Matriz bissimétrica

Padrão de simetria de uma matriz bissimétrica $5\times 5$

Em matemática, uma matriz bissimétrica é uma matriz quadrada simétrica em relação às duas diagonais principais. Mais precisamente, uma matriz $A$, $n\times n$ é bissimétrica se ela satisfaz tanto $A=A^{T}$ quanto $AJ=JA$, onde $J$ é a matriz de troca $n\times n$.

Por exemplo:

${\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\b&f&g&h&d\\c&g&i&g&c\\d&h&g&f&b\\e&d&c&b&a\end{bmatrix}}.$

Propriedades

• Matrizes bissimétricas são centrossimétricas e persimétricas simétricas.
• O produto de duas matrizes bissimétricas é uma matriz centrosimétrica.
• Matrizes bissimétricas de valor real são precisamente aquelas matrizes simétricas cujos autovalores permanecem os mesmos, exceto por possíveis mudanças de sinal após a pré ou pós-multiplicação pela matriz de troca.
• Se $A$ é uma matriz bissimétrica real com autovalores distintos, então as matrizes que comutam com $A$ devem ser bissimétricas.
• O inverso das matrizes bissimétricas pode ser representado por fórmulas de recorrência.