Transformação linear

A reflexão em torno do eixo Oy é um exemplo de transformação linear.

Em álgebra linear, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. No caso em que o domínio e o contradomínio coincidem, é usada a expressão operador linear. Na linguagem da álgebra abstrata, uma transformação linear é um homomorfismo de espaços vetoriais.

Definição e consequências imediatas

Sejam $V$ e $W$ espaços vetoriais sobre o mesmo corpo $K.$

Diz-se que uma função $T:V\rightarrow {W}$ é uma transformação linear se, para quaisquer $u,v\in {V}$ e $\alpha \in {K},$valem as relações:

• $T(v u)=T(v) T(u);$
• $T(\alpha v)=\alpha T(v).$

Exemplos

• a função $T$ de $K$ em $K$ definida por $T(x)=3x;$
• a função $T$ de $K^{2}$ em $K$ definida por $T(x,y)=x y;$
• a função $T$ de $K^{2}$ em $K^{2}$ definida por $T(x,y)=(3x y,2x-2y);$
• se $D$ for o espaço das funções deriváveis de $\mathbb {R}$ em $\mathbb {R}$, e se $F$ for o espaço de todas as funções de $\mathbb {R}$ em $\mathbb {R}$, então a derivação (isto é, a função de $D$ em $C$ que envia cada função na sua derivada) é linear.

Em contrapartida, se $a\in K-\{0\}$, então a função $T$ de $K$ em $K$ definida por $T(x)=x a$ não é uma transformação linear.

Se $T$ for uma função de um espaço vetorial $V$ num espaço vetorial $W,$ então afirmar que $T$ é linear equivale a afirmar que $T$ preserva combinações lineares de pares de vetores, isto é, para quaisquer dois vetores $v_{1},v_{2}$ ∈ $V$ e dois escalares $\alpha _{1},\alpha _{2}$ ∈ $K:$

$$T(\alpha _{1}v_{1} \alpha _{2}v_{2})=\alpha _{1}T(v_{1}) \alpha _{2}T(v_{2})$$

Para qualquer aplicação linear $T$ de $V$ em $W$, tem-se:

• $T(0)=0,$ pois $T(0)=T(0-0)=T(0)-T(0)=0.$
• se $v$ ∈ $V,$ então $T(-v)=-T(v),$ pois $T(v) T(-v)=T(v-v)=T(0)=0.$

Função linear

Uma função linear

Função linear é a função matemática que possui duas propriedades:

• Aditividade:

$$f(x x')=f(x) f(x');$$

• Homogeneidade:

$$f(ax)=af(x).$$ Em suma:

$f(ax bx')=af(x) bf(x')$

As funções lineares são funções cujo gráfico é uma recta que atravessa a origem do plano cartesiano, isto é, em que b=0.

Definição

Chama-se função linear à função definida por uma equação da forma $y=ax,$ em que $a$ é um número real.

• $y$ é a variável dependente e $x$ a variável independente;
• $a$ é o coeficiente angular.

Nota: geralmente os economistas chamam a qualquer reta da forma $y=mx b$ uma função linear. No entanto, o conceito puro matemático, requer que a ordenada na origem seja zero para que a função seja considerada linear. Quando $b$ é diferente de zero, passa-se a chamar de função afim.

Ver artigo principal: Aplicação linear

A definição mais geral de função linear é feita no contexto da álgebra linear, e depende do conceito de espaço vetorial.

Sejam $(V,F,\oplus _{V},\otimes _{V}, ,\times ){\mbox{ e }}(W,F,\oplus _{W},\otimes _{W}, ,\times )$ espaços vetoriais. Uma função $f:V\rightarrow W$ é uma função linear se ela satisfaz os seguintes axiomas:

• $\forall x,y\in V\ (f(x\oplus _{V}y)=f(x)\oplus _{W}f(y))$
• $\forall a\in F\ \forall v\in V\ (f(a\otimes _{V}v)=a\otimes _{W}f(v))$

Note-se que, quando não existe possibilidade de confusão, escreve-se e . para as somas de vetores e produto de escalar por vetor, e os axiomas ficam:

• $\forall x,y\in V\ (f(x y)=f(x) f(y))$
• $\forall a\in F\ \forall v\in V\ (f(a\ v)=a\ f(v))$

Núcleo

O núcleo de uma transformação linear $T$ de $V$ em $W,$ denotado por $\ker(T),$ é o conjunto $\{v\in V\,|\,T(v)=0\},$ em que $0$ é o vetor nulo de $W.$

Exemplo: O núcleo da função $T$ de $K^{3}$ em $K^{3}$ definida por $T(x,y,z)=(2x-z,2z y,x y 3z/2)$ é: $$\ker(T)=\left\{(x,y,z)\,|\,x=z/2=-y/4\right\}$$

