Линейная рекуррентная последовательность

Линейная рекуррентная последовательность (линейная рекуррента, возвратная последовательность) — числовая последовательность $x_{0},x_{1},\dots$, задаваемая линейным рекуррентным соотношением:

$x_{n}=a_{1}\cdot x_{n-1} \dots a_{d}\cdot x_{n-d}$ для всех $n\geqslant d$

с заданными начальными членами $x_{0},\dots ,x_{d-1}$, где $d$ — фиксированное натуральное число, $a_{1},\dots ,a_{d}$ — заданные числовые коэффициенты, $a_{d}\neq 0$. При этом число $d$ называется порядком последовательности.

Теория линейных рекуррентных последовательностей является точным аналогом теории линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Частными случаями линейных рекуррентных последовательностей являются последовательности Люка $x_{n}=P\cdot x_{n-1}-Q\cdot x_{n-2}$, в частности арифметические прогрессии ($(P,Q)=(2,1)$), геометрические прогрессии ($P\neq Q=0$, где $x_{1}=Px_{0}$), числа Фибоначчи ($(P,Q)=(1,-1)$), числа Люка ($(P,Q)=(1,-1)$); числа трибоначчи, удовлетворяющие $x_{n}=x_{n-1} x_{n-2} x_{n-3}$ и ряд других обобщений чисел Фибоначчи.

Основы теории линейных рекуррентных последовательностей были даны в 1720-е годы Абрахамом де Муавром и Даниилом Бернулли; Леонард Эйлер изложил её в тринадцатой главе «Введения в анализ бесконечно-малых» (1748). Позднее Пафнутий Чебышёв и ещё позже Андрей Марков изложили эту теорию в своих курсах исчисления конечных разностей.

Среди приложений — применение линейных рекуррентные последовательностей над кольцами вычетов для генерации псевдослучайных чисел.

Характеристический многочлен

Для линейных рекуррентных последовательностей существует формула, выражающая общий член последовательности через корни её характеристического многочлена:

$\lambda ^{d}-a_{1}\lambda ^{d-1}-\dots -a_{d-1}\lambda -a_{d}$,

общий член выражается в виде линейной комбинации $d$ последовательностей вида:

$x_{n}=\lambda _{k}^{n}\cdot n^{m},$

где $\lambda _{k}$ — корень характеристического многочлена и $m$ — целое неотрицательное число меньшее, чем кратность $\lambda _{k}$.

Для чисел Фибоначчи такой формулой является формула Бине.

Например, для нахождения формулы общего члена последовательности $F_{n}$, удовлетворяющей линейному рекуррентному уравнению второго порядка $F_{n}=b\cdot F_{n-1} c\cdot F_{n-2}$ с начальными значениями $F_{1}$, $F_{2}$, следует решить характеристическое уравнение

$q^{2}-bq-c=0$.

Если уравнение имеет два различных корня $q_{1}$ и $q_{2}$, отличных от нуля, то для произвольных постоянных $A$ и $B$, последовательность

$F_{n}=A\cdot q_{1}^{n} B\cdot q_{2}^{n},$

удовлетворяет рекурентному соотношению; остаётся найти числа $A$ и $B$, что

$F_{1}=A\cdot q_{1} B\cdot q_{2}$ и $F_{2}=A\cdot q_{1}^{2} B\cdot q_{2}^{2}$.

Если же дискриминант характеристического уравнения равен нулю и значит уравнение имеет единственный корень $q_{1}$, то для произвольных постоянных $A$ и $B$, последовательность:

$F_{n}=(A B\cdot n)\cdot q_{1}^{n}$

удовлетворяет рекурентному соотношению; остаётся найти числа $A$ и $B$, что

$F_{1}=(A B)\cdot q_{1}$ и $F_{2}=(A B\cdot 2)\cdot q_{1}^{2}$.

В частности, для последовательности, определяемой следующим линейным рекуррентным уравнением второго порядка:

$F_{n}=5\cdot F_{n-1}-6\cdot F_{n-2}$; $F_{1}=1$, $F_{2}=-2$

корнями характеристического уравнения $q^{2}-5\cdot q 6=0$ являются $q_{1}=2$, $q_{2}=3$. Поэтому:

$F_{n}=-2\cdot (3^{n-1}-2^{n-1})-6\cdot (3^{n-2}-2^{n-2})$.

Окончательно:

$F_{n}=5\cdot 2^{n-1}-4\cdot 3^{n-1}$.

Литература

• А. И. Маркушевич. Возвратные последовательности. — Гос. издательство технико-теоретической литературы, 1950. — Т. 1. — (Популярные лекции по математике).
• М. М. Глухов, В. П. Елизаров, А. А. Нечаев. Глава XXV. Линейные рекуррентные последовательности // Алгебра. — Учебник. В 2-x томах. — М.: Гелиос АРВ, 2003. — Т. 2. — ISBN 8-85438-072-2.
• А. Егоров. Числа Пизо // Квант. — 2005. — № 5. — С. 8—13.
• Чебраков Ю. В. Глава 2.7. Рекуррентные уравнения // Теория магических матриц. Выпуск ТММ-1. — СПб., 2010.