Identidade aditiva

Em matemática, a identidade aditiva de um conjunto que está equipado com a operação de adição é um elemento que quando adicionado a qualquer elemento $x$ do conjunto, resulta em $x.$ ^[1] Uma das mais conhecidas identidades aditivas é o número 0, mas identidades aditivas ocorrem em outras estruturas matemáticas onde a adição é definida, como em grupos e anéis.

Exemplos elementares

A identidade aditiva familiar da matemática elementar é o zero, denotado por 0. Por exemplo, $5 0=5=0 5$
Nos números naturais $\mathbb {N}$ e em todos os seus superconjuntos (os números inteiros $\mathbb {Z} ,$ os números racionais $\mathbb {Q} ,$ os números reais $\mathbb {R}$ e os números complexos $\mathbb {C}$ ), a identidade aditiva é 0. Assim, para qualquer número $n$ pertencente a um desses conjuntos vale: $n 0=n=0 n$

Definição formal

Seja $\mathbb {N}$ um conjunto fechado sob a operação de adição, denotada . Um aditivo de identidade para $\mathbb {N}$ é qualquer elemento $e$ tal que, para qualquer elemento $n$ em $\mathbb {N} ,$ $e n=n=n e$

Exemplos

Em um grupo a identidade aditiva é o elemento identidade do grupo, que é usualmente denotado como $\mathbb {0}$ e é único.^{[nota 1]}
Um anel ou corpo é um grupo sob a operação de adição e portanto também têm uma identidade aditiva única $\mathbb {0} .$ Este é definido como sendo diferente da identidade multiplicativa $\mathbb {1}$ se o anel (ou corpo) tem mais de um elemento. Se as identidades aditiva e multiplicativa são idênticas, então o anel é trivial.^{[nota 2]}
Em um sistema $S$ com operação de multiplicação que distribui sobre a adição, a identidade aditiva é um elemento absorvente multiplicativo, significando que para qualquer $s$ em $S,$ $s\cdot \mathbb {0} =0.$ ^{[nota 3]}

Ver também

Referências

↑ Kelley, W. M. (2013). O Guia Completo para Quem Não É C.D.F Álgebra. Rio de Janeiro: Alta Books. p. 15

Provas

↑ Seja $(G, )$ um grupo fechado sob a operação de adição e sejam $\mathbb {0} ,$ $\mathbb {0^{'}} \in G$ ambos identidades aditivas. Então para qualquer $g\in G,$ $\mathbb {0} g=g=g \mathbb {0}$ e $\mathbb {0^{'}} g=g=g \mathbb {0^{'}}$ Segue diretamente do exposto acima que $\mathbb {0^{'}} =\mathbb {0^{'}} \mathbb {0} =\mathbb {0} \mathbb {0^{'}} =\mathbb {0} .$
↑ Seja $R$ um anel e suponha que a identidade aditiva $\mathbb {0} _{R}$ e a identidade multiplicativa $\mathbb {1} _{R}$ são iguais, ou seja, $\mathbb {0} _{R}=\mathbb {1} _{R}.$ Seja $r$ qualquer elemento de $R.$ Então: $r=r\times \mathbb {1} _{R}=r\times \mathbb {0} _{R}=\mathbb {0} _{R},$ provando que $R$ é trivial, isto é, $R={0}_{R}.$ O contrapositivo, que se $R$ é não-trivial então $\mathbb {0} _{R}$ é diferente de $\mathbb {1} _{R}$ deriva diretamente dessa prova.
↑ Seja $S$ um sistema com operação de multiplicação distribuída sobre a adição. Seja $s\in S$ e seja $\mathbb {0}$ a identidade aditiva de $S.$ Então: $s\cdot \mathbb {0} =s\cdot (\mathbb {0} \mathbb {0} )=s\cdot \mathbb {0} s\cdot \mathbb {0}$ $s\cdot \mathbb {0} -s\cdot \mathbb {0} =s\cdot \mathbb {0}$ $\mathbb {0} =s\cdot \mathbb {0} \rightarrow s\cdot \mathbb {0} =\mathbb {0}$

[1] Kelley, W. M. (2013). O Guia Completo para Quem Não É C.D.F Álgebra. Rio de Janeiro: Alta Books. p. 15

[:1-2] Seja $(G, )$ um grupo fechado sob a operação de adição e sejam $\mathbb {0} ,$ $\mathbb {0^{'}} \in G$ ambos identidades aditivas. Então para qualquer $g\in G,$ $\mathbb {0} g=g=g \mathbb {0}$ e $\mathbb {0^{'}} g=g=g \mathbb {0^{'}}$ Segue diretamente do exposto acima que $\mathbb {0^{'}} =\mathbb {0^{'}} \mathbb {0} =\mathbb {0} \mathbb {0^{'}} =\mathbb {0} .$

[:2-3] Seja $R$ um anel e suponha que a identidade aditiva $\mathbb {0} _{R}$ e a identidade multiplicativa $\mathbb {1} _{R}$ são iguais, ou seja, $\mathbb {0} _{R}=\mathbb {1} _{R}.$ Seja $r$ qualquer elemento de $R.$ Então: $r=r\times \mathbb {1} _{R}=r\times \mathbb {0} _{R}=\mathbb {0} _{R},$ provando que $R$ é trivial, isto é, $R={0}_{R}.$ O contrapositivo, que se $R$ é não-trivial então $\mathbb {0} _{R}$ é diferente de $\mathbb {1} _{R}$ deriva diretamente dessa prova.

[:3-4] Seja $S$ um sistema com operação de multiplicação distribuída sobre a adição. Seja $s\in S$ e seja $\mathbb {0}$ a identidade aditiva de $S.$ Então: $s\cdot \mathbb {0} =s\cdot (\mathbb {0} \mathbb {0} )=s\cdot \mathbb {0} s\cdot \mathbb {0}$ $s\cdot \mathbb {0} -s\cdot \mathbb {0} =s\cdot \mathbb {0}$ $\mathbb {0} =s\cdot \mathbb {0} \rightarrow s\cdot \mathbb {0} =\mathbb {0}$

[1]

[nota 1]

[nota 2]

[nota 3]