O conjunto $\ker(T)$ é um subespaço vetorial de V, pois se $v_{1},v_{2}$ ∈ $\ker(T)$ e se $\alpha _{1},\alpha _{2}$ ∈ $K,$ então $T(\alpha _{1}v_{1} \alpha _{2}v_{2})=\alpha _{1}T(v_{1}) \alpha _{2}T(v_{2})=0,$ ou seja, $\alpha _{1}v_{1} \alpha _{2}v_{2}$ ∈ $\ker(T).$

Se uma aplicação linear $T$ de $V$ em $W$ for injectiva, então $\ker(T)=\{0\},$ pois $T(0)=0$ e, portanto, pela injectividade de $T,$ o único vector $v$ ∈ $V$ tal que $T(v)=0$ é $0.$ Reciprocamente, se $\ker(T)=\{0\},$ então $T$ é injectiva, pois, dados $v,w$ ∈ $V:$ $$T(v)=T(w)\Longleftrightarrow T(v)-T(w)=0\Longleftrightarrow T(v-w)=0\Longleftrightarrow v-w\in \ker(T)\Rightarrow v-w=0\Longleftrightarrow v=w$$

Imagem

Sejam $V$ e $W$ espaços vetoriais sobre um corpo $K.$ A imagem de uma transformação linear $T$ de $V$ em $W$ é o conjunto: $$\operatorname {Im} (T)=\{f(v)\,|\,v\in V\}$$

Sejam $w_{1},w_{2}$ dois elementos da imagem de $T$ e sejam $\alpha _{1},\alpha _{2}\in K.$ Então, como $w_{1},w_{2}$ estão na imagem de $T,$ há vectores $v_{1},v_{2}\in V$ tais que $w_{1}=T(v_{1})$ e que $w_{2}=T(v_{2}),$ pelo que: $$\alpha _{1}w_{1} \alpha _{2}w_{2}=\alpha _{1}T(v_{1}) \alpha _{2}T(v_{2})=T(\alpha _{1}v_{1} \alpha _{2}v_{2})\in \mathop {\mathrm {Im} } (T)$$ Logo, $\operatorname {Im} (T)$ é um subespaço vetorial de $W.$

Dimensão da imagem e do núcleo

Sejam $V$ e $W$ espaços vetoriais sobre um corpo $K,$ sendo $V$ de dimensão finita, e seja $T$ uma transformação linear de $V$ em $W.$ Então $$\dim(V)=\dim(\ker(T)) \dim(\operatorname {Im} (T)).$$ Vai ser visto como se pode demonstrar esse facto. Seja $n=\dim(\ker(T))$ e seja $\{v_{1},v_{2},$ …$,v_{n}\}$ uma base de $\ker(T).$ Como $\ker(T)$ é um subespaço de $V,$ pode-se completar essa base até obtermos uma base de $V.$ Sejam então $w_{1},w_{2},$  … $,w_{m}$ ∈ $V$ tais que $\{v_{1},v_{2},$ …$,v_{n},w_{1},w_{2},$ …$,w_{m}\}$ seja uma base de $V;$ em particular, $\dim(V)=n m.$ Vai-se provar que $\{T(w_{1}),$ …$,T(w_{m})\}$ é uma base de Im$(T),$ de onde resultará que $$\dim(\operatorname {Im} (T))=m=(m n)-n=\dim(V)-\dim(\ker(T)).$$ Se $w$ ∈ Im$(T),$ então $w=T(v)$ para algum $v$ ∈ $V$ e $v$ pode ser escrito sob a forma $$v=\alpha _{1}v_{1} \cdots \alpha _{n}v_{n} \beta _{1}w_{1} \cdots \beta _{m}w_{m},$$ pelo que $$T(v)=\beta _{1}T(w_{1}) \cdots \beta _{m}T(w_{m}),$$ visto que $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}$ ∈ $\ker(T).$ Isto prova que $\{T(w_{1}),\ldots ,T(w_{m})\}$ gera $\operatorname {Im} (T).$ Por outro lado, os vetores $T(w_{1}),T(w_{2}),\ldots ,T(w_{m})$ são linearmente independentes, pois se $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{m}$ ∈ $K$ forem tais que $$\alpha _{1}T(w_{1}) \alpha _{2}T(w_{2}) \cdots \alpha _{m}T(w_{m})=0,$$ então $$T{\bigl (}\alpha _{1}w_{1} \alpha _{2}w_{2} \cdots \alpha _{m}w_{m}{\bigr )}=0\Rightarrow \alpha _{1}w_{1} \alpha _{2}w_{2} \cdots \alpha _{m}w_{m}\in \ker(T),$$ de onde resulta que $\alpha _{1}w_{1} \alpha _{2}w_{2} \ldots \alpha _{m}w_{m}$ é uma combinação linear dos vetores $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n},$ o que é só é possível se $\alpha _{1}=\alpha _{2}=\ldots =\alpha _{m}=0,$ pois o conjunto $\{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n},w_{1},w_{2},\ldots ,w_{m}\}$ é uma base e, portanto, linearmente independente.

Este teorema também pode ser estendido para dimensões infinitas, mas, neste caso, sua demonstração e até o enunciado dependem do axioma da escolha.

Tipos especiais

Denomina-se isomorfismo uma transformação linear que seja bijetiva.

