Аксиома объёмности

Аксиомой объёмности называется следующее высказывание теории множеств:

$\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\forall b\ (b\in a_{1}\leftrightarrow b\in a_{2})\to a_{1}=a_{2})$

Если переписать аксиому объёмности в виде

$\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\forall b\ (b\in a_{1}\to b\in a_{2})\ \land \ \forall b\ (b\in a_{2}\to b\in a_{1})\to a_{1}=a_{2})$,

тогда названную аксиому можно сформулировать следующим образом:

«Каковы бы ни были два множества, если каждый элемент 1-го множества принадлежит 2-му множеству, а каждый элемент 2-го множества принадлежит 1-му множеству, тогда первое множество идентично второму множеству.»

Другие формулировки аксиомы объёмности

$\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}\subseteq a_{2}\ \land \ a_{2}\subseteq a_{1}\to a_{1}=a_{2})$

$\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}\neq a_{2}\to \exists b\ (b\in a_{1}\ \veebar \ b\in a_{2})\ )$

Примечания

Аксиома объёмности выражает достаточное условие равенства двух множеств. Необходимое условие равенства множеств выводится из аксиом предиката $=$, а именно:

$\forall a\ (a=a)$,

$\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}=a_{2}\to (\varphi [a_{1}]\to \varphi [a_{2}]))$, где $\varphi [a_{1}]$ — любое математически корректное суждение об $a_{1}$, а $\varphi [a_{2}]$ — то же самое суждение, но об $a_{2}$.

Соединяя указанное достаточное условие равенства множеств с аксиомой объёмности, получаем следующий критерий равенства множеств:

$\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}=a_{2}\leftrightarrow \forall b\ (b\in a_{1}\leftrightarrow b\in a_{2})\ )$

Указанный критерий равенства множеств не хуже и не лучше других аналогичных критериев, включая:

1) критерий равенства комплексных чисел

$\forall x\forall y\forall u\forall v\ (x,y,u,v\in \mathbb {R} \to (x iy=u iv\leftrightarrow x=u\ \land \ y=v))$,

2) критерий равенства упорядоченных пар

$\forall x\forall y\forall u\forall v\ (\ (x,y)=(u,v)\leftrightarrow x=u\ \land \ y=v)\ )$,

3) критерий равенства неупорядоченных пар

$\forall x\forall y\forall u\forall v\ (\{x,y\}=\{u,v\}\leftrightarrow x=u\ \land \ y=v\quad \lor \quad x=v\ \land \ y=u)\ )$,

4) критерий равенства двух последовательностей

$\{x_{n}\}=\{y_{n}\}\leftrightarrow \forall i\ (i\in \mathbb {N} \to x_{i}=y_{i})$.

Из изложенного ясно, что аксиома объёмности является органичной частью аксиоматики теории множеств.

Аксиому объёмности применяют при доказательстве единственности множества, существование которого уже декларировано аксиомой, либо установлено доказательством теоремы.

Примеры

1. Доказательство единственности пустого множества

Существование [по меньшей мере одного] пустого множества декларировано аксиомой

$\exists a\forall b\ (b\notin a)$.

Требуется доказать существование не более, чем одного множества $a$, для которого верно высказывание

$\forall b\ (b\notin a)$.

Иначе говоря, требуется доказать

$\exists \{0,1\}a\ (\forall b\ (b\notin a))$

Или, что то же самое, требуется доказать

$\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\forall b(b\notin a_{1})\ \land \ \forall b(b\notin a_{2})\to a_{1}=a_{2})$

Доказательство

${\begin{aligned}\forall b(b\notin a_{1})\ \land \ \forall b(b\notin a_{2})\Leftrightarrow \forall b(b\notin a_{1}\ \land \ b\notin a_{2})\Rightarrow \forall b(b\notin a_{1}\leftrightarrow b\notin a_{2})\\\ \Leftrightarrow \forall b(b\in a_{1}\leftrightarrow b\in a_{2})\Rightarrow a_{1}=a_{2}\end{aligned}}$

Поскольку $\exists a\forall b\ (b\notin a)\ \land \ \exists \{0,1\}a\forall b\ (b\notin a)\Leftrightarrow \exists \{1\}a\forall b\ (b\notin a)$, постольку доказательство единственности пустого множества завершено.

2. Доказательство единственности множества подмножеств

Существование [по меньшей мере одного] множества подмножеств декларировано аксиомой

$\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$

Требуется доказать существование не более, чем одного множества $d$, для которого верно высказывание

$\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$

Иначе говоря, требуется доказать

$\exists \{0,1\}d\ (\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a))$

Или, что то же самое, требуется доказать

$\forall d_{1}\forall d_{2}\ (\forall b\ (b\in d_{1}\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ \forall b\ (b\in d_{2}\leftrightarrow b\subseteq a)\to d_{1}=d_{2})$

Доказательство

${\begin{aligned}\forall b(b\in d_{1}\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ \forall b(b\in d_{2}\leftrightarrow b\subseteq a)\Leftrightarrow \forall b((b\in d_{1}\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ (b\in d_{2}\leftrightarrow b\subseteq a))\\\ \Rightarrow \forall b(b\in d_{1}\leftrightarrow b\in d_{2})\Rightarrow d_{1}=d_{2}\end{aligned}}$

Поскольку $\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ \exists \{0,1\}d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)\Leftrightarrow \exists \{1\}d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$, постольку доказательство единственности множества подмножеств завершено.

См. также

• Аксиоматика теории множеств