Гравитомагнетизм

Гравитомагнети́зм, гравимагнети́зм, иногда гравитоэлектромагнети́зм — общее название нескольких эффектов, вызываемых движением гравитирующего тела.

Гравитомагнетизм в общей теории относительности

В отличие от ньютоновской механики, в общей теории относительности (ОТО) движение пробной частицы (и ход часов) в гравитационном поле зависит от того, как вращается тело — источник поля. Влияние вращения сказывается даже в том случае, когда распределение масс в источнике не меняется со временем (существует цилиндрическая симметрия относительно оси вращения). Гравитомагнитные эффекты в слабых полях чрезвычайно малы. В слабом гравитационном поле и при малых скоростях движения частиц можно отдельно рассматривать гравитационную («гравитоэлектрическую») и гравитомагнитную силы, действующие на пробное тело, причём напряжённость гравитомагнитного поля и гравитомагнитная сила описываются уравнениями, близкими к соответствующим уравнениям электромагнетизма.

Рассмотрим движение пробной частицы в окрестностях вращающегося сферически симметричного тела с массой M и моментом импульса L. Если частица массой m движется со скоростью $v\ll c$ (c — скорость света), то на частицу, помимо гравитационной силы, будет действовать гравитомагнитная сила, направленная, подобно силе Лоренца, перпендикулярно как скорости частицы, так и напряжённости гравитомагнитного поля B_g^[1]:

\mathbf {F} ={\frac {m}{c}}\left[\mathbf {v} \times 2\mathbf {B} _{\mathrm {g} }\right].

При этом, если вращающаяся масса находится в начале координат и r — радиус-вектор, напряжённость гравитомагнитного поля равна:^[1]

\mathbf {B} _{\mathrm {g} }={\frac {G}{2c}}\;{\frac {\mathbf {L} -3(\mathbf {L} \cdot \mathbf {r} /r)\mathbf {r} /r}{r^{3}}},

где G — гравитационная постоянная.

Последняя формула совпадает (за исключением коэффициента) с аналогичной формулой для поля магнитного диполя с дипольным моментом L.

В ОТО гравитация не является самостоятельной физической силой. Гравитация ОТО сводится к искривлению пространства-времени и трактуется как геометрический эффект, приравнивается к метрическому полю. Такой же геометрический смысл получает и гравитомагнитное поле B_g.

В случае сильных полей и релятивистских скоростей гравитомагнитное поле нельзя рассматривать отдельно от гравитационного, точно также как в электромагнетизме электрическое и магнитное поля можно разделять лишь в нерелятивистском пределе в статических и стационарных случаях.

Уравнения гравитоэлектромагнетизма

Согласно общей теории относительности, гравитационное поле, порождаемое вращающимся объектом, в некотором предельном случае может быть описано уравнениями, которые имеют ту же форму, что и уравнения Максвелла в классической электродинамике. Исходя из основных уравнений ОТО и предполагая, что гравитационное поле слабо, можно вывести гравитационные аналоги уравнений электромагнитного поля, которые могут быть записаны в следующей форме:^[2]^[3]^[4]

Уравнения гравитоэлектромагнетизма	Уравнения Максвелла в СГС
$\nabla \cdot \mathbf {E} _{\text{g}}=-4\mathrm {\pi } G\mathrm {\rho } \$	$\nabla \cdot \mathbf {E} =4\mathrm {\pi \rho } _{\text{em}}\$
$\nabla \cdot \mathbf {B} _{\text{g}}=0\$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0\$
$\nabla \times \mathbf {E} _{\text{g}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} _{\text{g}}}{\partial t}}\$	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\$
$\nabla \times \mathbf {B} _{\text{g}}=-{\frac {4\pi G}{c}}\mathbf {J} {\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} _{\text{g}}}{\partial t}}$	$\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {J} _{\text{em}} {\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

где:

E_g — гравитационное поле (в рамках данной аналогии также называется «гравитоэлектрическим»);
E — электрическое поле;
B_g — гравитомагнитное поле;
B — магнитное поле;
ρ — плотность массы;
ρ_em — плотность заряда:
J — плотность тока массы (J = ρ v_ρ, где v_ρ — поле скоростей массы, генерирующей гравитационное поле);
J_em — плотность электрического тока;
G — гравитационная постоянная;
c — скорость распространения гравитации (равная в ОТО скорости света).

