этому своё развитие получили и сопутствующие ей астрономия и математика (десятичные дроби, тригонометрия, методы астрономических вычислений). Развитие научных центров теперь было связано с обсерваториями (Марагинская обсерватория, Обсерватория Улугбека, Константинопольская обсерватория Такиюддина), которые использовались для астрологических наблюдений.

После разрушения Багдада благодаря Насир ад-Дину ат-Туси (1201—1274), который смог вынести из города часть ценных рукописей, Мераге на период второй половины XIII века становится новым научным центром региона, но уже к следующему веку наука там приходит в упадок. Позднее в Центральной Азии на два века появляется ещё один научный и культурный центр — Самарканд, происходит Тимуридский Ренессанс, который заканчивается после убийства математика и султана Мавераннахра Улугбека (1394—1449). Его ученик Али Кушчи (1403—1474) прибывает в Османскую империю, в Стамбул, где научная деятельность продолжается ещё одно столетие и заканчивается во второй половине XVI века.

Своё влияние на упадок науки оказал конфликт с исламским духовенством, которое резко выступало против астрологии, неразрывно сопровождавшей поздние научные астрономические и математические исследования. Обсерватория Такиюддина была разрушена в 1580 году, чтобы предотвратить её дальнейшее использование в астрологических целях.

Языки науки

Арабский перевод «Начал» Евклида

Первая стадия развития математики в исламском мире состояла в переводе на арабский язык, изучении и комментировании трудов греческих и индийских авторов. Размах этой деятельности впечатляет — список арабских переводчиков и комментаторов одного только Евклида содержит более сотни имён. Техника перевода в «Доме мудрости», отмечают современные исследователи, была очень высокой. Важная часть работы по переводу состояла в обогащении арабского словаря и в разработке философских и других научных терминов, соответствовавших греческим понятиям.

Арабский язык долгое время оставался международным языком науки, опередив по масштабам любой другой язык предшествоваших эпох. С XIII века появляются научные труды и переводы на персидском языке.

Несколько закрепившихся в современной западной математике терминов — такие, как алгебра, алгоритм, цифра, английское zero и немецкое Ziffer — арабского происхождения.

Религиозная мотивация развития

Ряд интересных математических задач, стимулировавших развитие сферической геометрии и астрономии, поставила перед математикой и сама религия ислам. Это задача о расчёте лунного календаря, об определении точного времени для совершения намаза, а также об определении киблы — точного направления на Мекку.

Выдающиеся результаты

Среди наиболее выдающихся результатов математиков стран исламского мира можно отметить:

• Введение и первое применение десятичных дробей.
• Переход от раздельных древнегреческих понятий «числа» и «величины» к вещественным числам.
• Открытие общего вида бинома Ньютона для натурального показателя степени.
• Открытие треугольника Паскаля (за 600 лет до Паскаля), ранние работы по комбинаторике.
• Открытие связи пятого постулата Евклида со многими геометрическими теоремами.
• Разработка численных методов: извлечение корней, суммирование рядов, решение линейных, квадратных и кубических уравнений.
• Выделение алгебры в отдельную дисциплину. Методы для преобразования числовых и геометрических задач в уравнения в нормальной форме.
• Выделение тригонометрии в отдельную дисциплину, её систематизация и расширение — как плоской, так и сферической, составление точных таблиц.

Эволюция истории науки исламского мира

Евроцентризм XVIII—XIX веков

Хотя сочинения исламских математиков и их фундаментальные работы в области алгебры и алгебраической геометрии высоко ценились в эпоху Высокого и позднего Средневековья в Европе, к концу эпохи Возрождения отношение к ним изменилось. В Германии и Франции XVIII-XIX веков преобладал ориенталистский взгляд, согласно которому «Восток и Запад противопоставляются не как географические, а как исторические позитивности». «Рационализм» рассматривался как сущность Запада, тогда как движение «Призыв Востока», возникшее в XIX веке, интерпретировалось как противостоящее рационализму и возвращение к более «духовному и гармоничному» образу жизни. Таким образом, преобладающий ориентализм того периода был одной из основных причин, по которым вклад исламских математиков часто игнорировался, так как считалось, что люди за пределами Запада не обладают необходимой рациональностью и научным духом для значимых достижений в области математики и науки.

