Винеровский процесс

Винеровский процесс в теории случайных процессов — это математическая модель броуновского движения или случайного блуждания с непрерывным временем.

Определение

Случайный процесс $W_{t}$, где $t\geq 0$ называется винеровским процессом, если

1. $W_{0}=0$ почти достоверно.
2. $W_{t}$ — процесс с независимыми приращениями.
3. $W_{t}-W_{s}\sim \mathrm {N} (0,\sigma ^{2}(t-s))$, $\forall 0\leq s<t<\infty$,

где $\mathrm {N} (0,\sigma ^{2}(t-s))$ — нормальное распределение со средним $0$ и дисперсией $\sigma ^{2}(t-s)$. Величину $\sigma ^{2}$, постоянную для процесса, далее будем считать равной $1$.

Эквивалентное определение:

1. $W_{t}$ — гауссовский процесс.
2. $\mathbb {E} W_{t}=0$, $\forall t\geqslant 0$.
3. ${\text{cov}}(W_{t},W_{s})=\min(t,s)$, $\forall t,s\geqslant 0$.

Непрерывность траекторий

Существует единственный винеровский процесс такой, что почти все его траектории всюду непрерывны. Поскольку обычно рассматривают именно этот процесс, то часто условие непрерывности траекторий включают в определение винеровского процесса.

Свойства винеровского процесса

• $W_{t}$ — гауссовский процесс.
• $W_{t}$ — марковский процесс.
• $W_{t}\sim \mathrm {N} (0,t)$. Соответственно $\mathbb {E} [W_{t}]=0$ и $\mathrm {D} [W_{t}]=t$.
• $\mathrm {cov} (W_{s},W_{t})=\min(s,t)$.
• $W_{t}$ и $\exp(W(t)-t/2)$ — мартингалы. Здесь под мартингалом мы понимаем $\mathbb {E} [W_{t}|W_{s},s\leqslant \tau ]=EW_{\tau }$
• Если $W_{t}$ — винеровский процесс, то $tW_{1/t},t>0$ и $0,t=0$, также будет винеровским.

Демонстрация масштабной инвариантности винеровского процесса $V_{t}=(1/{\sqrt {c}})W_{ct}$ при уменьшении c.

• Винеровский процесс масштабно инвариантен или самоподобен. Если $W_{t}$ — винеровский процесс, и $c>0$, то

$V_{t}={\frac {1}{\sqrt {c}}}W_{ct}$

также является винеровским процессом.

• Корреляционная функция для производной винеровского процесса является дельта-функцией.
• Траектории винеровского процесса нигде не дифференцируемы почти наверное. Производная (в обобщённом смысле) винеровского процесса — нормальный белый шум.
• Для любого заданного отрезка траектории винеровского процесса — функции неограниченной вариации на этом отрезке почти наверное.
• Для винеровского процесса справедлив закон повторного логарифма.

$\limsup \limits _{t\rightarrow \infty }{\frac {W_{t}}{\sqrt {2t\ln \ln t}}}=1$ почти наверное.

• $\int \limits _{0}^{t}W_{s}ds\sim N(0,t^{3}/3)$

Многомерный винеровский процесс

Многомерный ($n$-мерный) винеровский процесс $\mathbf {W} _{t}$ — это $\mathrm {R} ^{n}$-значный случайный процесс, составленный из $n$ независимых одномерных винеровских процессов, то есть

$\mathbf {W} _{t}=\left(W_{t}^{1},\ldots ,W_{t}^{n}\right)^{\top },\quad t\geq 0$,

где процессы $\left\{W_{t}^{i}\right\},\;i=1,\ldots ,n$ совместно независимы.

Связь с физическими процессами

Винеровский процесс описывает броуновское движение частицы, совершающей беспорядочные перемещения под влиянием ударов молекул жидкости. Константа $\sigma ^{2}$ при этом зависит от массы частицы и вязкости жидкости.

Ссылки

• Стохастический мир — простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

См. также

• Сосиска Винера
• Норберт Винер
• Формула Фейнмана — Каца
• Цвета шума