Hipérbole
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Em matemática, uma hipérbole é um tipo de seção cônica definida como a interseção entre uma superfície cônica circular regular e um plano que passa através das duas metades do cone, sem que este plano seja paralelo à linha oposta ao corte.[1]
Hipérbole pode indicar toda a seção do corte, ou também apenas uma das duas curvas que a formam. As duas curvas são iguais, e são denominadas hipérboles opostas.[1]
Ela também pode ser definida como o conjunto de todos os pontos coplanares[2] para os quais a diferença das distâncias a dois pontos fixos (chamados de focos) é constante.
Para uma prova geométrica simples de que as duas caracterizações acima são equivalentes, veja esferas de Dandelin.
Algebricamente, uma hipérbole é uma curva no plano cartesiano definida por uma equação da forma
tal que onde todos os coeficientes são reais, e onde mais de uma solução, definindo um par de pontos (x,y) na hipérbole, existe.
Definições
[editar | editar código-fonte]Os vértices da hipérbole são os dois pontos, um de cada hipérbole oposta, mais próximos entre si. A reta que liga estes dois pontos se chama o eixo transverso da hipérbole. O centro da hipérbole é o ponto médio do segmento de reta que une os dois vértices.[1]
A hipérbole também pode ser definida como o locus de pontos para os quais a razão das distâncias a um foco e a uma reta (chamada de diretriz) é uma constante maior ou igual a 1. Esta constante é considerada a excentricidade de hipérbole. Estes focos se encontram no eixo transversal e seu ponto médio é chamado de centro.
Uma hipérbole compreende duas curvas desconectadas, chamadas de "braços", que separam os focos. Conforme a distância dos pontos da hipérbole aos focos aumenta, a hipérbole começa a se aproximar de duas linhas, conhecidas como assíntotas.
Uma hipérbole possui a propriedade de que um raio, originando-se em um de seus focos, é refletido de tal forma que ele aparenta ter sido originado no outro foco.
Uma hipérbole ambigenal é uma das hipérboles triplas de segunda ordem, possuindo uma de suas quatro curvas infinitas aproximando-se com um ângulo com relação às assíntotas, e com a curva oposta se aproximando sem este ângulo.[3]
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Um caso especial da hipérbole é a equilateral ou hipérbole retangular, na qual as assíntotas se intersectam em ângulos retos. A hipérbole retangular, com suas assíntotas coincidentes com os eixos coordenados, é dada pela equação xy=c, onde c é uma constante.
Assim como as funções seno e co-seno geram uma equação paramétrica para a elipse, as funções seno hiperbólico e co-seno hiperbólico também geram uma equação paramétrica para a hipérbole.
Se na equação da hipérbole invertermos as variáveis x e y, obteremos a hipérbole conjugada. Uma hipérbole e sua hipérbole conjugada possuem as mesmas assíntotas.
Equações
[editar | editar código-fonte]Cartesiana
[editar | editar código-fonte]Hipérbole de abertura leste-oeste:
Hipérbole de abertura norte-sul:
Em ambas as fórmulas (h,k) é o centro da hipérbole, a é o semieixo real (metade da distância entre os dois ramos), e b é o semieixo imaginário. Note que b pode ser maior que a.
A excentricidade é dada por
- ou
Para hipérboles retângulares com os eixo de coordenadas paralelos às suas assíntotas temos:
Polar
[editar | editar código-fonte]Hipérbole com abertura leste-oeste:
Hipérbole com abertura norte-sul:
Hipérbole com abertura nordeste-sudoeste:
Em todas as fórmulas o centro está no pólo, e a é o semi-eixo maior e menor.
Paramétrica
[editar | editar código-fonte]Hipérbole com abertura leste-oeste:
Hipérbole com abertura norte-sul:
Em ambas as fórmulas (h,k) é o centro da hipérbole, a é o semi-eixo maior, e b é o semi-eixo menor.
Outra maneira é através das funções hiperbólica senh e cosh.
Hipérbole com abertura leste-oeste:
Hipérbole com abertura norte-sul:
A diferença dessas duas maneiras é que a primeira é muito mais rápida (uma pequena variação do ângulo, produz uma grande variação nas coordenadas). Também, a primeira não está definida para e . O que conecta as duas maneiras de parametrizar são as equações abaixo:
Em que gd é a função gudermanniana.