Denomina-se endomorfismo ou operador linear uma transformação linear de um espaço vetorial «nele mesmo», ou seja, uma transformação que tenha domínio igual ao contradomínio.

Se $T$ for um endomorfismo de um espaço vetorial $V$ de dimensão finita, então são condições equivalentes:

1. $T$ é injetivo;
2. $T$ é sobrejetivo;
3. $T$ é bijetivo.

É claro que a terceira condição implica as outras duas. Se $T$ for sobrejetivo, então $$\dim(V)=\dim(\operatorname {Im} (T))=\dim(V)-\dim(\ker(T)),$$ pelo que $\dim(\ker(T))=0$ e, portanto, $\ker(T)=\{0\},$ pelo que $T$ é injetivo. Por outro lado, se $T$ for injetivo, então $$0=\dim(\ker(T))=\dim(V)-\dim(\operatorname {Im} (T)),$$ pelo que $\dim(V)=\dim(\operatorname {Im} (T))$ e, portanto, $V=\operatorname {Im} (T),$ ou seja, $T$ é sobrejetivo.

Exemplos de matrizes de transformações lineares

Alguns casos especiais de transformações lineares do espaço R² são bastante elucidativas:

• rotação de 90 graus no sentido anti-horário: $$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}$$
• rotação por $\theta$ graus no sentido anti-horário: $$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\mathrm {sen} \,(\theta )\\\mathrm {sen} \,(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}$$
• reflexão em torno do eixo x: $$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$$
• reflexão em torno do eixo y: $$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}}$$
• projeção sobre o eixo y: $$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}.$$

Espaço das transformações lineares

Sejam $V$ e $W$ espaços vetoriais sobre o corpo $K.$ Seja $L(V,W)$ definido como o conjunto de todas transformações lineares de $V$ em $W.$ Como funções, para quaisquer operadores $T$ e $U$ e qualquer escalar $a,$ podemos definir $T U$ e $aT$ por: $$(T U)(v)=T(v) U(v)$$ $$(aT)(v)=aT(v)$$

É imediato provar que $T U$ e $aT$ também são transformações lineares de $V$ em $W,$ e que $L(V,W)$ com a soma de transformações e a multiplicação de um escalar por uma transformação forma um espaço vetorial sobre $K.$

Pelo fato de que, dadas bases de $V$ e $W,$ temos uma representação de cada transformação linear através de uma matriz de dimensão $n$ × $m,$ concluímos que a dimensão de $L(V,W)$ é $nm$ (no caso de dimensão infinita, algum cuidado deve ser tomado nesta demonstração).

Espaço dos operadores lineares

Um caso particular importante é o espaço $L(V,V),$ das transformações lineares de um espaço vectorial nele mesmo (operadores lineares).

Como a composição de operadores lineares é um operador linear, este espaço tem uma estrutura de álgebra, em que a composição de funções faz o papel do produto de operadores.

Assim, dado um operador linear $T,$ podem-se definir as potências $T^{2},T^{3},$ ou, de modo geral, $T^{n},\forall n\in \mathbb {Z^{ }} .$ Portanto, se $p(x)$ é um polinômio com coeficientes no corpo de escalares, faz sentido definir $p(T):$ $$p(x)=a_{0} a_{1}x \ldots a_{n}x^{n}\implies p(T)=a_{0}I_{V} a_{1}T \ldots a_{n}T^{n},$$ em que $I_{V}$ é o operador identidade em $V.$

Verificam-se facilmente as seguintes propriedades:

• Se $p(x)$ e $q(x)$ são polinômios, então $p(T) q(T)=(p q)(T)$ e $p(T)q(T)=(pq)(T).$

Se o espaço $V$ tem dimensão finita $n,$ então $L(V,V)$ também tem dimensão finita $n^{2}.$ Portanto, o conjunto de $n^{2} 1$ operadores $\{I_{V},T,\ldots ,T^{n^{2}}\}$ é linearmente dependente. Logo, existem escalares $a_{0},a_{1},\ldots a_{n^{2}},$ não todos nulos, tais que $a_{0}I_{V} a_{1}T \ldots a_{n^{2}}T^{n^{2}}=0.$ Ou seja, existe um polinômio não-nulo $p(x)$ tal que $p(T)=0$.

Se existe um polinômio não-nulo $f(x)$ tal que $f(T)=0$, então o conjunto não-vazio dos polinômio $q(x)$ tais que $q(T)=0$ forma um ideal no anel de todos polinômios com coeficientes no corpo. Portanto, existe um único polinômio mônico $p(x)$ tal que $p(T)=0$. Este polinômio é chamado de polinômio mínimo de $T.$

Espaço dual

Ver artigo principal: Espaço dual

Seja $V$ um espaço vetorial sobre um corpo $K.$ O espaço dual de $V,$ representado por $V^{*},$ é o espaço vetorial $L(V,K)$ das transformações lineares de $V$ em $K.$

Ver também

• Função linear
• Função afim
• Função polinomial de primeiro grau