Funcție hiperbolică

În matematică, funcțiile hiperbolice sunt analoagele funcțiilor trigonometrice, dar definite folosind hiperbola în locul cercului. La fel cum punctele $(cos t, sin t)$ formează un cerc [cu raza de o] unitate, punctele $(ch t, sh t)$ formează jumătatea dreaptă a unei hiperbole unitate. De asemenea, la fel cum derivatele lui $sin t$ și $cos t$ sunt $cos t$ și $-sin t$ , derivatele lui $sh t$ și $ch t$ sunt $cosh t$ și $sinh t$ .

Funcțiile hiperbolice apar în calculele unghiurilor și distanțelor din geometrie hiperbolică. Ele apar, de asemenea, în soluțiile multor ecuații diferențiale liniare (cum ar fi ecuația care definește un lănțișor), ecuații cubice și ecuația lui Laplace în coordonate carteziene. Ecuația lui Laplace este importantă în multe domenii ale fizicii, inclusiv teoria electromagnetică, transferul de căldură, dinamica fluidelor și relativitatea restrânsă.

Notațiile acestor funcții au variat, în literatura matematică în limba română s-au folosit mult notații diferite de cele folosite în limba engleză^[1] însă în prezent există o tendință de aliniere.^[2] De asemenea, în literatura română funcțiile secantă hiperbolică, cosecantă hiperbolică și în bună măsură cotangentă hiperbolică nu se folosesc, fiind exprimate comod prin funcțiile cosinus hiperbolic, sinus hiperbolic și tangentă hiperbolică.

Funcțiile hiperbolice de bază și inversele lor sunt:^[3]^[4]

Funcția	Notația în limba română actuală^[2] anterioară^[1]	Notația în limba engleză^[5] variante	Funcția inversă	Notația în limba română^[2]	Notația în limba engleză^[5]
sinus hiperbolic	sinh sh	sinh	arcsinus hiperbolic argument sinus hiperbolic	arcsinh, arcsh argsinh, argsh	arcsinh arsinh asinh
cosinus hiperbolic	cosh ch	cosh	arccosinus hiperbolic argument sinus hiperbolic	arccosh, arcch argcosh, argch	arccosh arcosh acosh
tangentă hiperbolică	tanh th	tanh	arctangentă hiperbolică argument tangentă hiperbolică	arctanh argth	arctanh artanh atanh
cotangentă hiperbolică	coth cth	coth	arccotangentă hiperbolică argument cotangentă hiperbolică	arccoth argcth	arccoth arcoth acoth
secantă hiperbolică	–	sech	arcsecantă hiperbolică	–	arcsech arsech asech
cosecantă hiperbolică	–	cosech csch	arccosecantă hiperbolică	–	arccsch arcsch acsch

Argumentul unei funcții hiperbolice este un număr real, numit unghi hiperbolic. Mărimea unui unghi hiperbolic este de două ori aria sectorului său hiperbolic. Funcțiile hiperbolice pot fi definite în termenii unui triunghi hiperbolic drept care acoperă acest sector.

În analiza complexă, funcțiile hiperbolice apar ca părți imaginare ale sinusului și ale cosinusului. Sinusul hiperbolic și cosinusul hiperbolic sunt funcții întregi. Ca rezultat, celelalte funcții hiperbolice sunt meromorfe în întregul plan complex.

Teorema Lindemann–Weierstrass afirmă că funcțiile hiperbolice au o valoare transcendentală pentru orice valoare algebrică nenulă a argumentului.^[6]

Funcțiile hiperbolice au fost introduse în anii 1760 independent de Vincenzo Riccati și Johann Heinrich Lambert.^[7] Riccati a folosit $Sc.$ și $Cc.$ (din italiană sinus/cosinus circulare) pentru a se referi la funcțiile trigonometrice și $Sh.$ și $Ch.$ (din italiană sinus/cosinus hyperbolico) pentru a se referi la funcțiile hiperbolice. Lambert a adoptat numele, dar a modificat abrevierile cu cele utilizate astăzi.^[8] Abrevierile $sh$ , $ch$ , $th$ , $cth$ sunt și ele utilizate în prezent, în funcție de preferințele personale.

Definiții

Există diferite moduri echivalente de a defini funcțiile hiperbolice.

