Equação polinomial

Em Matemática, equações polinomiais monovariáveis^[1] são expressões de uma variável da forma:

$P(x)=0,$ em que

$P(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}=a_{n}x^{n} a_{n-1}x^{n-1} a_{n-2}x^{n-2} \ldots a_{0},a_{n}\neq 0;$
$x$ é a incógnita;
$n$ é o grau do polinômio (ou da equação);
e os coeficientes $a_{k}$ são constantes (podendo ser números inteiros, racionais, reais, complexos ou, generalizando, elementos de certo anel predefinido)^[2].

"Resolver" uma equação polinomial significa calcular suas raízes, ou seja, encontrar quais são os valores de $x$ que tornam a equação verdadeira.^[3] Uma equação de grau $n$ possui sempre n raízes, sejam elas reais ou complexas.^[4] O conjunto com todas as raízes de uma equação polinomial é chamado conjunto solução dessa equação.^[5]

Todas as equações de 1° e 2° grau com coeficientes racionais podem ser resolvida por radicais, já equações de 3° e 4° grau podem ser resolvidas por radicais ou podem necessitar de cálculos trigonométricos. Equações de 5ª ordem ou superior não podem ser, em maioria, resolvidas por radicais, como afirma o teorema de Abel-Ruffini.^[6]

Fatoração

Toda equação polinomial pode ser fatorada em binômios de primeiro grau na forma $P(x)=a_{n}(x-r_{1})\cdot (x-r_{2})...(x-r_{n}),$ em que $r_{1},r_{2},...,r_{n}$ são as raízes de P(x) (raízes da equação polinomial)^[5].

Exemplos

$x 34=0$ é de grau 1 e sua única solução real é dada por: $x=-34$ , pois se no lugar de x usarmos o -34 tornaremos a igualdade verdadeira: $-34 34=0$
$x^{2}-4=0$ é de grau 2 e possui 2 soluções reais: $x=\pm 2$ , pois se no lugar de x usarmos o 2 ou o -2 tornaremos a igualdade verdadeira: $2^{2}-4=4-4=0$ $(-2)^{2}-4=4-4=0$

$x^{2}-5x 4=0$ é de grau 2 e possui 2 soluções reais: $x=1$ e $x=4$ .
$x^{11} x^{2} x 7=0$ é de grau 11 e sua única solução real é: $x\approx -1.1971155422140012$ .