Extindere algebrică

În algebră abstractă, o extindere de corp L/K se numește algebrică dacă fiecare element din L este algebric peste K, adică dacă fiecare element din L este o rădăcină a unor polinom nenul cu coeficienți în K.^[1]^[2] Extinderile de corp care nu sunt algebrice, adică care conțin elemente transcendente se numesc transcendente.^[3]^[4]

De exemplu, extinderea de corp R/Q, care este corpul numerelor reale ca extindere a corpului numerelor raționale, este transcendent,^[5] deoarece corpul extinderilor C/R^[6] și Q(√2)/Q^[7] este algebric, unde C este corpul numerelor complexe.

Toate extinderile transcendente sunt de grad infinit. Acest lucru implică faptul că toate extinderile finite sunt algebrice.^[8] Inversa nu este adevărată: există extinderi infinite care sunt algebrice.^[9] De exemplu corpul numerelor algebrice este o extindere algebrică infinită a numerelor raționale.^[10]

Fie E o extindere a corpului K, iar a ∈ E. Dacă a este algebric peste K, atunci K(a), mulțimea tuturor polinoamelor în a cu coeficienți în K, este nu numai un inel, ci un corp: K(a) este o extindere algebrică a lui K care are un grad finit peste K.^[11] Inversa nu este adevărată. Q[ $π$ ] și Q[e] sunt corpuri, dar $π$ și $e$ sunt transcendente peste Q.^[12]

Toate corpurile algebric închise F nu au extinderi algebrice proprii, adică nu au extinderi algebrice E cu F < E.^[13] Un exemplu este corpul numerelor complexe. Fiecare corp are o extindere algebrică care este închisă algebric (numită închidere algebrică), dar pentru a demonstra acest lucru în general este nevoie de o formă a axiomei alegerii.^[14]

O extindere L/K este algebrică dacă și numai dacă orice K-subalgebră a L este un corp.

Properietăți

Clasa extinderilor algebrice formează o clasă distinctă de extinderi de corp, extinderi care au următoarele trei proprietăți:^[15]

Dacă E este o extindere algebrică a lui F iar F este o extindere algebrică a lui K, atunci E este o extindere algebrică a lui K.
Dacă E și F sunt extinderi algebrice ale lui K într-un supracorp comun C, atunci produsul tensorial de corpuri^⁠(d) EF este o extindere algebrică a lui K.
Dacă E este o extindere algebrică a lui F iar E>K>F atunci E este o extindere algebrică a lui K.

Aceste rezultate pot fi generalizate folosind inducția transfinită:

Reuniunea oricărui lanț de extinderi algebrice peste un corp de bază este ea însăși o extindere algebrică peste același corp de bază.

Acest fapt, împreună cu lema lui Zorn (aplicate la o mulțime parțial ordonată corespunzătoare), stabilește existența închiderilor algebrice.

Generalizări

Teoria modelelor^⁠(d) generalizează noțiunea de extindere algebrică la teorii arbitrare: o încorporare a M în N se numește extindere algebrică dacă pentru fiecare x din N există o formulă^⁠(d) p cu parametri în M, astfel încât p(x) este adevărată iar mulțimea

\left\{y\in N\mid p(y)\right\}

este finită. Se pare că aplicarea acestei definiții la teoria corpurilor oferă definiția obișnuită a extinderii algebrice. Grupul Galois^⁠(d) al N peste M poate fi din nou definit ca grup de automorfisme, și reiese că majoritatea teoriei grupurilor Galois poate fi dezvoltată pentru cazul general.

Note

^ en Fraleigh (2014), Definition 31.1, p. 283.
^ en Malik, Mordeson, Sen (1997), Definition 21.1.23, p. 453.
^ en Fraleigh (2014), Definition 29.6, p. 267.
^ en Malik, Mordeson, Sen (1997), Theorem 21.1.8, p. 447.
^ en Malik, Mordeson, Sen (1997), Example 21.1.17, p. 451.
^ Malik, Mordeson, Sen (1997), Theorem 21.1.8, p. 447.
^ en Fraleigh (2014), Example 31.8, p. 285.
^ en See also Hazewinkel et al. (2004), p. 3.
^ en Fraleigh (2014), Theorem 31.18, p. 288.
^ en Fraleigh (2014), Corollary 31.13, p. 287.
^ en Fraleigh (2014), Theorem 30.23, p. 280.
^ en Fraleigh (2014), Example 29.8, p. 268.
^ en Fraleigh (2014), Corollary 31.16, p. 287.
^ en Fraleigh (2014), Theorem 31.22, p. 290.
^ en Lang (2002) p.228

Vezi și

extindere normală

Bibliografie

en Fraleigh, John B. (2014), A First Course in Abstract Algebra, Pearson, ISBN 978-1-292-02496-7
en Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna; Kirichenko, Vladimir V. (2004), Algebras, rings and modules, 1, Springer, ISBN 1-4020-2690-0
en Lang, Serge (1993), „V.1:Algebraic Extensions”, Algebra (ed. Third), Reading, Mass.: Addison-Wesley, pp. 223ff, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
en Malik, D. B.; Mordeson, John N.; Sen, M. K. (1997), Fundamentals of Abstract Algebra, McGraw-Hill, ISBN 0-07-040035-0
en McCarthy, Paul J. (1991) [corrected reprint of 2nd edition, 1976], Algebraic extensions of fields, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-66651-4, Zbl 0768.12001
en Roman, Steven (1995), Field Theory, GTM 158, Springer-Verlag, ISBN 9780387944081
en Rotman, Joseph J. (2002), Advanced Modern Algebra, Prentice Hall, ISBN 9780130878687

Portal Matematică

[1] Fraleigh (2014), Definition 31.1, p. 283.

[2] Malik, Mordeson, Sen (1997), Definition 21.1.23, p. 453.

[3] Fraleigh (2014), Definition 29.6, p. 267.

[4] Malik, Mordeson, Sen (1997), Theorem 21.1.8, p. 447.

[5] Malik, Mordeson, Sen (1997), Example 21.1.17, p. 451.

[6] Malik, Mordeson, Sen (1997), Theorem 21.1.8, p. 447.

[7] Fraleigh (2014), Example 31.8, p. 285.

[8] See also Hazewinkel et al. (2004), p. 3.

[9] Fraleigh (2014), Theorem 31.18, p. 288.

[10] Fraleigh (2014), Corollary 31.13, p. 287.

[11] Fraleigh (2014), Theorem 30.23, p. 280.

[12] Fraleigh (2014), Example 29.8, p. 268.

[13] Fraleigh (2014), Corollary 31.16, p. 287.

[14] Fraleigh (2014), Theorem 31.22, p. 290.

[15] Lang (2002) p.228

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]