Западные историки XVIII и XIX века считали, что классическая наука и математика были уникальными явлениями Запада. Хотя некоторые математические достижения арабских ученых иногда признавались, их часто рассматривали как «внеисторические» или интегрированные только в той мере, в какой они способствовали науке, которая считалась по своей сути европейской. Эти достижения часто воспринимались как технические инновации в греческом наследии, а не как открытия совершенно новых ветвей математики. Впоследствии это привело к евроцентристскому взгляду среди большинства математиков и историков математики, проложившим прямую линию развития от греческой математики к современной западной математике, а достижения исламской математики остались без внимания и были частично забыты.

Критика в период исключения из истории

В философской работе француза Эрнеста Ренана арабская математика представляется лишь «отражением Греции, скомбинированным с персидскими и индийскими влияниями». По мнению Пьера Дюгема, «арабская наука лишь воспроизводила учения, полученные от греческой науки». Арабские математические труды также критикуются за недостаток строгости и чрезмерное внимание к практическим приложениям и расчетам, из-за чего западные историки утверждали, что арабские математики никогда не могли достичь уровня греческих. Как писал Поль Таннери, арабская математика «ни в коей мере не превзошла уровень, достигнутый Диофантом». Западные математики, по их мнению, пошли по совершенно иному пути как в методах, так и в конечных целях, и «отличительной чертой западной науки, начиная с её греческих истоков и до современного возрождения, является соответствие строгим стандартам». Поэтому, как считал Никола Бурбаки, отсутствие строгих доказательств в трудах арабских математиков оправдывает исключение арабского периода из истории алгебры.

Таким образом, история классической алгебры трактуется как достижение эпохи Возрождения, а происхождение алгебраической геометрии связывается с Декартом, в то время как вклад исламских математиков намеренно игнорируется. По словам Рошди Рашеда: «Чтобы оправдать исключение науки, написанной на арабском языке, из истории науки, упоминается её отсутствие строгости, расчётный характер и практическая направленность. Кроме того, строго зависимые от греческой науки и неспособные ввести экспериментальные нормы, ученые того времени были сведены к роли добросовестных хранителей эллинистического музея». Так, Бертран Рассел писал: «Мусульманская цивилизация в свои великие дни достигла замечательных результатов в области искусств и во многих областях техники, но обнаружила полную неспособность к самостоятельным умозрительным построениям в теоретических вопросах. Её значение, которое никоим образом нельзя недооценивать, заключается в роли передатчика».

Новые открытия и признание

Достижения исламских математиков были заново открыты западными историками математики только во второй половине XIX века: Жан-Этьен Монтюкла в своей всеобъемлющей «Истории математики» 1758 года ошибочно писал, что арабоязычные математики имели дело только с уравнениями второй степени. Однако в 1851 году Франц Вёпке в своей диссертации по алгебре Омара Хайяма упоминал, что Омар Хайям систематически рассматривал уравнения и третьей степени. Франц Вёпке опубликовал переводы ранее неизвестных математических рукописей, таких как «Алгебра» аль-Караджи. Вместе с Жан Жаком Седийо, Луи-Пьер-Эженом Седийо, а также Жозефом Туссеном Рено он считается основателем научно-исторических исследований исламской математики. Эйльхард Видеманн в своих многочисленных работах занимался историей арабоязычных наук, особенно астрономии и математики, на которой она основана.

В своем «Введении в историю науки» 1927 года Джордж Сартон окончательно преодолел европоцентристскую точку зрения и сформировал современное понимание важной роли арабоязычной науки в сохранении и независимом дальнейшем развитии древних знаний. Тем не менее, даже в 1993 году Виктор Кац писал: «Полную историю математики средневекового ислама пока невозможно написать, поскольку многие из этих арабских рукописей остаются неизученными». Однако современные историки математики, такие как Рошди Рашед, Джон Леннарт Берггрен и Ян Хогендейк, интенсивно занимаются математикой периода исламского расцвета, так что на сегодняшний день существует более полная и ясная картина научного прогресса той эпохи.

Числовая система

Эволюция арабских цифр

Основная статья: Развитие числовой системы в исламском мире

Числовая система в исламском мире прошла значительное развитие, начиная с использования буквенной абджадии и внедрения индийской позиционной системы в VIII веке. Математики исламского мира, такие как аль-Махани, переосмыслили древнегреческие представления о числах и величинах, введя различие между рациональными и иррациональными числами. Они также развили арифметический подход к работе с иррациональными величинами, что стало важным вкладом в математику.