Definirea cu funcția exponențială

Folosind funcția exponențială:^[4]^[9]

Sinusul hiperbolic:
$\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}={\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}.$
Cosinusul hiperbolic:
$\cosh x={\frac {e^{x} e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x} 1}{2e^{x}}}={\frac {1 e^{-2x}}{2e^{-x}}}.$
Tangenta hiperbolică:
$\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x} e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x} 1}}$
Cotangenta hiperbolică, pentru $x \neq 0$ :
$\coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x} e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x} 1}{e^{2x}-1}}$
Secanta hiperbolică:
$\operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x} e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x} 1}}$
Cosecanta hiperbolică, pentru $x \neq 0$ :
$\operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}$

Definirea prin ecuații diferențiale

Funcțiile hiperbolice pot fi definite ca soluții ale ecuațiilor diferențiale: sinusul și cosinusul hiperbolic sunt soluția unică $(s, c)$ a sistemului:

{\begin{aligned}c'(x)&=s(x)\\s'(x)&=c(x)\end{aligned}}

astfel încât $s (0) = 0$ și $c (0) = 1$ .

(Condițiile inițiale $s(0)=0$ și $c(0)=1$ sunt necesare deoarece orice pereche de funcții de forma $(ae^{x} be^{-x},ae^{x}-be^{-x})$ este o soluție a celor două ecuații diferențiale.)

De asemenea, sinh x și cosh x sunt unica soluție a ecuației $f ″(x) = f (x)$ , astfel încât $f (0) = 1$ , $f'(0) = 0$ pentru cosinusul hiperbolic și $f (0) = 0$ , $f'(0) = 1$ pentru sinusul hiperbolic.

Definirea prin relații trigonometrice în planul complex

Funcțiile hiperbolice pot fi deduse din funcțiile trigonometrice de argument complex:

Sinusul hiperbolic:^[4]
$\sinh x=-i\sin(ix)$
Cosinusul hiperbolic:^[4]
$\cosh x=\cos(ix)$
Tangenta hiperbolică:
$\tanh x=-i\tan(ix)$
Cotangenta hiperbolică:
$\coth x=i\cot(ix)$
Secanta hiperbolică:
$\operatorname {sech} x=\sec(ix)$
Cosecanta hiperbolică:
$\operatorname {csch} x=i\csc(ix)$

unde $i$ este unitatea imaginară cu $i 2 = -1$ .

Definițiile de mai sus sunt legate de definițiile exponențiale prin formula lui Euler.

Proprietăți caracteristice

Cosinusul hiperbolic

Se poate arăta că aria de sub curba cosinusului hiperbolic (pe un interval finit) este întotdeauna egală cu lungimea arcului corespunzătoare acelui interval:^[10]

{\text{area}}=\int _{a}^{b}\cosh x\,dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {1 \left({\frac {d}{dx}}\cosh x\right)^{2}}}\,dx={\text{arc length.}}

Tangenta hiperbolică

Tangenta hiperbolică este unica soluție a ecuației diferențiale $f' = 1 - f 2$ , cu $f (0) = 0$ .^[11]^[12]

Relații uzuale

Funcțiile hiperbolice satisfac multe identități, toate similare ca formă cu identitățile trigonometrice. De fapt, regula lui Osborn^[13] afirmă că se poate converti orice identitate trigonometrică în $\theta$ , $2\theta$ , $3\theta$ sau $\theta$ și $\varphi$ într-o identitate hiperbolică prin dezvoltarea ei completă după puterile sinusurilor și cosinusurilor, schimbarea sinusurilor și cosinusurilor în cosinusuri, respectiv sinusuri hiperbolice și schimbarea semnului fiecărui termen care conține un produs din două sinusuri hiperbolice.

Funcții pare și impare:

{\begin{aligned}\sinh(-x)&=-\sinh x\\\cosh(-x)&=\cosh x\end{aligned}}

de unde:

{\begin{aligned}\tanh(-x)&=-\tanh x\\\coth(-x)&=-\coth x\\\operatorname {sech} (-x)&=\operatorname {sech} x\\\operatorname {csch} (-x)&=-\operatorname {csch} x\end{aligned}}

prin urmare $cosh x$ și $sech x$ sunt funcții pare; celelalte fiind impare.

