Рациональная функция

Рациона́льная фу́нкция, или дро́бно-рациона́льная фу́нкция, или рациона́льная дробь — это числовая функция, которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются многочлены. К этому виду может быть приведено любое рациональное выражение➤, то есть алгебраическое выражение, без радикалов.

Пример рациональной функции от одной переменной: $f(x)={\frac {x^{2}-3x-2}{x^{2}-4}}$

Формальное определение

Рациональная функция^[1]^[2]^[3], или дробно-рациональная функция^[1]^[4], или рациональная дробь^[4] — это числовая функция вида

\mathbb {U} \to \mathbb {U} :w=R(u),

где $\mathbb {U}$ — комплексные ( $\mathbb {C}$ ) или вещественные ( $\mathbb {R}$ ) числа, $R(u)$ — рациональное выражение от $u$ . Рациональное выражение — это математическое выражение, составленное из независимого переменного (комплексного или вещественного) и конечного набора чисел (соответственно комплексных или вещественных) с помощью конечного числа арифметических действий (то есть сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень)^[5].

Рациональная функция допускает запись (не единственным образом) в виде отношения двух многочленов $P(u)$ и $Q(u)$ :

R(u)={\frac {P(u)}{Q(u)}}={\frac {a_{0} a_{1}u a_{2}u^{2} \cdots  a_{n}u^{n}}{b_{0} b_{1}u b_{2}u^{2} \cdots  b_{m}u^{m}}},

где $Q(u)\not \equiv 0.$ Коэффициенты рациональной функции — это коэффициенты многочленов $P(u)$ и $Q(u)$ :

a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}

и

b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{m}

^[5]^[3].

Частные случаи

Целая рациональная функция — функция вида

\mathbb {R} \to \mathbb {R} :y={\frac {P(x)}{1}},

где переменная

x

действительна.

Дробно-линейная функция — отношение двух линейных функций комплексного переменного:

\mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=L(z)={\frac {az b}{cz d}}.

Преобразование Кэли

\mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=W(z)={\frac {z-i}{z i}}.

Функция Жуковского — рациональная функция комплексного переменного

\mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=\lambda (z)={\frac {1}{2}}\left(z {\frac {1}{z}}\right),

имеющая важные применения в гидромеханике, открытые Н. Е. Жуковским^[6].

Обобщения

Рациональные функции от нескольких переменных (комплексных или вещественных)

\mathbb {U} ^{\max(n,m)}\to \mathbb {U} :w=R(u_{1},u_{2},\dots ,u_{\max(n,m)})={\frac {P(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})}{Q(u_{1},u_{2},\dots ,u_{m})}},

где

Q(u_{1},u_{2},\dots ,u_{m})\not \equiv 0

^[5].

Абстрактные рациональные функции

R={\frac {A_{1}F_{1} A_{2}F_{2} \cdots  A_{n}F_{n}}{B_{1}F_{1} B_{2}F_{2} \cdots  B_{m}F_{m}}},

где

F_{1},F_{2},\dots ,F_{\max(n,m)}

— линейно независимая система непрерывных функций на некотором компактном пространстве,

A_{1},A_{2},\dots ,A_{n},

и

B_{1},B_{2},\dots ,B_{m}

— числовые коэффициенты^[5].

Вещественная рациональная функция

Несократимая рациональная дробь

Несократимая рациональная дробь — это рациональная дробь, у которой числитель взаимно прост со знаменателем^[4].

Любая рациональная дробь равна некоторой несократимой дроби, которая определяется с точностью до константы, общей для числителя и знаменателя. Равенство двух рациональных дробей понимается в том же смысле, что и равенство дробей в элементарной математике^[4].

Доказательство

Сначала докажем, что если произведение многочленов $f(x)$ и $g(x)$ делится на $\varphi (x)$ , причём $f(x)$ и $\varphi (x)$ взаимно просты, то $g(x)$ делится на $\varphi (x)$ ^[7].

1. Известно, что многочлены $f(x)$ и $\varphi (x)$ взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют такие многочлены $u(x)$ и $v(x)$ , что

f(x)u(x) \varphi (x)v(x)=1.

2. Умножим это равенство на $g(x)$ :

[f(x)g(x)]u(x) g(x)[\varphi (x)v(x)]=g(x).

3. Оба слагаемых этого равенства делятся на $\varphi (x)$ , следовательно, $g(x)$ также делится на $\varphi (x)$ .

Теперь, используя это, докажем, что любая рациональная дробь равна некоторой несократимой дроби, которая определяется с точностью до константы, общей для числителя и знаменателя^[4].

1. Любую рациональную дробь можно сократить на наибольший общий делитель её числителя и знаменателя.

2. Далее, если две несократимые дроби равны:

{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\varphi (x)}{\psi (x)}},

то есть

f(x)\psi (x)=g(x)\varphi (x).