Исламские учёные первыми внедрили десятичные дроби, а также внесли значительный вклад в развитие дробной арифметики. Такие математики, как аль-Уклидиси и аль-Каши, заложили основы десятичных дробей, а концепция нуля, заимствованная из индийской математики, стала ключевой частью числовой системы исламского мира. Эти достижения сыграли важную роль в дальнейшем развитии алгебры и других математических дисциплин.

Алгебра

Страница из книги аль-Хорезми «Краткая книга об исчислении аль-джабра и аль-мукабалы»

В начале IX века аль-Хорезми в своей работе «Краткая книга об исчислении путем восполнения и уравновешивания» предложил новаторский подход, не основывашийся на какой-либо предыдущей «арифметической» традиции, включая Диофанта. Он разработал новую терминологию для алгебры, отличая чисто алгебраические термины от тех, что используются в арифметике. Аль-Хорезми заметил, что представление чисел имеет важное значение в повседневной жизни, поэтому он стремился найти или обобщить способы упрощения математических операций, что впоследствии стало называться алгеброй. Его работа была сосредоточена на линейных и квадратных уравнениях — при этом игнорировались виды уравнений, где при положительных коэффициентах могли возникнуть отрицательные корни, в самих уравнениях отрицательные коэффициенты также не допускались — только в 1544 году они были учтены Михаэлем Штифелем, что позволило ещё больше обобщить и снизить количество типов уравнений. Также внимание уделялось элементарной арифметике двучленов и трёхчленов. Его подход, включающий решение уравнений с использованием радикалов и связанных с ними алгебраических вычислений, оказал влияние на математическое мышление на долгое время после его смерти.

Доказательство аль-Хорезми правила решения квадратных уравнений вида $ax^{2} bx=c$ стало выдающимся достижением в истории алгебры. Этот прорыв заложил основу для систематического подхода к решению квадратных уравнений, ставшего фундаментальным аспектом алгебры в её развитии в западном мире. Подход аль-Хорезми не только предоставил практическое решение для уравнений такого типа, но и, в отличие от Диофанта, ввёл абстрактный и обобщённый подход к математическим задачам. «Краткая книга об исчислении путем восполнения и уравновешивания» была переведена на латинский язык в XII веке. Этот перевод сыграл ключевую роль в передаче алгебраических знаний в Европу, значительно повлияв на математиков эпохи Возрождения и сформировав эволюцию современной математики. Само слово «алгебра» произошло от арабского «аль-джабр» при этом означало операцию переноса вычитаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, и его буквальный смысл — «восполнение».

Значительную роль в распространении арабоязычной математики на Запад сыграли практичность и универсальность методов аль-Хорезми. Они были разработаны для преобразования числовых и геометрических задач в уравнения в нормальной форме, что приводило к каноническим формулам решений. Его алгебра также больше не была связана «с рядом задач, которые нужно решить, но с изложением, которое начинается с примитивных терминов, комбинации которых должны дать все возможные виды уравнений, отныне явно становящихся истинным объектом исследования».

Возможно, одним из самых значительных достижений арабской математики, начавшимся в это время с работы аль-Хорезми, является зарождение алгебры. Важно понять, насколько значимой была эта новая идея. Это был революционный отход от греческой концепции математики, которая в основном была геометрией. Алгебра была объединяющей теорией, которая позволяла рассматривать рациональные числа, иррациональные числа, геометрические величины и т. д. как «алгебраические объекты». Она дала математике совершенно новый путь развития, значительно шире по концепции, чем существовавший ранее, и предоставила средство для будущего развития этой дисциплины. Ещё один важный аспект введения алгебраических идей заключался в том, что это позволило применять математику к самой себе таким образом, который ранее был невозможен.Дж. Дж. О'Коннор и Эдмунд Робертсон, Архив истории математики Мактьютор

В Египте Абу Камил (850—930) расширил алгебру на множество иррациональных чисел, принимая квадратные корни и корни четвёртой степени в качестве решений и коэффициентов уравнений. Он также разработал методы, используемые для решения системы из трёх нелинейных уравнений с тремя неизвестными. Одной из уникальных черт его работ была попытка найти все возможные решения некоторых из его задач, включая одну, в которой он нашёл 2676 решений. Его работы стали важным фундаментом для развития алгебры и оказали влияние на последующих математиков, таких как Фибоначчи.

Дальнейшие достижения в алгебре были сделаны аль-Караджи (953—1029) в его трактате аль-Фахри, где он расширяет методологию, включая целые степени и целые корни неизвестных величин. Прототип доказательства методом математической индукции появляется в книге, написанной аль-Караджи около 1000 года, который использовал его для доказательства суммы целых кубов. Историк математики Франц Вёпке высоко оценил Аль-Караджи как «первого, кто ввёл теорию алгебраического исчисления».

