Pavare pătrată
Pavare pătrată | |
Descriere | |
---|---|
Tip | pavare uniformă |
Configurația vârfului | 4.4.4.4 (sau 44) |
Configurația feței | V4.4.4.4 (sau V44) |
Simbol Wythoff | 4 | 2 4 |
Simbol Schläfli | {4,4} {∞}×{∞} |
Diagramă Coxeter | |
Grup de simetrie | p4m, [4,4], (*442) |
Grup de rotație | p4, [4,4] , (442) |
Poliedru dual | autoduală |
Proprietăți | tranzitivă pe fețe, pe laturi și pe vârfuri |
Figura vârfului | |
În geometrie pavarea pătrată, teselarea pătrată sau grila pătrată este o pavare regulată a planului euclidian. Are simbolul Schläfli {4,4}, ceea ce înseamnă că are 4 pătrate în jurul fiecărui vârf.
Unghiul intern al pătratului este de 90°, astfel încât patru pătrate în jurul unui punct acoperă 360°. Este una dintre cele trei pavări regulate ale planului. Celelalte două sunt pavarea triunghiulară și pavarea hexagonală.
Colorarea uniformă
modificareExistă 9 colorări uniforme distincte ale unei pavări pătrate. Enumerarea culorilor prin indici pe cele 4 pătrate din jurul unui vârf este: 1111, 1112(i), 1112(ii), 1122, 1123(i), 1123(ii), 1212, 1213, 1234. Cazurile (i) au simetrie de reflexie simplă, iar cele (ii) simetrie de reflexie translată. Trei pot fi văzute în același domeniu de simetrie drept colorări reduse: 1112i din 1213, 1123i din 1234 și 1112ii redus de la 1123ii.
9 colorări uniforme | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1111 | 1212 | 1213 | 1112i | 1122 | |||||||
p4m (*442) | p4m (*442) | pmm (*2222) | |||||||||
1234 | 1123i | 1123ii | 1112ii | ||||||||
pmm (*2222) | cmm (2*22) |
Poliedre și pavări înrudite
modificareAceastă pavare este legată din punct de vedere topologic ca parte a secvenței de poliedre și pavări regulate, extinzându-se în planul hiperbolic: {4,p}, p=3,4,5...
Variante de pavări regulate cu simetria *n42: {4,n} | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Sferică | Euclidiană | Hiperbolice compacte | Paracomp. | ||||||||
{4,3} |
{4,4} |
{4,5} |
{4,6} |
{4,7} |
{4,8}... |
{4,∞} |
Această pavare este, de asemenea, legată din punct de vedere topologic, ca parte a secvenței de poliedre regulate și pavări cu patru fețe pe vârf, începând cu octaedrul, cu simbolul Schläfli {n,4} și diagrama Coxeter , cu n progresând la infinit.
Variante de pavări regulate cu simetria *n42: {n,4} | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Sferice | Euclidiană | Pavări hiperbolice | |||||
24 | 34 | 44 | 54 | 64 | 74 | 84 | ...∞4 |
Variante de pavări cvasiregulate duale: V(4.n)2 | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Simetrie *4n2 [n,4] |
Sferică | Euclidiană | Hiperbolice compacte | Paracompactă | Necompactă | ||||||
*342 [3,4] |
*442 [4,4] |
*542 [5,4] |
*642 [6,4] |
*742 [7,4] |
*842 [8,4]... |
*∞42 [∞,4] |
[iπ/λ,4] | ||||
Pavare Conf. |
V4.3.4.3 |
V4.4.4.4 |
V4.5.4.5 |
V4.6.4.6 |
V4.7.4.7 |
V4.8.4.8 |
V4.∞.4.∞ |
V4.∞.4.∞ |
Variante de pavări expandate cu simetrii orbifold *n42: n.4.4.4 | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Simetrie *n42 [n,4] |
Sferică | Euclidiană | Hiperbolice compacte | Paracomp. | |||||||
*342 [3,4] |
*442 [4,4] |
*542 [5,4] |
*642 [6,4] |
*742 [7,4] |
*842 [8,4] |
*∞42 [∞,4] | |||||
Figuri expandate |
|||||||||||
Config. | 3.4.4.4 | 4.4.4.4 | 5.4.4.4 | 6.4.4.4 | 7.4.4.4 | 8.4.4.4 | ∞.4.4.4 | ||||
Figuri rombice config. |
V3.4.4.4 |
V4.4.4.4 |
V5.4.4.4 |
V6.4.4.4 |
V7.4.4.4 |
V8.4.4.4 |
V∞.4.4.4 |
Construcții Wythoff la pavarea pătrata
modificareCa și la poliedrele uniforme, există opt pavări uniforme care pot fi bazate pe pavarea pătrată regulată.
