Tetrație

În matematică, tetrația (sau hiper-4) este următoarea hiperoperație după cea exponențială, și este definită ca exponențială repetată. Cuvântul a fost inventat de către Ruben Louis Goodstein, de la tetra- (patru) și repetare. Tetrația este folosită pentru notarea de numere foarte mari. Notația ${^{n}a}$ înseamnă ${a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}$, aplicarea de exponențiere $n-1$ ori.

Prezentate aici sunt primele patru hiperoperații, cu tetrația ca cea de-a patra (și succesiune, operație notată ${\displaystyle }$ luând ${\displaystyle }$ și rezultând numărul de după ${\displaystyle }$ca 0):

1. Adunare

   $a n=a \underbrace {1 1 \cdots 1} _{n}$

   n copiile lui 1 adăugate la a.

2. Înmulțire

   $a\times n=\underbrace {a a \cdots a} _{n}$

   n copiile lui a combinate prin adunare.

3. Exponențiere

   $a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}$

   n copiile lui a combinate prin înmulțire.

4. Tetrație

   ${^{n}a}=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} _{n}$

   n copiile lui a combinate prin exponențială, de la dreapta la stânga.

Exemplul de mai sus este citit ca "n tetrație a lui a". Fiecare operațiune este definită prin repetarea celei anterioare (operația următoare din secvență este pentație). Tetrația nu este o funcție elementară.

Definiție

Pentru orice număr real pozitiv $a>0$ și număr întreg non-negativ $n\geq 0$, vom defini $\,\!{^{n}a}$ de către:

${^{n}a}:={\begin{cases}1&{\text{dacă }}n=0\\a^{\left[^{(n-1)}a\right]}&{\text{dacă }}n>0\end{cases}}$

Terminologie

Există o terminologie comună și similare de notație a tetrației, adesea confundată cu strâns legate funcții și expresii. Aici sunt câțiva termeni înrudiți:

Forma	Terminologie
$a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{a}}}}}$	Tetrație
$a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{x}}}}}$	Exponențială repetată
$a_{1}^{a_{2}^{\cdot ^{\cdot ^{a_{n}}}}}$	Exponențiale multiplicate
$a_{1}^{a_{2}^{a_{3}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}$	Exponențiale infinite