Octagramă

În geometrie o octagramă este un poligon stelat cu opt vârfuri cu simbolul Schläfli {8/3}.

Octagramă regulată
Tip	poligon stelat regulat
Laturi și vârfuri	8
Simbol Schläfli	{8/3}
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	Diedrală (D8)
Arie	0,485 a2 (a = latura)
Unghi interior (grade)	45

Denumirea de octagramă vine de la prefixul numeric grecesc „octa-” și sufixul din greacă γραμμή, care înseamnă „linie”.

Detalii

În general, o octagramă este orice octogon (poligon cu 8 laturi) care se autointersectează.

Octagrama regulată are simbolul Schläfli {8/3}, ceea ce înseamnă o stea cu 8 laturi, cu laturile conectate din trei în trei vârfuri.

Aria sa pentru lungimea laturii a este:

$A=(6{\sqrt {2}}-8)\,a^{2}\approx 0,485281~a^{2}$

Diferite proporții într-o octagramă regulată cu lungimea laturilor egală cu 1

Variante

Aceste varante au o simetrie diedrală inferioară, Dih₄:

Îngustă Lată (rotită cu 45°)

Izotoxală

Vechiul drapel al Chile conținea această stea octogonală cu laturile invizibile (Guñelve).

Geometria poate fi ajustată astfel încât 3 laturi să se intersecteze într-un singur punct, cum ar fi în simbolul Auseklis

Roza vânturilor cu 8 direcții poate fi văzută ca o stea octogonală, cu 4 puncte principale și 4 puncte secundare.

Simbolul Rub el Hizb este caracterul ۞ Unicode U 06DE.

Ca pătrat cvasitrunchiat

Trunchieri mai mari ale pătratului pot produce forme de poligoane stelate intermediare izogonale (tranzitive pe vârfuri) cu vârfuri egal distanțate și laturi de două lungimi. Un pătrat trunchiat este un octogon, t{4}={8}. Un pătrat cvasitrunchiat, inversat ca {4/3}, este o octagramă, t{4/3}={8/3}.

Poliedrul stelat hexaedru trunchiat stelat, t'{4,3} = t{4/3,3} are fețe octagramice construite din cub. Din acest motiv poate fi considerat ca un analog tridimensional al octagramei.

Trunchieri izogonale ale pătratului și cubului

Regulat	Cvasiregulat	Izogonal	Cvasiregulat
{4}	t{4}={8}		t'{4}=t{4/3}={8/3}
Regulate	Uniform	Izogonal	Uniform
{4,3}	t{4,3}		t'{4,3}=t{4/3,3}

O altă versiune tridimensională a octagramei este marele rombicuboctaedru neconvex (cvasirombicuboctaedrul), care poate fi considerat un cub cvasicantelat (cvasiexpandat), t_0,2{4/3,3}.

Compuși poligonali stelați

Există două stelări octagramice regulate (compuși) de forma {8/k}, prima construită din două pătrate {8/2}=2{4} și a doua din patru digoane degenerate, {8 /4}=4{2}. Există și alți compuși izogonali și izotaxali, inclusiv forme dreptunghiulare și rombice.

Regulate		Izogonale		Izotoxal
a{8}={8/2}=2{4}	{8/4}=4{2}

{8/2} sau 2{4}, ca diagramele Coxeter , pot fi văzute drept echivalentul bidimensional al compusului de cub și octaedru tridimensional, , al compusului de tesseract și 16-celule cvadridimensional, , respectiv al compusului de 5-cub și 5-ortoplex pentadimensional, adică a compusului de n-cub și n-ortoplex în pozițiile lor duale.

Alte prezentări ale stelei octogonale

O „stea octogonală” poate fi văzută ca un hexadecagon concav, cu geometria din interior ștearsă. Poate fi divizat și prin drepte radiale.

poligon stelat	Concav	Divizări prin centru
Compus 2{4}	|8/2|
Regulat {8/3}	|8/3|
Izogonal
Izotoxal

Bibliografie

• en Grünbaum, B. and G.C. Shephard; Tilings and Patterns, New York: W. H. Freeman & Co., (1987), ISBN: 0-7167-1193-1
• en Grünbaum, B.; Polyhedra with Hollow Faces, Proc of NATO-ASI Conference on Polytopes ... etc. (Toronto 1993), ed T. Bisztriczky et al., Kluwer Academic (1994) pp. 43–70.
• en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things 2008, ISBN: 978-1-56881-220-5 (Chapter 26. pp. 404: Regular star-polytopes Dimension 2)

Legături externe

• Materiale media legate de octagramă la Wikimedia Commons
• en Eric W. Weisstein, Octagram la MathWorld.