Desenând dalele colorate cu roșu pe fețele originale, galbene în vârfurile originale și albastre de-a lungul laturilor originale, toate cele 8 forme sunt distincte. Totuși, tratând fețele în mod identic, există doar trei forme distincte din punct de vedere topologic: pavare pătrată, pavare pătrată trunchiată și pavare pătrată snub.
Pavări uniforme cu simetria pavării părate | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Simetrie: [4,4], (*442) | [4,4] , (442) | [4,4 ], (4*2) | |||||||||
{4,4} | t{4,4} | r{4,4} | t{4,4} | {4,4} | rr{4,4} | tr{4,4} | sr{4,4} | s{4,4} | |||
Duale uniforme | |||||||||||
V4.4.4.4 | V4.8.8 | V4.4.4.4 | V4.8.8 | V4.4.4.4 | V4.4.4.4 | V4.8.8 | V3.3.4.3.4 |
Pavări topologic echivalente
modificarePavările izoedrice au fețe identice (sunt tranzitive pe fețe) și pe vârfuri, există 18 variante, cu 6 identificate prin triunghiuri care nu se conectează „latură la latură”, sau ca patrulatere cu două laturi coliniare. Simetria dată presupune că toate fețele sunt de aceeași culoare.[1]
Pot fi realizate și alte pavări cu patrulatere, care sunt echivalente din punct de vedere topologic cu pătratele (4 patrulatere în jurul fiecărui vârf).
O variantă izogonală cu două tipuri de fețe, văzute ca o pavare pătrată snub cu perechi de triunghiuri combinate în romburi | Pavările pătrate topologice pot fi realizate cu fețe concave și cu mai mult de o latură în comun la două fețe; această variantă are 3 laturi comune | O variantă 2-izoedrică cu fețe rombice |
Pătrat p4m, (*442) |
Patrulater p4g, (4*2) |
Dreptunghi pmm, (*2222) |
Paralelogram p2, (2222) |
Paralelogram pmg, (22*) |
Romb cmm, (2*22) |
Romb pmg, (22*) |
---|---|---|---|---|---|---|
Trapez cmm, (2*22) |
Patrulater pgg, (22×) |
Romboid pmg, (22*) |
Patrulater pgg, (22×) |
Patrulater p2, (2222) |
Isoscele pmg, (22*) |
Isoscele pgg, (22×) |
Scalene pgg, (22×) |
Scalene p2, (2222) |
---|
Note
modificare- ^ en Grünbaum, Tilings and Patterns, p. 473–481 (din lista de 107 de pavări izoedrice)
Bibliografie
modificare- en Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN: 0-486-61480-8 p. 296, Table II: Regular honeycombs
- en Klitzing, Richard. „2D Euclidean tilings o4o4x - squat - O1”.
- en Williams, Robert (). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. p. 36. ISBN 0-486-23729-X.
- en Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (). Tilings and Patterns . New York: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-1193-1. (Chapter 2.1: Regular and uniform tilings, p. 58-65)
- en John Horton Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things 2008, ISBN: 978-1-56881-220-5 [1]
Legături externe
modificare- Materiale media legate de pavare pătrată la Wikimedia Commons
- en Eric W. Weisstein, Square Grid la MathWorld.
- en Eric W. Weisstein, Regular tessellation la MathWorld.
- en Eric W. Weisstein, Uniform tessellation la MathWorld.
Faguri convecși regulați și uniformi în dimensiunile 2–8 | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Spațiu | Familia | / / | ||||
E2 | Pavare uniformă | {3[3]} | δ3 | hδ3 | qδ3 | Hexagonală |
E3 | Fagure convex uniform | {3[4]} | δ4 | hδ4 | qδ4 | |
E4 | 4-fagure uniform | {3[5]} | δ5 | hδ5 | qδ5 | Fagure 24-celule |
E5 | 5-fagure uniform | {3[6]} | δ6 | hδ6 | qδ6 | |
E6 | 6-fagure uniform | {3[7]} | δ7 | hδ7 | qδ7 | 222 |
E7 | 7-fagure uniform | {3[8]} | δ8 | hδ8 | qδ8 | 133 • 331 |
E8 | 8-fagure uniform | {3[9]} | δ9 | hδ9 | qδ9 | 152 • 251 • 521 |
En-1 | (n−1)-fagure uniform | {3[n]} | δn | hδn | qδn | 1k2 • 2k1 • k21 |