Pavare triunghiulară de ordinul 7
| Pavare triunghiulară de ordinul 7 | |
 | |
| Pe modelul discului Poincaré al planului hiperbolic | |
| Descriere | |
|---|---|
| Tip | pavare hiperbolică |
| Configurația vârfului | 3.3.3.3.3.3.3 (sau 37) |
| Configurația feței | V7.7.7 (sau V73) |
| Simbol Wythoff | 7 | 3 2 |
| Simbol Schläfli | {3,7} |
| Diagramă Coxeter |     |
| Grup de rotație | [7,3] , (732) |
| Poliedru dual | pavare heptagonală de ordinul 3 |
| Figura vârfului | |
 | |
În geometrie pavarea triunghiulară de ordinul 7 este o pavare hiperbolică regulată a planului hiperbolic cu simbolul Schläfli {3,7}, având șapte triunghiuri regulate în jurul fiecărui vârf.
Suprafețe Hurwitz
modificareGrupul de simetrie al pavării este Grupul triunghiului (2,3,7), iar domeniul său fundamental este triunghiul Schwarz (2,3,7). Acesta este cel mai mic triunghi Schwarz hiperbolic și, prin urmare, prin demonstrarea teoremei lui Hurwitz despre automorfisme, pavarea triunghiulară de ordinul 7 este pavarea universală care acoperă toate suprafețele Hurwitz (suprafețele Riemann cu grup de simetrie maxim), formând o triangulare al cărei grup de simetrie este egal cu grupul lor de automorfism ca suprafețe Riemann.
Cea mai mică dintre acestea este cvartica Klein(d), cea mai simetrică suprafață de genul 3, împreună cu o pavare cu 56 de triunghiuri, întâlnindu-se în 24 de vârfuri, cu grupul de simetrie grupul simplu de ordinul 168, cunoscut sub numele de PSL(2,7). Suprafața rezultată poate fi, la rândul său, imersată(d) poliedric în spațiul euclidian tridimensional, rezultând micul cubicuboctaedru.[1]
Duala sa, pavarea heptagonală de ordinul 3, are același grup de simetrie, generând astfel pavări heptagonale ale suprafețelor Hurwitz.
 Grupul de simetrie al pavării triunghiulare de ordinul 7 are domeniul fundamental triunghiul Schwarz (2,3,7), care duce la aceasta |
 Micul cubicuboctaedru este o imersiune poliedrică a cvarticei Klein,[1] care, ca toate suprafețele Hurwitz, este un spațiu cât al acestei pavări |
Poliedre și pavări înrudite
modificareEste înrudită cu două pavări stelate prin același aranjament al vârfurilor: pavare heptagramică de ordinul 7, {7/2,7} și pavarea heptagonală de ordin heptagramic, {7,7/2}.
Este legată topologic ca parte a secvenței de poliedre regulate cu simbolul Schläfli {3,p}.
| Variante de pavări regulate cu simetrie: *n32 | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Sferice | Euclid. | Hiperb. compacte | Paraco. | Hiperbolice necompacte | |||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 3.3 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 3∞ | 312i | 39i | 36i | 33i |
Este parte a seriei regulate {n,7}:
| Pavări de forma {n,7} | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Sferică | Pavări hiperbolice | |||||||
 {2,7}    
|
{3,7} 
|
 {4,7} 
|
 {5,7} 
|
 {6,7} 
|
 {7,7}
|
 {8,7} 
|
... |  {∞,7} 
|
Dintr-o construcție Wythoff se obțin opt pavări uniforme ale planului hiperbolic, care pot fi bazate pe pavarea heptagonală regulată și pavarea triunghiulară de ordinul 7.
Desenând dalele colorate în roșu pe fețele originale, galben la vârfurile originale și albastru de-a lungul laturilor, există 8 forme.
| Pavări heptagonale/triunghiulare uniforme | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Simetrie: [7,3], (*732) | [7,3] , (732) | ||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
| {7,3} | t{7,3} | r{7,3} | t{3,7} | {3,7} | rr{7,3} | tr{7,3} | sr{7,3} | ||||
| Dualele celor de mai sus | |||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
| V73 | V3.14.14 | V3.7.3.7 | V6.6.7 | V37 | V3.4.7.4 | V4.6.14 | V3.3.3.3.7 | ||||
Note
modificare- ^ a b en (Richter) Fiecare față din poliedru este formată din mai multe fețe în pavare — două fețe triunghiulare formează o față pătrată, v. această imagine Arhivat în , la Wayback Machine.
Bibliografie
modificare- en John Horton Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN: 978-1-56881-220-5 (Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)
- en „Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space”. The Beauty of Geometry: Twelve Essays. Dover Publications. . ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678.
- en Richter, David A., How to Make the Mathieu Group M24, arhivat din original la , accesat în
Legături externe
modificare
Materiale media legate de pavare triunghiulară de ordinul 7 la Wikimedia Commons- en Eric W. Weisstein, Hyperbolic tiling la MathWorld.
- en Eric W. Weisstein, Poincaré hyperbolic disk la MathWorld.
- en Hyperbolic and Spherical Tiling Gallery Arhivat în , la Wayback Machine.
- en KaleidoTile 3: Educational software to create spherical, planar and hyperbolic tilings
- en Don Hatch, Hyperbolic Planar Tessellations