то:

из взаимной простоты $f(x)$ и $g(x)$ следует, что $\varphi (x)$ делится на $f(x)$ ;
из взаимной простоты $\varphi (x)$ и $\psi (x)$ следует, что $f(x)$ делится на $\varphi (x)$ .

В итоге получаем, что $f(x)=c\varphi (x).$

3. Подставим последнее выражение в исходное, получим:

c\varphi (x)\psi (x)=g(x)\varphi (x),

или

g(x)=c\psi (x).

Итак, получили, что

{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {c\varphi (x)}{c\psi (x)}}.

Правильная рациональная дробь

Рациональная дробь правильная, если степень числителя меньше степени знаменателя. Нулевой многочлен 0 является правильной дробью. Любая рациональная дробь единственным способом представима как сумма многочлена и правильной дроби^[4].

Доказательство

Докажем последнее утверждение^[4].

1. Для любой рациональной дроби ${\frac {f(x)}{g(x)}}$ , поделив числитель на знаменатель, получим:

f(x)=g(x)q(x) r(x),

причём степень $r(x)$ меньше степени $g(x).$ Поделим обе части равенства на $g(x)$ , получим, что рациональная дробь есть сумма многочлена и правильной дроби:

{\frac {f(x)}{g(x)}}=q(x) {\frac {r(x)}{g(x)}}.

2. Докажем единственность этого представления. Если имеет место также следующее равенство:

{\frac {f(x)}{g(x)}}=q'(x) {\frac {\varphi (x)}{\psi (x)}},

где также степень $\varphi (x)$ меньше степени $\psi (x)(x)$ , то произведём вычитание:

q(x)-q'(x)={\frac {\varphi (x)}{\psi (x)}}-{\frac {r(x)}{g(x)}}={\frac {\varphi (x)g(x)-\psi (x)r(x)}{\psi (x)g(x)}}.

3. Слева последнего равенства стоит многочлен. Поскольку степень $\varphi (x)$ меньше степени $\psi (x)$ , а степень $r(x)$ меньше степени $g(x)$ , то справа последнего равенства стоит правильная дробь, отсюда $q(x)-q'(x)=0$ и

{\frac {\varphi (x)}{\psi (x)}}-{\frac {r(x)}{g(x)}}=0.

Простейшая рациональная дробь

Правильная рациональная дробь ${\frac {f(x)}{g(x)}}$ простейшая, если её знаменатель $g(x)$ представляет собой степень неприводимого многочлена $p(x)$ :

g(x)=p^{k}(x),k\geqslant 1,

а степень числителя $f(x)$ меньше степени $p(x)$ . Существуют две теоремы^[4].

Основная теорема. Любая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших дробей.
Теорема единственности. Любая правильная рациональная дробь имеет единственное разложение в сумму простейших дробей.

Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей

Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей используется во многих задачах, например:

при интегрировании^[8];
при разложении в ряд Тейлора^[9];
при разложении в ряд Лорана^[10];
при расчёте обратного преобразования Лапласа рациональной дроби^[11].

Пример

Пример. Разложить в сумму простейших дробей вещественную правильную дробь ${\frac {f(x)}{g(x)}},$ где^[4]:

f(x)=2x^{4}-10x^{3} 7x^{2} 4x 3,

g(x)=x^{5}-2x^{3} 2x^{2}-3x 2.

Решение. 1. Легко проверить, что

g(x)=(x 2)(x-1)^{2}(x^{2} 1),

причём $x 2,$ $x-1,$ $x^{2} 1$ неприводимы.

2. Воспользуемся методом неопределённых коэффициентов. Из основной теоремы следует, что искомое разложение имеет следующий вид:

{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {A}{x 2}} {\frac {B}{(x-1)^{2}}} {\frac {C}{x-1}} {\frac {Dx E}{x^{2} 1}}.

Осталось найти числа $A$ , $B,$ $C,$ $D$ и $E.$

3. Приведём проект разложения к общему знаменателю, получим:

f(x)=2x^{4}-10x^{3} 7x^{2} 4x 3=

=A(x-1)^{2}(x^{2} 1)

B(x 2)(x^{2} 1)

C(x 2)(x-1)(x^{2} 1)

Dx(x 2)(x-1)^{2}

E(x 2)(x-1)^{2}.

Можно получить систему пяти линейных уравнений с пятью неизвестными $A$ , $B,$ $C,$ $D$ и $E,$ приравняв коэффициенты при одинаковых степенях $x$ из обеих частей последнего равенства. Причём из основной теоремы и теоремы единственности следует, что эта система из пяти уравнений обладает единственным решением.

4. Воспользуемся другим методом. Полагая в последнем равенстве $x=-2,$ получаем $45A=135,$ откуда $A=3.$ Полагая $x=1,$ получаем $6B=6,$ то есть $B=1.$ Полагая независимо $x=0$ и $x=-1,$ получаем систему

\left\{{\begin{array}{rcl}-2C 2E=-2,\\-4C-4D 4E=-8.\\\end{array}}\right.