{\begin{aligned}\operatorname {arsech} x&=\operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\operatorname {arcsch} x&=\operatorname {arsinh} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\operatorname {arcoth} x&=\operatorname {artanh} \left({\frac {1}{x}}\right)\end{aligned}}

Sinusul și cosinusul hiperbolic satisfac relațiile:

{\begin{aligned}\cosh x \sinh x&=e^{x}\\\cosh x-\sinh x&=e^{-x}\\\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x&=1\end{aligned}}

ultima fiind similară cu identitatea trigonometrică pitagoreică.

Între alte funcții există și relațiile:

{\begin{aligned}\operatorname {sech} ^{2}x&=1-\tanh ^{2}x\\\operatorname {csch} ^{2}x&=\coth ^{2}x-1\end{aligned}}

Formule pentru sume

{\begin{aligned}\sinh(x y)&=\sinh x\cosh y \cosh x\sinh y\\\cosh(x y)&=\cosh x\cosh y \sinh x\sinh y\\[6px]\tanh(x y)&={\frac {\tanh x \tanh y}{1 \tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}

în particular

{\begin{aligned}\cosh(2x)&=\sinh ^{2}{x} \cosh ^{2}{x}=2\sinh ^{2}x 1=2\cosh ^{2}x-1\\\sinh(2x)&=2\sinh x\cosh x\\\tanh(2x)&={\frac {2\tanh x}{1 \tanh ^{2}x}}\\\end{aligned}}

Și:

{\begin{aligned}\sinh x \sinh y&=2\sinh \left({\frac {x y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x \cosh y&=2\cosh \left({\frac {x y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}

Formule pentru diferențe

{\begin{aligned}\sinh(x-y)&=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y\\\cosh(x-y)&=\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y\\\tanh(x-y)&={\frac {\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}

Și:^[14]

{\begin{aligned}\sinh x-\sinh y&=2\cosh \left({\frac {x y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x-\cosh y&=2\sinh \left({\frac {x y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}

Formule pentru jumătatea argumentului

{\begin{aligned}\sinh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\sqrt {2(\cosh x 1)}}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{2}}}\\[6px]\cosh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\sqrt {\frac {\cosh x 1}{2}}}\\[6px]\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\cosh x 1}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{\cosh x 1}}}={\frac {e^{x}-1}{e^{x} 1}}\end{aligned}}

unde $sgn$ este semnul funcției.

Dacă $x \neq 0$ , atunci^[15]

\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\cosh x-1}{\sinh x}}=\coth x-\operatorname {csch} x

Formule pentru pătratul funcțiilor

{\begin{aligned}\sinh ^{2}x&={\frac {1}{2}}(\cosh 2x-1)\\\cosh ^{2}x&={\frac {1}{2}}(\cosh 2x 1)\end{aligned}}

Inegalități

Următoarea inegalitate este utilă în statistici:^[16] $\operatorname {cosh} (t)\leq e^{t^{2}/2}$

Ea poate fi demonstrată comparând termen cu termen seriile Taylor ale celor două funcții.

Funcțiile inverse ca logaritmi

{\begin{aligned}\operatorname {arsinh} (x)&=\ln \left(x {\sqrt {x^{2} 1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln \left(x {\sqrt {x^{2}-1}}\right)&&x\geqslant 1\\\operatorname {artanh} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1 x}{1-x}}\right)&&|x|<1\\\operatorname {arcoth} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x 1}{x-1}}\right)&&|x|>1\\\operatorname {arsech} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}} {\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)=\ln \left({\frac {1 {\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right)&&0<x\leqslant 1\\\operatorname {arcsch} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}} {\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}} 1}}\right)&&x\neq 0\end{aligned}}

Derivate

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sinh x&=\cosh x\\{\frac {d}{dx}}\cosh x&=\sinh x\\{\frac {d}{dx}}\tanh x&=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\\{\frac {d}{dx}}\coth x&=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}&&x\neq 0\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {sech} x&=-\tanh x\operatorname {sech} x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {csch} x&=-\coth x\operatorname {csch} x&&x\neq 0\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2} 1}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}&&1<x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&1<|x|\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}&&0<x<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1 x^{2}}}}}&&x\neq 0\end{aligned}}

Derivata a doua

Fiecare dintre funcțiile $sinh$ și $cosh$ este egală cu derivata a doua a lor, adică:

{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sinh x=\sinh x\,

{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\cosh x=\cosh x\,.

