Квазиизометрия

Квазиизометрия — обобщение понятия изометрии на метрических пространствах, игнорирующая конечные отклонения, как абсолютные, так и относительные. Это понятие особенно важно в геометрической теории групп. Введено Михаилом Громовым.

Определение

Отображение $f\colon X\to Y$ (не обязательно непрерывное) отображение из одного метрического пространства в другое называется квазиизометрией если существуют константы $A\geq 1$, $B\geq 0$ и $C\geq 0$ такие, что следующие два свойства выполнены:

1. Для любых двух точек $x,x'\in X$ выполняется

   ${\tfrac {1}{A}}\cdot |x-x'|_{X}-B\leq |f(x)-f(x')|_{Y}\leq A\cdot |x-x'|_{X} B.$

2. Для любой точк $y\in Y$ найдётся точка $x\in X$ такая, что

   $|f(x)-y|_{Y}\leq C.$

Связанные определения

• Отображение удовлетворяющее только первому условию называется квазиизометрическим вложением.

• Пространства между которыми существует квазиизометрия называются квазиизометрические.

Применение в теории групп

Пусть $S$ конечное порождающее множество группы $G$. Рассмотрим соответствующий граф Кэли. Этот граф превращается в метрическое пространство, если мы заявляем, что длина каждого ребра равен 1.

Для другого порождающего множества $S'$ эта конструкция даёт другое другое метрическое пространство, однако два полученных пространства квазиизометричны. Таким образом квазиизометрический класс этого пространства, является инвариантом группы $G$. То есть, не зависит от выбора порождающего множества.

Свойства

• Любая группа квазиизометрична любой своей подгруппе конечного индекса.
• Любая группа квазиизометрична любой своей фактор-группе по конечной нормальной подгруппе.

Литература

• Громов М. Гиперболические группы. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — 160 с. — ISBN 5-93972-103-6.