На пробную частицу малой массы m воздействует в гравитоэлектромагнитном поле сила, которая является аналогом силы Лоренца в электромагнитном поле и выражается следующим образом:

\mathbf {F} _{\text{m}}=m\left(\mathbf {E} _{\text{g}} {\frac {1}{c}}[\mathbf {v} \times 2\mathbf {B} _{\text{g}}]\right).

где:

m — масса пробной частицы;
v — её скорость.

Коэффициент 2 при B_g в уравнениях для гравитомагнитной силы, которого нет в аналогичных уравнениях для магнитной силы, возникает из-за того, что гравитационное поле описывается тензором второго ранга, в отличие от электромагнитного поля, описываемого вектором (тензором первого ранга). Иногда гравитомагнитным полем называют величину 2B_g — в этом случае коэффициент 2 исчезает из уравнений для силы, а в уравнениях для гравимагнитного поля появляется коэффициент 1⁄2.

При данном определении гравитомагнитного поля его размерность совпадает с размерностью гравитоэлектрического поля (ньютоновской гравитации) и равна размерности ускорения. Используется также другое определение, при котором гравитомагнитным полем называют величину B_g/c, и в этом случае оно имеет размерность частоты, а приведённые выше уравнения для слабого гравитационного поля преобразуются в другую форму, сходную с уравнениями Максвелла в системе СИ^[5].

Характерные величины поля

Из указанных выше уравнений гравитомагнетизма можно получить оценки характерных величин поля. Например, напряжённость гравитомагнитного поля, индуцированного вращением Солнца (L=1,6⋅10⁴¹ кг·м²/с), на орбите Земли составляет 5,3⋅10⁻¹² м/с², что в 1,3⋅10⁹ раз меньше ускорения свободного падения, вызванного притяжением Солнца. Гравитомагнитная сила, действующая на Землю, направлена от Солнца и равна 3,1⋅10⁹ Н. Эта величина, хотя и очень велика с точки зрения повседневных представлений, на 8 порядков меньше обычной (ньютоновской — в данном контексте её называют «гравитоэлектрической») силы притяжения, действующей на Землю со стороны Солнца. Напряжённость гравитомагнитного поля вблизи поверхности Земли, индуцированная вращением Земли (её угловой момент L=7⋅10³³ кг·м²/с), равна на экваторе 3,1⋅10⁻⁶ м/с², что составляет 3,2⋅10⁻⁷ стандартного ускорения свободного падения. Вращательный момент Галактики в окрестностях Солнца индуцирует гравитомагнитное поле напряжённостью ~2⋅10⁻¹³ м/с², примерно на 3 порядка меньше центростремительного ускорения Солнца в гравитационном поле Галактики (2,32(16)⋅10⁻¹⁰ м/с²)^[6].

Гравитомагнитные эффекты и их экспериментальный поиск

В качестве отдельных гравитомагнитных эффектов можно выделить:

Эффект Лензе — Тирринга^[7]. Это прецессия спинового и орбитального моментов пробной частицы вблизи вращающегося тела. Мгновенная угловая скорость прецессии момента Ω_p = −B_g/2c. Дополнительный член в гамильтониане пробной частицы описывает взаимодействие её спинового момента с моментом вращающегося тела: ΔH = σ · Ω; по аналогии с магнитным моментом в магнитном поле, в неоднородном гравимагнитном поле на спиновый момент действует гравимагнитная сила Штерна — Герлаха $\mathbf {F} =-\mathbf {\nabla } (\mathbf {\sigma } \cdot \mathbf {\Omega } ).$ Эта сила, в частности приводит тому, что вес частицы на поверхности вращающейся Земли зависит от направления спина частицы. Однако разность энергий $2\hbar \Omega$ для одинаковых частиц с проекциями спина $\pm \hbar$ на поверхности Земли не превышает 10⁻²⁸ эВ, что пока находится далеко за пределами чувствительности эксперимента^[3]. Однако для макроскопических пробных частиц и спиновый, и орбитальный эффект Лензе — Тирринга был экспериментально проверен.
- Орбитальный эффект Лензе — Тирринга приводит к повороту эллиптической орбиты частицы в гравитационном поле вращающегося тела. Например, для низкоорбитального искусственного спутника Земли на почти круговой орбите угловая скорость поворота перигея составит 0,26 угловой секунды в год; для орбиты Меркурия эффект равен −0,0128″ в столетие. Данный эффект прибавляется к стандартной общерелятивистской прецессии перицентра (43″ в столетие для Меркурия), которая не зависит от вращения центрального тела. Орбитальная прецессия Лензе — Тирринга была впервые измерена для спутников LAGEOS и LAGEOS II^[8].
- Спиновый эффект Лензе — Тирринга (иногда его называют эффектом Шиффа) выражается в прецессии гироскопа, находящегося вблизи вращающегося тела. Этот эффект недавно был проверен с помощью гироскопов на спутнике Gravity Probe B; первые результаты обнародованы в апреле 2007, но в связи с недоучётом влияния электрических зарядов на гироскопы точность обработки данных вначале была недостаточна, чтобы выделить эффект (поворот оси на −0,0392 угловой секунды в год в плоскости земного экватора). Учёт мешающих эффектов позволил выделить ожидаемый сигнал, хотя обработка данных продлилась до мая 2011. Окончательный результат (−0,0372 ± 0,0072 угловой секунды в год) в пределах погрешности согласуется с приведённым выше значением, предсказанным ОТО.

Геодезическая прецессия (эффект де Ситтера) возникает при параллельном переносе вектора момента импульса в искривленном пространстве-времени. Для системы Земля-Луна, движущейся в поле Солнца, скорость геодезической прецессии равна 1,9″ в столетие; точные астрометрические измерения выявили этот эффект, который совпал с предсказанным в пределах ошибки ~1 %. Геодезическая прецессия гироскопов на спутнике Gravity Probe B совпала с предсказанным значением (поворот оси на 6,606 угловой секунды в год в плоскости орбиты спутника) с точностью лучше 1 %.

Гравитомагнитный сдвиг времени. В слабых полях (например, вблизи Земли) этот эффект маскируется стандартными спец- и общерелятивистским эффектами ухода часов и находится далеко за пределами современной точности эксперимента. Поправка к ходу часов на спутнике, движущемся с угловой скоростью ω по орбите радиусом R в экваториальной плоскости вращающегося массивного шара, равна 1 ± 3GLω/Rc⁴ (по отношению к часам удалённого наблюдателя; знак для сонаправленного вращения).

Примечания

↑ ¹ ² M. L. Ruggiero, A. Tartaglia. Gravitomagnetic effects. Nuovo Cim. 117B (2002) 743—768 (gr-qc/0207065 Архивная копия от 6 мая 2021 на Wayback Machine), формулы (24) и (26).
↑ R.P. Lano (1996). "Gravitational Meissner Effect". arXiv:hep-th/9603077. {{cite arXiv}}: |class= игнорируется (справка)
↑ ¹ ² B. Mashhoon, F. Gronwald, H.I.M. Lichtenegger (1999). "Gravitomagnetism and the Clock Effect". arXiv:gr-qc/9912027. {{cite arXiv}}: |class= игнорируется (справка)Википедия:Обслуживание CS1 (множественные имена: authors list) (ссылка)
↑ S.J. Clark, R.W. Tucker. Gauge symmetry and gravito-electromagnetism (англ.) // Classical and Quantum Gravity : journal. — 2000. — Vol. 17. — P. 4125—4157. — doi:10.1088/0264-9381/17/19/311.
↑ M. Agop, C. Gh. Buzea, B. Ciobanu (1999). "On Gravitational Shielding in Electromagnetic Fields". arXiv:physics/9911011. {{cite arXiv}}: |class= игнорируется (справка)Википедия:Обслуживание CS1 (множественные имена: authors list) (ссылка)
↑ Klioner S.A. et al. (Gaia Collaboration) (2020). "Gaia Early Data Release 3: Acceleration of the solar system from Gaia astrometry". arXiv:2012.02036.
↑ J. Lense, H. Thirring. Uber den Einfluß der Eigenrotation der Zentralkorper auf die Bewegung der Planeten und Monde nach der Einsteinschen Gravitationstheorie. Physikalische Zeitschrift, 19 (1918), 156—163.
↑ I. Ciufolini, E. C. Pavlis. A confirmation of the general relativistic prediction of the Lense-Thirring effect Архивная копия от 12 мая 2021 на Wayback Machine. Nature 431 (2004) 958.