Toate funcțiile cu această proprietate sunt combinații liniare de $sinh$ și $cosh$ , în particular de funcțiile exponențiale $e^{x}$ și $e^{-x}$ .

Integrale

{\begin{aligned}\int \sinh(ax)\,dx&=a^{-1}\cosh(ax) C\\\int \cosh(ax)\,dx&=a^{-1}\sinh(ax) C\\\int \tanh(ax)\,dx&=a^{-1}\ln(\cosh(ax)) C\\\int \coth(ax)\,dx&=a^{-1}\ln(\sinh(ax)) C\\\int \operatorname {sech} (ax)\,dx&=a^{-1}\arctan(\sinh(ax)) C\\\int \operatorname {csch} (ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left(\tanh \left({\frac {ax}{2}}\right)\right) C=a^{-1}\ln \left|\coth(ax)-\operatorname {csch} (ax)\right| C\end{aligned}}

Următoarele integrale pot fi demonstate cu ajutorul substituției hiperbolice:

{\begin{aligned}\int {{\frac {1}{\sqrt {a^{2} u^{2}}}}\,du}&=\operatorname {arsinh} \left({\frac {u}{a}}\right) C\\\int {{\frac {1}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}\,du}&=\operatorname {arcosh} \left({\frac {u}{a}}\right) C\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {artanh} \left({\frac {u}{a}}\right) C&&u^{2}<a^{2}\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {arcoth} \left({\frac {u}{a}}\right) C&&u^{2}>a^{2}\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arsech} \left({\frac {u}{a}}\right) C\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2} u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arcsch} \left|{\frac {u}{a}}\right| C\end{aligned}}

unde C este constanta de integrare.

Dezvoltări în serie Taylor

Funcțiile de mai sus pot fi dezvoltate în serie Taylor la zero (sau serie Laurent, dacă funcția nu este definită în zero).

\sinh x=x {\frac {x^{3}}{3!}} {\frac {x^{5}}{5!}} {\frac {x^{7}}{7!}} \cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n 1}}{(2n 1)!}}

Această serie este convergentă pentru orice valoare complexă a $x$ . Deoarece funcția $sinh x$ este impară, numai exponenții impari ai lui $x$ apar în seria sa Taylor.

\cosh x=1 {\frac {x^{2}}{2!}} {\frac {x^{4}}{4!}} {\frac {x^{6}}{6!}} \cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}

Această serie este convergentă pentru orice valoare complexă a $x$ . Deoarece funcția $cosh x$ este pară, numai exponenții pari ai lui $x$ apar în seria sa Taylor.

Suma seriilor sinh și cosh este expresia seriei infinite a funcției exponențiale.

Următoarele serii sunt urmate de o descriere a unui subdomeniu al domeniului convergenței lor, în care seria este convergentă și suma sa este egală cu funcția.

{\begin{aligned}\tanh x&=x-{\frac {x^{3}}{3}} {\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}} \cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\coth x&=x^{-1} {\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}} {\frac {2x^{5}}{945}} \cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \\\operatorname {sech} \,x&=1-{\frac {x^{2}}{2}} {\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}} \cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\operatorname {csch} \,x&=x^{-1}-{\frac {x}{6}} {\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}} \cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \end{aligned}}

unde:

B_{n}\,

este al n-lea număr Bernoulli

E_{n}\,

este al n-lea număr Euler

Comparație cu funcțiile trigonometrice

Funcțiile hiperbolice sunt o generalizare a trigonometriei dincolo de funcțiile trigonometrice. Ambele tipuri sunt în funcție de un argument, unghi, respectiv unghi hiperbolic.

Deoarece aria unui sector de cerc cu raza r și unghiul u (în radiani) este ${\frac {r^{2}u}{2}}$ , ea va fi egală cu u când r = √2. În diagramă, un astfel de cerc este tangent la hiperbola "xy" = 1 în (1,1). Sectorul portocaliu descrie o zonă și un unghi. Similar, sectoarele portocaliu și roșu prezintă împreună zona și mărimea unghiului hiperbolic.

Catetele opuse unghiului ale celor două triunghiuri dreptunghice cu ipotenuza pe rază au lungimea de √2 ori funcțiile trigonometrică, respectiv hiperbolică.

Unghiul hiperbolic este invariant la o rotație hiperbolică, la fel cum unghiul (trigonometric) este invariant la o rotație.^[17]

Funcția Gudermann oferă o relație directă între funcțiile trigonometrice și cele hiperbolice care nu implică numere complexe.

