Начальные и граничные условия

В теории дифференциальных уравнений начальные и граничные условия — дополнение к основному дифференциальному уравнению (обыкновенному или в частных производных), задающее его поведение в начальный момент времени или на границе рассматриваемой области соответственно.

Обычно дифференциальное уравнение имеет не одно решение, а целое их семейство. Начальные и граничные условия позволяют выбрать из него одно, соответствующее реальному физическому процессу или явлению. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений доказана теорема существования и единственности решения задачи с начальным условием (т. н. задачи Коши). Для уравнений в частных производных получены некоторые теоремы существования и единственности решений для определённых классов начальных и краевых задач.

Терминология

Иногда к граничным относят и начальные условия в нестационарных задачах, таких как решение гиперболических или параболических уравнений.

Для стационарных задач существует разделение граничных условий на главные и естественные.

Главные условия обычно имеют вид $u(\partial \Omega )=g$, где $\partial \Omega$ — граница области $\Omega$.

Естественные условия содержат также и производную решения по нормали к границе.

Пример

Уравнение ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-g$ описывает движение тела в поле земного тяготения. Ему удовлетворяет любая квадратичная функция вида $y(t)=-gt^{2}/2 at b,$ где $a,b$ — произвольные числа. Для выделения конкретного закона движения необходимо указать начальную координату тела и его скорость, то есть начальные условия.

Корректность постановки граничных условий

Задачи математической физики описывают реальные физические процессы, а потому их постановка должна удовлетворять следующим естественным требованиям:

1. Решение должно существовать в каком-либо классе функций;
2. Решение должно быть единственным в каком-либо классе функций;
3. Решение должно непрерывно зависеть от данных (начальных и граничных условий, свободного члена, коэффициентов и т. д.).

Требование непрерывной зависимости решения обусловливается тем обстоятельством, что физические данные, как правило, определяются из эксперимента приближённо, и поэтому нужно быть уверенным в том, что решение задачи в рамках выбранной математической модели не будет существенно зависеть от погрешности измерений. Математически это требование можно записать, например, так (для независимости от свободного члена):

Пусть задано два дифференциальных уравнения: $Lu=F_{1},~Lu=F_{2}$ с одинаковыми дифференциальными операторами и одинаковыми граничными условиями, тогда их решения будут непрерывно зависеть от свободного члена, если:

$\forall \varepsilon >0~\exists \delta >0:~\left(\|F_{1}-F_{2}\|<\delta \right)\Rightarrow \left(\|u_{1}-u_{2}\|<\varepsilon \right)$, где $u_{1}$, $u_{2}$- решения соответствующих уравнений.

Множество функций, для которых выполняются перечисленные требования, называется классом корректности. Некорректную постановку граничных условий хорошо иллюстрирует пример Адамара.

См. также

• Задача Коши
• Краевая задача
• Граничные условия для электромагнитного поля
• Граничные условия 1 рода (Задача Дирихле)
• Граничные условия 2 рода (Задача Неймана)
• Граничные условия 3 рода (Задача Робена)
• Условия идеального теплового контакта
• Корректно поставленная задача

Литература

• Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-X.
• Ахтямов А. М. Теория идентификации краевых условий и её приложения. — М.: Физматлит, 2009.
• Ахтямов А. М., Садовничий В. А., Султанаев Я. Т. Обратные задачи Штурма-Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями. — М.: Издательство Московского университета, 2009.