Ссылки

Astronet.ru — Спутник Gravity Probe B подтвердил наличие гравимагнетизма
In Search of gravitomagnetism, NASA, 20 April 2004 (англ.)
Gravitomagnetic London Moment — New test of General Relativity? (англ.)
M. Tajmar, F. Plesescu, B. Seifert, K. Marhold. Measurement of Gravitomagnetic and Acceleration Fields around Rotating Superconductors (англ.) // AIP Conf.Proc. : journal. — 2006. — Vol. 880. — P. 1071—1082. — doi:10.1063/1.2437552. — Bibcode: 2007AIPC..880.1071T.; M. Tajmar, F. Plesescu, B. Seifert, K. Marhold (2006). "Measurement of Gravitomagnetic and Acceleration Fields Around Rotating Superconductors". arXiv:gr-qc/0610015v3. {{cite arXiv}}: |class= игнорируется (справка)Википедия:Обслуживание CS1 (множественные имена: authors list) (ссылка)

[Ruggiero-1] ¹ ² M. L. Ruggiero, A. Tartaglia. Gravitomagnetic effects. Nuovo Cim. 117B (2002) 743—768 (gr-qc/0207065 Архивная копия от 6 мая 2021 на Wayback Machine), формулы (24) и (26).

[2] R.P. Lano (1996). "Gravitational Meissner Effect". arXiv:hep-th/9603077. {{cite arXiv}}: |class= игнорируется (справка)

[Mashhoon-3] ¹ ² B. Mashhoon, F. Gronwald, H.I.M. Lichtenegger (1999). "Gravitomagnetism and the Clock Effect". arXiv:gr-qc/9912027. {{cite arXiv}}: |class= игнорируется (справка)Википедия:Обслуживание CS1 (множественные имена: authors list) (ссылка)

[4] S.J. Clark, R.W. Tucker. Gauge symmetry and gravito-electromagnetism (англ.) // Classical and Quantum Gravity : journal. — 2000. — Vol. 17. — P. 4125—4157. — doi:10.1088/0264-9381/17/19/311.

[5] M. Agop, C. Gh. Buzea, B. Ciobanu (1999). "On Gravitational Shielding in Electromagnetic Fields". arXiv:physics/9911011. {{cite arXiv}}: |class= игнорируется (справка)Википедия:Обслуживание CS1 (множественные имена: authors list) (ссылка)

[6] Klioner S.A. et al. (Gaia Collaboration) (2020). "Gaia Early Data Release 3: Acceleration of the solar system from Gaia astrometry". arXiv:2012.02036.

[7] J. Lense, H. Thirring. Uber den Einfluß der Eigenrotation der Zentralkorper auf die Bewegung der Planeten und Monde nach der Einsteinschen Gravitationstheorie. Physikalische Zeitschrift, 19 (1918), 156—163.

[8] I. Ciufolini, E. C. Pavlis. A confirmation of the general relativistic prediction of the Lense-Thirring effect Архивная копия от 12 мая 2021 на Wayback Machine. Nature 431 (2004) 958.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]