Graficul funcției a cosh(x/a) este lănțișorul, curba formată sub acțiunea gravitației uniforme de un lanț flexibil uniform, liber, agățat doar între două puncte fixe.

Relația cu funcția exponențială

Funcțiile hiperbolice se pot defini algebric in absența considerentelor geometrice legate de hiperbolă folosind funcția exponențială de argumente x și -x. Acest procedeu permite deducerea identităților:

e^{x}=\cosh x \sinh x,

și

e^{-x}=\cosh x-\sinh x.

Prima este analogă cu formula lui Euler

e^{ix}=\cos x i\sin x.

În plus,

e^{x}={\sqrt {\frac {1 \tanh x}{1-\tanh x}}}={\frac {1 \tanh {\frac {x}{2}}}{1-\tanh {\frac {x}{2}}}}

Funcții hiperbolice pentru numere complexe

Deoarece funcția exponențială poate fi definită pentru orice argument complex, definițiile funcțiilor hiperbolice pot fi extise la argumente complexe. Funcțiile sinh z și cosh z sunt atunci olomorfe.

Relațiile cu funcțiile trigonometrice obișnuite sunt date de formula lui Euler pentru numerele complexe:

{\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x i\sin x\\e^{-ix}&=\cos x-i\sin x\end{aligned}}

deci:

{\begin{aligned}\cosh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix} e^{-ix}\right)=\cos x\\\sinh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\cosh(x iy)&=\cosh(x)\cos(y) i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x iy)&=\sinh(x)\cos(y) i\cosh(x)\sin(y)\\\tanh(ix)&=i\tan x\\\cosh x&=\cos(ix)\\\sinh x&=-i\sin(ix)\\\tanh x&=-i\tan(ix)\end{aligned}}

Astfel, funcțiile hiperbolice sunt periodice în raport cu componenta imaginară, cu perioada $2\pi i\,$ ( $\pi i\,$ pentru tangenta și cotangenta hiperbolică).

Funcții hiperbolice în planul complex

$\operatorname {sinh} (z)$	$\operatorname {cosh} (z)$	$\operatorname {tanh} (z)$	$\operatorname {coth} (z)$	$\operatorname {sech} (z)$	$\operatorname {csch} (z)$

Note

^ ^a ^b Remus Răduleț și colab. Lexiconul Tehnic Român, ediția a doua, Editura Tehnică, București, 1957-1966, „funcții hiperbolice”
^ ^a ^b ^c Octavian Mircia Gurzău, Curs scurt de matematici speciale], Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca, 2017, accesat 2021-03-29
^ en „Comprehensive List of Algebra Symbols”. Math Vault. 25 martie 2020. Accesat în 29 august 2020.
^ ^a ^b ^c ^d en Weisstein, Eric W. „Hyperbolic Functions”. mathworld.wolfram.com. Accesat în 29 august 2020.
^ ^a ^b en (1999) Collins Concise Dictionary, 4th edition, HarperCollins, Glasgow, ISBN: 0 00 472257 4
^ en Niven, Ivan (1985). Irrational Numbers. 11. Mathematical Association of America. ISBN 9780883850381. JSTOR 10.4169/j.ctt5hh8zn.
^ en Robert E. Bradley, Lawrence A. D'Antonio, Charles Edward Sandifer. Euler at 300: an appreciation. Mathematical Association of America, 2007. Page 100.
^ en Georg F. Becker. Hyperbolic functions. Read Books, 1931. Page xlviii.
^ en „Hyperbolic Functions”. www.mathsisfun.com. Accesat în 29 august 2020.
^ en N.P., Bali (2005). Golden Integral Calculus. Firewall Media. p. 472. ISBN 81-7008-169-6.
^ en Willi-hans Steeb (2005). Nonlinear Workbook, The: Chaos, Fractals, Cellular Automata, Neural Networks, Genetic Algorithms, Gene Expression Programming, Support Vector Machine, Wavelets, Hidden Markov Models, Fuzzy Logic With C , Java And Symbolicc Programs (3rd Edition). World Scientific Publishing Company. p. 281. ISBN 978-981-310-648-2. Extract of page 281 (using lambda=1)
^ en Keith B. Oldham; Jan Myland; Jerome Spanier (2010). An Atlas of Functions: with Equator, the Atlas Function Calculator (ed. 2nd, illustrated). Springer Science & Business Media. p. 290. ISBN 978-0-387-48807-3. Extract of page 290
^ en Osborn, G. (iulie 1902). „Mnemonic for hyperbolic formulae”. The Mathematical Gazette. 2 (34): 189. doi:10.2307/3602492. JSTOR 3602492.
^ en Martin, George E. (1986). The foundations of geometry and the non-euclidean plane (ed. 1st corr.). New York: Springer-Verlag. p. 416. ISBN 3-540-90694-0.
^ en „Prove the identity”. StackExchange (mathematics). Accesat în 24 ianuarie 2016.
^ en Audibert, Jean-Yves (2009). „Fast learning rates in statistical inference through aggregation”. The Annals of Statistics. p. 1627. [1]
^ en Mellen W. Haskell, "On the introduction of the notion of hyperbolic functions", Bulletin of the American Mathematical Society 1:6:155–9, full text