Ибн аль-Хайсам (965—1039) был первым математиком, который вывел формулу для суммы четвёртых степеней, используя метод, который можно легко обобщить для определения общей формулы для суммы любых целых степеней. Он проводил интегрирование, чтобы найти объём, и смог обобщить свой результат для интегралов многочленов до четвёртой степени. Таким образом, он подошёл к нахождению общей формулы для интегралов многочленов, но его не интересовали многочлены выше четвёртой степени.

Изначально в арабоязычных работах уравнения записывались словами в виде полных предложений. Это отличалось от работы Диофанта, в которой всё же использовались некоторые символьные обозначения. Переход к современному виду алгебры, в которой используются исключительно символы, можно увидеть позднее в работах Ибн аль-Банны (1256—1321) и аль-Каласади (1412—1486), а также их предшественников.

Работы исламских математиков по алгебре, заложили основу для достижений в различных областях математики, включая теорию чисел, вычислительную математику и диофантовы уравнения.

Математики исламского Средневековья

В средневековой исламской математике было сделано довольно много попыток доказать Пятый постулат Евклида. Чаще всего исследовалась фигура, позднее названная четырёхугольником Ламберта. Аль-Джаухари, Сабит ибн Курра, Омар Хайям и другие математики дали несколько ошибочных доказательств, явно или неявно используя один из многочисленных эквивалентов V постулата.

В развитии инфинитезимальных методов существенного продвижения не было. Ибн Курра вывел другим способом несколько результатов Архимеда, а также исследовал тела, полученные вращением сегмента параболы (купола). Ибн аль-Хайсам дополнил его результаты.

Одним из величайших учёных-энциклопедистов исламского мира был Аль-Бируни. Он родился в Кяте, столице Хорезма. В 1017 году афганский султан Махмуд захватил Хорезм и переселил аль-Бируни в свою столицу, Газни. Несколько лет аль-Бируни провёл в Индии. Главный труд аль-Бируни — «Канон Мас‘уда», включающий в себя множество научных достижений разных народов, в том числе целый курс тригонометрии (книга III). В дополнение к таблицам синусов Птолемея (приведенных в уточнённом виде, с шагом 15'), аль-Бируни даёт таблицы тангенса и котангенса (с шагом 1°), секанса и пр. Здесь же даются правила линейного и даже квадратичного интерполирования. Книга аль-Бируни содержит приближённое вычисление стороны правильного вписанного девятиугольника, хорды дуги в 1°, числа $\pi$ и др.

Прославленный поэт и математик Омар Хайям (XI—XII вв.) внёс вклад в математику своим сочинением «О доказательствах задач алгебры и аль-мукабалы», где изложил оригинальные методы решения кубических уравнений. До Хайяма был уже известен геометрический метод, восходящий к Менехму и развитый Архимедом: неизвестное строилось как точка пересечения двух подходящих конических сечений. Хайям привёл обоснование этого метода, классификацию типов уравнений, алгоритм выбора типа конического сечения, оценку числа положительных корней и их величины. Хайям, однако, не заметил возможности для кубического уравнения иметь три вещественных корня. До формул Кардано Хайяму дойти не удалось, но он высказал надежду, что явное решение будет найдено в будущем. В «Комментариях к трудностям во введениях книги Евклида» (ок. 1077), Хайям рассматривает иррациональные числа как вполне законные. В этой же книге Хайям пытается решить проблему пятого постулата, заменив его на более очевидный.

Насир ад-Дин ат-Туси, выдающийся персидский математик и астроном, наибольших успехов достиг в области сферической тригонометрии. В его «Трактате о полном четырёхстороннике» (1260) тригонометрия впервые была представлена как самостоятельная наука. Трактат содержит довольно полное и целостное построение всей тригонометрической системы, а также способы решения типичных задач, в том числе труднейших, решённых самим ат-Туси. Сочинение ат-Туси стало широко известно в Европе и существенно повлияло на развитие тригонометрии. Ему принадлежит также первое известное нам описание извлечения корня любой степени; оно опирается на правило разложения бинома.

