Гомологическая сфера

Гомологическая сфера — n-мерное многообразие X с гомологиями как у n-мерной сферы. То есть

H₀(X,Z) = Z = H_n(X,Z),

и

H_i(X,Z) = {0} при всех остальных i.

Примеры

Сфера Пуанкаре
Сферы Брискорна Σ(p, q, r), то есть пересечение малой 5-мерной сферы с решением уравнения x^p y^q z^r = 0 в $\mathbb {C} ^{3}$ при взаимно простых p, q и r. Они является гомологическими сферами. При этом Σ(1, 1, 1) гомеоморфно стандартной сфере, а Σ(2, 3, 5) сфере Пуанкаре. Если $1/p 1/q 1/r\leq 1$ , то универсальное накрытие Σ(p, q, r) гомеоморфно евклидовому пространству,

Гомологическая сфера связна.
Фундаментальная группа $\Gamma$ гомологической сферы совпадает со своим коммутатором.
Пусть $n\geqslant 5$ $n\geqslant 5$ . Группа $\Gamma$ $\Gamma$ является группой какой-то n-мерной гомологической сферы тогда и только тогда, когда^[1]:
1. $\Gamma$ конечно задана;
2. $H_{1}(\Gamma )=0$ ;
3. $H_{2}(\Gamma )=0$ .
Группа $\Gamma$ $\Gamma$ является группой какой-то 4-мерной гомологической сферы, если
1. $\Gamma$ задана равным числом образующих и соотношений, и
2. $H_{1}(\Gamma )=0$ .
- Неизвестно, верно ли обратное^[1].
Связная сумма двух гомологических сфер — это гомологическая сфера.
Согласно обобщённой гипотезе Пуанкаре, односвязная гомологическая сфера гомеоморфна стандартной сфере.

Рационально гомологические сферы определяется аналогичным образом, но используя гомологии с рациональными коэффициентами.

↑ ¹ ² Michel A. Kervaire, Smooth Homology Spheres and their Fundamental Groups Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 144 (Oct., 1969), pp. 67—72