Гельмгольциан

Гельмгольциа́н — в гидродинамике векторный (преобразующий векторное поле в векторное поле) линейный дифференциальный оператор, определяемый для движущейся жидкости или газа. Гельмгольциан обозначается символом $\ \operatorname {helm}$. Гельмгольциан над векторным полем $\mathbf {A}$ определяется формулой

$\ \operatorname {helm} \mathbf {A} \equiv {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}} (v\cdot \nabla )\mathbf {A} -(\mathbf {A} \cdot \nabla )v \mathbf {A} (\nabla \cdot v)$,

где $\mathbf {v}$ — вектор скорости потока жидкости или газа, $\nabla$ — оператор набла.

Оператор гельмгольциан внедрён в обиход Александром Александровичем Фридманом, и назван в честь Германа Гельмгольца.

Гидродинамический смысл гельмгольциана заключается в том, что равенство $\ \operatorname {helm} \mathbf {A} =0$ означает «вмороженность» векторного поля $\ \mathbf {A}$ в движущуюся жидкость, понимаемую в том смысле, что каждая векторная линия этого поля (то есть линия, касательная к которой в любой её точке имеет направление вектора $\ \mathbf {A}$ в этой точке) сохраняется, то есть всё время состоит из одних и тех же частиц жидкости, а интенсивность векторных трубок (стенки которых состоят из векторных линий), то есть потоки $\ \int \limits _{\sigma }(\mathbf {A} \cdot d\mathbf {\sigma } )$ вектора $\ \mathbf {A}$ через любые сечения $\ \mathbf {\sigma }$ этих трубок, не меняются со временем. Гельмгольциан используется в геофизической гидродинамике, магнитной гидродинамике.

См. также

• Уравнение вихря