GF(2)

GF(2), em álgebra abstrata, é o corpo finito com dois elementos, 0 e 1. A notação GF(pⁿ) para o corpo finito com pⁿ elementos foi introduzida por E. H. Moore em 1893.

GF(2) também é representado como F₂, {0, 1} ou $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$. A notação $\mathbb {Z} _{2}\,$ não é recomendada, pois pode causar ambiguidade com o anel dos inteiros p-ádicos para p = 2.

As operações de soma a produto neste corpo são definidas como:

0 0 = 0, 0 1 = 1, 1 0 = 1, 1 1 = 0

0 x 0 = 0, 0 x 1 = 0, 1 x 0 = 0, 1 x 1 = 1

Ou, como tabela:

	0	1
0	0	1
1	1	0

×	0	1
0	0	0
1	0	1

As operações de soma e produto correspondem às operações disjunção exclusiva (xor) e conjunção lógica (and).

Note-se que, neste corpo, -1 = 1 e 2 = 1 1 = 0.

Um polinômio sobre GF(2) na variável x é uma expressão análoga a um polinômio usual (com coeficientes reais), só que seus coeficientes são os elementos 0 e 1, de GF(2), por exemplo, P(x) = 1 . x⁴ 0 . x³ 0 . x² 0 . x 1 . x⁰ = x⁴ 1. Assim como no caso dos polinômios reais, quando o coeficiente de um termo é 0, este termo não é representado, quando o coefieciente é 1, representa-se apenas a parte em x.

Para cada polinômio temos uma função polinomial, que consiste em substituir x por 0 e por 1 e efetuar as contas. Diferente do caso real, é possível que dois polinômios diferentes gerem duas funções polinomiais iguais, por exemplo, P(x) = x² x 1 e Q(x) = 1.

O método conhecido como CRC, para identificação de erros, se baseia em tratar sequências de bits, como 1100010100, como polinômios em GF(2), no caso x⁹ x⁸ x⁴ x², e determinar o resíduo deste polinômio quando dividido por um polinômio gerador, como por exemplo x³ x 1. Neste caso, o resíduo da divisão de x⁹ x⁸ x⁴ x² por x³ x 1 é o polinômio x², que é representado em binário como 100.

O único polinômio irreducível de grau 2 em GF(2) é x² x 1. Se β e δ forem as duas raízes deste polinômio, então é possível construir um corpo com quatro elementos, 0, 1, β e δ (chamado de GF(4)) no qual temos as operações β β = 0, β 1 = δ, β x β = δ, β x δ = 1, etc.