Джамшид ибн Масуд аль-Каши, сотрудник школы Улугбека, написал сочинение «Ключ арифметики» (1427). Здесь вводится система десятичной арифметики, включающая учение о десятичных дробях, которыми ал-Каши постоянно пользовался. Он распространил геометрические методы Хайяма на решение уравнений 4-й степени. «Трактат об окружности» (1424) аль-Каши является блестящим образцом выполнения приближенных вычислений. Используя правильные вписанный и описанный многоугольники с числом сторон $3\cdot 2^{28}$ (для вычисления стороны проводятся последовательные извлечения квадратных корней), аль-Каши для числа $\pi$ получил значение 3,14159265358979325 (ошибочна только последняя, 17-я цифра мантиссы). В другой своей работе он сосчитал, что sin 1° = 0,017452406437283571 (все знаки верны — это примерно в два раза точнее, чем у аль-Бируни). Итерационные методы аль-Каши позволяли быстро численно решить многие кубические уравнения. Составленные аль-Каши самаркандские астрономические таблицы давали значения синусов от 0 до 45° через 1' с точностью до девяти десятичных знаков. В Европе такая точность была получена только полтора столетия спустя.

Среди наиболее поздних математиков можно отметить Такиюддина аш-Шами (1526—1585) из Османской империи, который усовершенствовал некоторые вычислительные методы и тригонометрические таблицы, активно используя десятичные дроби для повышения точности астрономических расчетов, и Мухаммада Бакира Язди (XVI век) из Сефевидского государства, который открыл пару дружественных чисел 9 363 584 и 9 437 056 за два века до Эйлера.

Галерея

• 
  Гравюра идеального компаса Абу Сахля аль-Кухи для рисования конического сечения.
• 
  Теорема ибн аль-Хайсама из «Книги оптики»
• 
  Первая страница рукописи из 2-х частей «Кубические уравнения и пересечение конических сечений» Омара Хайяма, хранящейся в Тегеранском университете

См. также

• Астрономия исламского Средневековья
• Золотой век ислама

Литература

• Ал~Каши. Ключ арифметики. Трактат об окружности. Перевод Б. А. Розенфельда. Редакция В. С. Сегаля и А. П. Юшкевича. Комментарии А. П. Юшкевича и Б. А. Розенфельда. М., 1956.
• Ал-Хорезми. Математические трактаты. Перевод Ю. X. Копелевич и Б. А. Розенфельда. Комментарии Б. А. Розенфельда. Ташкент, 1964.
• Бируни. Памятники минувших поколений. Избранные произведения, т. 1. Перевод примечания М. А. Салье. Ташкент, 1957.
• Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
• Депман И. Я. История арифметики. (1965)  (рус.). ilib.mccme.ru. Дата обращения: 12 января 2019.
• История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
• Ибн ал-Хайсам. Трактат об изопериметрических фигурах. Перевод и примечания Дж. ад-Даббаха. // Историко-математические исследования, 1966, т. XVII, 399—448.
• Ибн Корра. Книга о том, что две линии, проведенные под углом, меньшим двух прямых, встречаются. Перевод и примечания Б. А. Розенфельда. // Историко-математические исследования, 1963, т. XV. 363—380.
• Матвиевская Г. П., Розенфельд Б. А. Математики и астрономы мусульманского средневековья и их труды (VIII—XVII вв.). Вступительная статья Г. П. Матвиевской, Б. А. Розенфельда и А. П. Юшкевича, М.: Наука, 1983.  (рус.) naturalhistory.narod.ru. Дата обращения: 12 января 2019.
• Рыбников К. А. История математики. М., 1994.
• Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия / Под ред. А. П. Юшкевича. М., 1976.
• Туси Насирэддин. Трактат о полном четырёхстороннике. Перевод под редакцией Г. Д. Мамедбейли и Б. А. Розенфельда. Баку, 1952.
• Хаййам. Трактаты. Перевод Б. А Розенфельда. Редакция В. С. Сегаля п А. П. Юшкевича. М., 1962.
• Hogendijk, Jan P. Bibliography of Mathematics in Medieval Islamic Civilization  (неопр.). web.archive.org. Дата обращения: 12 января 2019..
• Katz, Victor J. A History of Mathematics: An Introduction. — HarperCollins college publishers, 1993. — ISBN 0-673-38039-4.
• Katz, Victor J. (1995). "Идеи исчисления в исламе и Индии". Mathematics Magazine. 68 (3): 163—74. doi:10.2307/2691411. JSTOR 2691411.
• Matvievskaya, Galina. The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics (англ.) // Annals of the New York Academy of Sciences : journal. — 1987. — Vol. 500. — doi:10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x.

Ссылки

• Математика // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.