Legături externe

Materiale media legate de Funcții hiperbolice la Wikimedia Commons
en Hyperbolic functions la PlanetMath
en GonioLab: Visualization of the unit circle, trigonometric and hyperbolic functions (Java Web Start)
en Web-based calculator of hyperbolic functions

Portal Matematică

[LTR-1] Remus Răduleț și colab. Lexiconul Tehnic Român, ediția a doua, Editura Tehnică, București, 1957-1966, „funcții hiperbolice”

[G-2] Octavian Mircia Gurzău, Curs scurt de matematici speciale], Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca, 2017, accesat 2021-03-29

[:0-3] „Comprehensive List of Algebra Symbols”. Math Vault. 25 martie 2020. Accesat în 29 august 2020.

[:1-4] Weisstein, Eric W. „Hyperbolic Functions”. mathworld.wolfram.com. Accesat în 29 august 2020.

[D-5] (1999) Collins Concise Dictionary, 4th edition, HarperCollins, Glasgow, ISBN: 0 00 472257 4

[6] Niven, Ivan (1985). Irrational Numbers. 11. Mathematical Association of America. ISBN 9780883850381. JSTOR 10.4169/j.ctt5hh8zn.

[7] Robert E. Bradley, Lawrence A. D'Antonio, Charles Edward Sandifer. Euler at 300: an appreciation. Mathematical Association of America, 2007. Page 100.

[8] Georg F. Becker. Hyperbolic functions. Read Books, 1931. Page xlviii.

[:2-9] „Hyperbolic Functions”. www.mathsisfun.com. Accesat în 29 august 2020.

[10] N.P., Bali (2005). Golden Integral Calculus. Firewall Media. p. 472. ISBN 81-7008-169-6.

[11] Willi-hans Steeb (2005). Nonlinear Workbook, The: Chaos, Fractals, Cellular Automata, Neural Networks, Genetic Algorithms, Gene Expression Programming, Support Vector Machine, Wavelets, Hidden Markov Models, Fuzzy Logic With C , Java And Symbolicc Programs (3rd Edition). World Scientific Publishing Company. p. 281. ISBN 978-981-310-648-2. Extract of page 281 (using lambda=1)

[12] Keith B. Oldham; Jan Myland; Jerome Spanier (2010). An Atlas of Functions: with Equator, the Atlas Function Calculator (ed. 2nd, illustrated). Springer Science & Business Media. p. 290. ISBN 978-0-387-48807-3. Extract of page 290

[Osborn,_1902-13] Osborn, G. (iulie 1902). „Mnemonic for hyperbolic formulae”. The Mathematical Gazette. 2 (34): 189. doi:10.2307/3602492. JSTOR 3602492.

[14] Martin, George E. (1986). The foundations of geometry and the non-euclidean plane (ed. 1st corr.). New York: Springer-Verlag. p. 416. ISBN 3-540-90694-0.

[15] „Prove the identity”. StackExchange (mathematics). Accesat în 24 ianuarie 2016.

[16] Audibert, Jean-Yves (2009). „Fast learning rates in statistical inference through aggregation”. The Annals of Statistics. p. 1627. [1]

[17] Mellen W. Haskell, "On the introduction of the notion of hyperbolic functions", Bulletin of the American Mathematical Society 1:6:155–9, full text

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]