Aplicações
[editar | editar código-fonte]Um exemplo de aplicação da hipérbole é no sistema de navegação LORAN. Em um determinado caso, por exemplo, há pares de estações emitindo sinais, e a diferença de tempo na recepção de ambos pode ser utilizada para determinar a posição de um navio [4]
Trissecção de um ângulo
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Um problema clássico na geometria de construções com régua e compasso é o da trissecção de um ângulo. Procura-se achar um método para que, dado um ângulo qualquer e usando apenas um compasso e uma régua sem graduação, encontre-se um ângulo cuja medida seja .
Apolônio de Perga, o autor da obra clássica As Cônicas, mostrou que uma seção cônica poderia ser usada para trissectar um ângulo arbitrário.[5] O conjunto de pontos determinados pela cônica utilizada, no entanto, não pode ser determinado via construções com régua e compasso. A impossibilidade da resolução do problema da trissecção de um ângulo usando compasso e régua foi provada por Pierre Wantzel em 1837. [6]
Papo de Alexandria, por volta de 300 DC, usou a descoberta de Apolônio para trissectar um ângulo usando uma hipérbole, usando o método descrito a seguir.[7] Dado um ângulo qualquer, desenha-se uma circunferência centrada no seu vértice O. Essa circunferência irá se intersectar com os dois lados do ângulo em pontos que chamaremos de A e B. Em seguida, desenha-se um segmento de reta entre A e B e uma reta l perpendicular ao segmento AB, passando por O. Constrói-se então uma hipérbole de excentricidade 2, tendo a reta r como diretriz e B como foco. Assim, dentre os pontos de interseção entre a hipérbole construída e a circunferência de centro O, escolhemos o mais distante de O e o chamamos de P. O ângulo POB terá medida de um terço do ângulo BOC. [8]
Referências
- ↑ a b c Charles Hutton, A Philosophical and Mathematical Dictionary Containing... Memoirs of the Lives and Writings of the Most Eminent Authors, Volume 1 (1815), Hyperbola, p.667 [google books]
- ↑ Carvalho, Benjamin - Desenho Geométrico. Ed. Ao Livro Técnico, São Paulo: 1988.
- ↑ 1828 Webster's Dictionary, domínio público.
- ↑ FutureLearn - Hyperbolas for navigation and military use (em inglês)
- ↑ «Mathematics - Apollonius». Encyclopedia Britannica (em inglês). Consultado em 20 de agosto de 2020
- ↑ Smorynski, Craig (10 de dezembro de 2007). History of Mathematics: A Supplement (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media
- ↑ «Pappus of Alexandria». 1911 Encyclopædia Britannica. Volume 20
- ↑ MOLBERT, NICHOLAS (Julho de 2012). «SECTIONING ANGLES USING HYPERBOLIC CURVES» (PDF)
Bibliografia
[editar | editar código-fonte]- Braga, Theodoro - Desenho linear geométrico. Ed. Cone, São Paulo: 1997.
- Carvalho, Benjamim - Desenho Geométrico. Ed. Ao Livro Técnico, São Paulo: 1982.
- Giongo, Affonso Rocha - Curso de Desenho Geométrico. Ed. Nobel, São Paulo: 1954.
- Mandarino, Denis - Desenho Geométrico, construções com régua e compasso. Ed. Plêiade, São Paulo: 2007.
- Marmo, Carlos - Desenho Geométrico. Ed. Scipione, São Paulo: 1995.
- Putnoki, José Carlos - Elementos de geometria e desenho geométrico. Vol. 1 e 2. Ed. Scipione, São Paulo: 1990.
Ver também
[editar | editar código-fonte]- Ângulo hiperbólico
- Cônicas
- Esferas de Dandelin
- Função hiperbólica
- Hiperbolóide
- Lista de construções do desenho geométrico
- Lugar geométrico
- Parabolóide hiperbólico
- Setor hiperbólico
- Trajetória hiperbólica
Ligações externas
[editar | editar código-fonte]- Venturi, Jacir J. (2003). Cônicas e Quádricas (PDF) 5 ed. Curitiba: Unificado. 246 páginas. ISBN 8585132485
- Vídeo de um plano seccionando um cone e definindo a curva cônica hipérbole
- «Construir objetos geometria analítica» (em inglês).
- Texto sobre cônicas feito pelo Instituto de Matematica e Estatistica da USP para o curso de Engenharia na ESCOLA POLITECNICA DA USP (POLI)
- Alfred North Whitehead: An Introduction to Mathematics. BiblioBazaar LLC 2009 (reprint), ISBN 9781103197842, pp. 121 [1]
- George Wentworth: Junior High School Mathematics: Book III. BiblioBazaar LLC 2009 (reprint), ISBN 9781103152360, pp. 265 [2]
- Robert Clarke James, Glenn James: Mathematics Dictionary. Springer 1992, ISBN 9780412990410, p. 255 [3]