Отсюда $D=1.$ Положим $x=2,$ получаем $20C 4E=-52.$ Возникает система

\left\{{\begin{array}{rcl}-2C 2E=-2,\\20C 4E=-52,\\\end{array}}\right.

откуда $C=-2,$ $E=-3.$ Таким образом,

{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {3}{x 2}} {\frac {1}{(x-1)^{2}}}-{\frac {2}{x-1}} {\frac {x-3}{x^{2} 1}}.

Свойства

Любое выражение, которое можно получить из переменных $x_{1},\dots ,x_{n}$ с помощью четырёх арифметических действий, является рациональной функцией.
Множество рациональных функций замкнуто относительно арифметических действий и операции композиции, а также является полем в том случае, если коэффициенты многочленов принадлежат некоторому полю.

Правильные дроби

Любую рациональную дробь многочленов с вещественными коэффициентами можно представить как сумму рациональных дробей, знаменателями которых являются выражения $(x-a)^{k}$ ( $a$ — вещественный корень $Q(x)$ ) либо $(x^{2} px q)^{k}$ (где $x^{2} px q$ не имеет действительных корней), причём степени $k$ не больше кратности соответствующих корней в многочлене $Q(x)$ . На основании этого утверждения основана теорема об интегрируемости рациональной дроби. Согласно ей, любая рациональная дробь может быть интегрирована в элементарных функциях, что делает класс рациональных дробей весьма важным в математическом анализе.

C этим связан метод выделения рациональной части в первообразной от рациональной дроби, который был предложен в 1844 году М. В. Остроградским^[12].

См. также

Примечания

↑ ¹ ² Дробно-рациональная функция, 1979.
↑ Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, с. 226.
↑ ¹ ² Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, с. 121.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ Курош А. Г. Курс высшей алгебры, 2021, с. 161—165.
↑ ¹ ² ³ ⁴ Долженко Е. П. Рациональная функция, 1984.
↑ Соломенцев Е. Д. Жуковского функция, 1979.
↑ Курош А. Г. Курс высшей алгебры, 2021, с. 141—142.
↑ Зорич В. А. Математический анализ. Часть I, 2019, с. 292—295.
↑ Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко Г. И.Функции комплексного переменного, 1971, с. 50—51.
↑ Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко Г. И.Функции комплексного переменного, 1971, с. 62—63.
↑ Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко Г. И.Функции комплексного переменного, 1971, с. 125.
↑ M. Ostrogradsky. De l'intégration des fractions rationnelles : [арх. 18 февраля 2017]. — Bulletin de la classe physico-mathématique de l'Académie impériale des sciences de Saint-Pétersbourg. — 1845. — Vol. IV. — Col. 145—167, 286—300.

Источники

Долженко Е. П. Рациональная функция // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил. Стб. 917—919.
Дробно-рациональная функция // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил. Стб. 387.
Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. 10-е изд., испр. М.: МЦНМО, 2019. xii 564 с., ил. 65, библ. 54 назв. 978-5-4439-4029-8, 978-5-4439-4030-4 (часть I).
Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко Г. И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1971. 255 с., 77 ил., библ. 15 названий.
Курош А. Г. Курс высшей алгебры : учебник для вузов. 22-е изд., стер. СПб.: Лань, 2021. 431 с.: ил. ISBN 978-5-8114-6851-5.
Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I. Начала теории. Издание второе. М.: Наука, 1967. 486 с.: ил.
Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного : учебник. 15-е изд., стер. СПб.: Лань, 2009. 432 с.: ил. ISBN 978-5-8114-0913-6.
Соломенцев Е. Д. Жуковского функция // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил. Стб. 426.

[_9b16892259119d1c-1] ¹ ² Дробно-рациональная функция, 1979.

[_5f1c18a416dcbb96-2] Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, с. 226.

[_c1c7c53d7b65d20a-3] ¹ ² Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, с. 121.

[_105b2053c15fce44-4] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ Курош А. Г. Курс высшей алгебры, 2021, с. 161—165.

[_724aae2aab1b86d4-5] ¹ ² ³ ⁴ Долженко Е. П. Рациональная функция, 1984.

[_942f3a1e4c8892ae-6] Соломенцев Е. Д. Жуковского функция, 1979.

[_fd8d03f40f04897d-7] Курош А. Г. Курс высшей алгебры, 2021, с. 141—142.

[_21774462ae074146-8] Зорич В. А. Математический анализ. Часть I, 2019, с. 292—295.

[_f2cd3109e62f233a-9] Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко Г. И.Функции комплексного переменного, 1971, с. 50—51.

[_634c37592985c0b0-10] Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко Г. И.Функции комплексного переменного, 1971, с. 62—63.

[_1c0a485cb6921b53-11] Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко Г. И.Функции комплексного переменного, 1971, с. 125.

[12] M. Ostrogradsky. De l'intégration des fractions rationnelles : [арх. 18 февраля 2017]. — Bulletin de la classe physico-mathématique de l'Académie impériale des sciences de Saint-Pétersbourg. — 1845. — Vol. IV. — Col. 145—167, 286—300.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]