Coeficient binomial

În matematică, coeficienții binomiali sunt coeficienții întregi $\textstyle {n \choose k}$ care apar pe lângă termenii din dezvoltarea binomului lui Newton:

(a b)^{n}=\textstyle {n \choose 0}a^{n} {n \choose 1}a^{n-1}b {n \choose 2}a^{n-2}b^{2} \cdots  {n \choose n-1}ab^{n-1} {n \choose n}b^{n}.

Spre exemplu, pentru $n=4$ , deoarece

(a b)^{4}=1\times a^{4} 4\times a^{3}b 6\times a^{2}b^{2} 4\times ab^{3} 1\times b^{4},

avem $\textstyle {4 \choose 0}=1$ , $\textstyle {4 \choose 1}=4$ , $\textstyle {4 \choose 2}=6$ , $\textstyle {4 \choose 2}=6$ , $\textstyle {4 \choose 3}=4$ și $\textstyle {4 \choose 2}=1.$ Aranjate într-un tablou, acești coeficienți formează triunghiul lui Pascal.

	$k$ = 0	$k$ = 1	$k$ = 2	$k$ = 3	$k$ = 4	$k$ = 5	...
$n$ = 0	1	0	0	0	0	0	...
$n$ = 1	1	1	0	0	0	0	...
$n$ = 2	1	2	1	0	0	0	...
$n$ = 3	1	3	3	1	0	0	...
$n$ = 4	1	4	6	4	1	0	...

Coeficientul binomial $\textstyle {n \choose k}$ este egal cu numărul de $k$ -combinări de $n$ elemente, adică cu numărul de moduri de a lua $k$ elemente distincte printre $n$ , fără ordine. Din acest motiv, notația $\textstyle {n \choose k}$ se citește „ $n$ luate câte $k$ ”.

Coeficienții binomiali pot fi exprimați compact cu numere factoriale, drept

{n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}.

unde $n!=1\times 2\times 3\times \cdots \times n$ este numărul „factorial $n$ ”.

Coeficienții binomiale au un rol important în multe ramuri ale matematicii, mai ales în combinatorică și în domenii legate.

Notații

Notația cea mai comună pentru coeficientul binomial „ $n$ luate câte $k$ ” este notația $\textstyle {n \choose k},$ introdusă de matematicianul austriac Andreas von Ettingshausen în 1826. ^{[necesită citare]} Însă, există și notația